Powiemy, że okręgi $O_1$ i $O_2$ są styczne zewnętrznie, jeżeli mają jeden punkt wspólny i koła ograniczone tymi okręgami nie mają żadnych innych punktów wspólnych. Punkt wspólny tych okręgów nazywamy ich punktem styczności.

R4eiCyCz6s9RH

Rysunek przedstawia dwa okręgi obok siebie. Lewy okrąg o środku w punkcie O dwa oraz prawy, mniejszy okrąg o punkcie w środku O jeden. Oba okręgi mają jeden zaznaczony punkt wspólny w miejscu, w którym się stykają.

Powiemy, że okręgi $O_1$ i $O_2$ są styczne wewnętrznie, jeżeli mają jeden punkt wspólny, a koła ograniczone tymi okręgami mają nieskończenie wiele punktów wspólnych.

Rr17RPZuoSjmL

Rysunek przedstawia dwa okręgi jeden w drugim. Większy, zewnętrzny okrąg O dwa oraz mniejszy okrąg O jeden, który położony jest wewnątrz dużego okręgu. Oba okręgi mają jeden punkt wspólny po prawej stronie.

Jeżeli jeden z okręgów leży wewnątrz drugiego z okręgów w taki sposób, że ich środki się pokrywają, to powiemy, ze okręgi te są współśrodkowe.

Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest większa od sumy ich promieni, to każdy z tych okręgów leży na zewnątrz drugiego.

Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest równa sumie ich promieni, to okręgi te są styczne zewnętrznie.

Jeżeli odległość środków dwóch okręgów, o różnych promieniach, jest równa wartości bezwzględnej różnicy tych promieni, to okręgi te są styczne wewnętrznie.

Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest mniejsza od wartości bezwzględnej różnicy ich promieni, to okrąg o mniejszym promieniu leży wewnątrz okręgu o większym promieniu.

Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest większa od wartości bezwzględnej różnicy ich promieni, a mniejsza od sumy promieni, to okręgi te przecinają się.

Dane są okręgi o środkach w punktach $O_1$ i $O_2$ i promieniach $r_1$ i $r_2$, gdzie $r_1\le r_2$. Wtedy:

• okręgi $O_1$ i $O_2$ są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy $\left|O_1{O}_2\right|=r_1+r_2$;

• okręgi $O_1$ i $O_2$, o różnych promieniach, są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy $\left|O_1{O}_2\right|=r_2-r_1$;

• okręgi $O_1$ i $O_2$ przecinają się w dwóch punktach wtedy i tylko wtedy, gdy $r_2-r_1<\left|O_1{O}_2\right|<r_1+r_2$;

• każdy z okręgów $O_1$ i $O_2$ leży na zewnątrz drugiego wtedy i tylko wtedy, gdy $\left|O_1{O}_2\right|>r_1+r_2$;

• okrąg $O_1$ leży wewnątrz okręgu $O_2$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\left|O_1{O}_2\right|<r_2-r_1$.

Dwa okręgi o środkach w punktach $O_1$ i $O_2$ i promieniach $r_1$ i $r_2$ przecinają się w punktach $A$ i $B$.

Pokażemy, że ich wspólna cięciwa $AB$ jest prostopadła do odcinka łączącego środki okręgów.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że trójkąty $O_{1}A{O}_2$ i $O_{1}B{O}_2$ są przystające na mocy cechy $bbb$.

R4Qu2V7yLTD2h

Na ilustracji przedstawione są dwa okręgi z zaznaczonymi środkami. Po lewej stronie większy O dwa i po prawej stronie mniejszy O jeden. Okręgi nachodzą na siebie, przecinając się w dwóch punktach: wyżej położonym B oraz niżej położonym A. Między punktami poprowadzony jest odcinek. Między środkami O dwa i O jeden również poprowadzony jest odcinek. Oba odcinki przecinają się pod kątem prostym i tworzą przekątne deltoidu. Obwód deltoidu A O jeden B O dwa zaznaczony jest linią przerywaną. Na rysunku zaznaczone są także kąty: kąt O jeden O dwa B to kąt alfa oraz kąt A O dwa O jeden to kąt beta.

Zauważmy, że wówczas kąty $\alpha$ i $\beta$ są równe, zatem $O_1{O}_2$ jest dwusieczną w trójkącie równoramiennym $A{O}_{2}B$ i tym samym zawiera wysokość tego trójkąta. Stąd teza.

Dany jest okrąg o środku $O_1$ i promieniu $r_1$.

Wyznaczymy liczbę okręgów o promieniu $r_1$ potrzebnych do otoczenia danego okręgu, tj. stycznych zewnętrznie do danego okręgu i takich, że każde dwa sąsiednie są styczne zewnętrznie, jak na rysunku.

R5GzgJqO2SpWd

Ilustracja przedstawia duży okrąg w umiejscowiony w centrum oraz osiem mniejszych, otaczających go okręgów. Wszystkie razem układają się w uproszczony kształt kwiatka. Każdy mały okrąg ma jeden wspólny punkt z dużym okręgiem oraz po jednym punkcie wspólnym z okręgami leżącymi po jego obu stronach.

Rozwiązanie:

Rozważmy dany okrąg o środku $O_1$ i promieniu $r_1$ i dwa sąsiednie okręgi o zadanej własności, o środkach w punktach odpowiednio $P$ i $Q$, jak na rysunku.

RgGHhaKMQIjfI

Ilustracja przedstawia trzy okręgi o takim samym promieniu z zaznaczonymi środkami: po lewej P, po prawej styczny do niego Q, oba leżące na tej samej osi i pod nimi znajduje się okrąg O jeden styczny do nich obu. Środki okręgów połączone są linią przerywaną, tworząc trójkąt równoboczny O jeden Q P.

Zauważmy, że wówczas trójkąt $P{O}_{1}Q$ jest trójkątem równobocznym.

Zatem $\left|\sphericalangle P{O}_{1}Q\right|=\frac{1}{6}·360°$.

Oznacza to, że do otoczenia danego okręgu powinniśmy sześciokrotnie odmierzyć taki sam kąt i dorysować okręgi, z których dwa się „powtórzą”.

Stąd liczba okręgów niezbędnych do otoczenia jest równa $6$.

Dane są dwa współśrodkowe okręgi o promieniach odpowiednio $12$ i $8$.

Wyznaczymy promień okręgu, który jest styczny do danych okręgów.

Rozwiązanie:

Model, który narzuca się przy rozwiązaniu naszego problemu, jest przedstawiony na poniższym rysunku.

RvmmSk5d454pv

Ilustracja przedstawia duży okrąg, a w nim dwa mniejsze. Wszystkie mają wspólną oś poziomą. Średni, wewnętrzny okrąg, jest styczny do dużego okręgu, a ich punkt wspólny znajduje się po prawo oraz jest styczny także do małego okręgu. Ich punkt wspólny z kolei leży po lewej stronie średniego okręgu i prawej stronie małego okręgu. Mały okrąg ma wspólny środek z dużym okręgiem. Suma promienia małego okręgu i średnicy średniego okręgu daje długość promienia dużego okręgu.

Jeśli przez $r$ oznaczymy szukany promień, to mamy spełnioną równość: $8+2r=12$.

Stąd $r=2$.

Mniej oczywistym jest model, w którym szukany okrąg jest styczny w sposób przedstawiony na poniższym rysunku.

RbVdko9n2o6ES

Ilustracja przedstawia duży okrąg, a w nim dwa mniejsze. Wszystkie mają wspólną oś poziomą. Średni, wewnętrzny okrąg, leży po prawo i jest styczny do dużego okręgu oraz do małego okręgu, przy czym mały okrąg jest też wewnętrznym okręgiem średniego i dużego okręgu. Punkt wspólny okręgów małego i średniego znajduje się po ich lewej stronie. Mały okrąg ma wspólny środek z dużym okręgiem.

Wówczas otrzymujemy: $2r=8+12$.

Stąd $r=10$.

geometryczny wzór architektoniczny o charakterze dekoracyjnym, wykuty z kamienia lub zrobiony z cegieł, używany do wypełnienia górnej części gotyckiego okna, witrażu, rozety itp.

dwa okręgi styczne do danych trzech okręgów są nazywane okręgami Soddy’ego