Dane są wielomiany $F\left(x\right)$, $G\left(x\right)$, $Q\left(x\right)$, przy czym $Q\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym.
Rozważmy wyrażenia wymierne $\frac{F\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$ oraz $\frac{G\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$.

• suma wyrażeń: $\frac{F\left(x\right)}{Q\left(x\right)}+\frac{G\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{F\left(x\right)+G\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$

• różnica wyrażeń: $\frac{F\left(x\right)}{Q\left(x\right)}-\frac{G\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{F\left(x\right)-G\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$

Należy pamiętać o podaniu założeń ($Q\left(x\right)\ne 0$).

Obliczmy sumę i różnicę wyrażeń $\frac{1}{2x-7}$ i $\frac{4x-3}{2x-7}$.

• Zapiszmy sumę:
  $\frac{1}{2x-7}+\frac{4x-3}{2x-7}=\frac{1+4x-3}{2x-7}=\frac{4x-2}{2x-7}$;
  Określmy dziedzinę, biorąc pod uwagę miejsca zerowe mianownika: $x\in ℝ\setminus \left\{\frac{7}{2}\right\}$.

• Analogicznie obliczmy różnicę:
  $\frac{1}{2x-7}-\frac{4x-3}{2x-7}=\frac{1-(4x-3)}{2x-7}=\frac{4-4x}{2x-7}$;
  Określmy dziedzinę: $x\in ℝ\setminus \left\{\frac{7}{2}\right\}$.

Obliczmy sumę i różnicę ułamków $\frac{2x}{x-3}$ oraz $\frac{6}{3-x}$.

• Zauważmy, że $\frac{6}{3-x}=-\frac{6}{x-3}$.

• Obliczmy sumę. Zauważmy, że będzie możliwe skracanie ułamka:
  $\frac{2x}{x-3}+\frac{6}{3-x}=\frac{2x}{x-3}-\frac{6}{x-3}=\frac{2x-6}{x-3}=\frac{2(x-3)}{x-3}=2$;
  przy czym $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{3\right\}$.

• Obliczmy różnicę:
  $\frac{2x}{x-3}-\frac{6}{3-x}=\frac{2x}{x-3}+\frac{6}{x-3}=\frac{2x+6}{x-3}$;
  tutaj również $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{3\right\}$.

Obliczmy sumę i różnicę ułamków $\frac{x^2+2x}{x^2-3x-10}$ i $\frac{2x+4}{x^2-3x-10}$.

• Warto na początek sprowadzić mianownik do postaci iloczynowej. Dzięki temu łatwo będzie podać założenia i na koniec obliczeń odpowiednio skrócić uzyskany wynik.

• Obliczmy sumę:
  $\frac{x^2+2x}{x^2-3x-10}+\frac{2x+4}{x^2-3x-10}=\frac{x^2+2x+2x+4}{(x+2)(x-5)}=$
  $=\frac{x^2+4x+4}{(x+2)(x-5)}=\frac{(x+2{)}^2}{(x+2)(x-5)}=\frac{x+2}{x-5}$;
  przy czym ze względu na mianownik $x\in ℝ\setminus \{-2;5\}$.

• W podobny sposób obliczmy różnicę:
  $\frac{x^2+2x}{x^2-3x-10}-\frac{2x+4}{x^2-3x-10}=\frac{x^2+2x-(2x+4)}{(x+2)(x-5)}=$
  $=\frac{x^2+2x-2x-4}{(x+2)(x-5)}=\frac{x^2-4}{(x+2)(x-5)}=$
  $=\frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-5)}=\frac{x-2}{x-5}$;
  założenia: $x\in ℝ\setminus \{-2;5\}$.

Przedstawmy w najprostszej postaci wyrażenie
$\frac{x^2+3x}{x^3-9x}+\frac{3x-9}{x^3-9x}-\frac{6x}{x^3-9x}$.

• Sprowadźmy na początek mianownik do postaci iloczynowej.

• $\frac{x^2+3x}{x^3-9x}+\frac{3x-9}{x^3-9x}-\frac{6x}{x^3-9x}=$
  $=\frac{x^2+3x+3x-9-6x}{x(x+3)(x-3)}=\frac{x^2-9}{x(x+3)(x-3)}=$
  $=\frac{(x+3)(x-3)}{x(x+3)(x-3)}=\frac{1}{x}$;
  Zauważmy, że w ostatnim kroku mogliśmy dokonać skrócenia ułamka.
  Określmy jeszcze założenia pamiętając, że mianownik (przed skracaniem) nie może przyjąć wartości $0$: $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-3;0;3\right\}$.

Przedstawmy w najprostszej postaci wyrażenie
$\frac{x^3+1}{x^3-1}-\frac{(x-2{)}^2}{x^3-1}+\frac{2x^2+3}{x^3-1}+\frac{(x-1{)}^2}{x^3-1}$.

• Zapiszmy mianownik w postaci iloczynu:

• $\frac{x^3+1}{x^3-1}-\frac{(x-2{)}^2}{x^3-1}+\frac{2x^2+3}{x^3-1}+\frac{(x-1{)}^2}{x^3-1}=$
  $=\frac{x^3+1}{(x-1)(x^2+x+1)}-\frac{x^2-4x+4}{(x-1)(x^2+x+1)}+\frac{2x^2+3}{(x-1)(x^2+x+1)}+\frac{x^2-2x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}=$
  $=\frac{x^3+1-x^2+4x-4+2x^2+3+x^2-2x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x^3+2x^2+2x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}=\left(i\right)$

• Zapiszmy w postaci iloczynowej również licznik i sprawdźmy, czy jest możliwe skrócenie ułamka:
  $\left(i\right)=\frac{(x+1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x+1}{x-1}$;

• Określmy dziedzinę: $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{1\right\}$.

• suma wyrażeń: $\frac{F\left(x\right)}{Q\left(x\right)}+\frac{G\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{F\left(x\right)+G\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$

• różnica wyrażeń: $\frac{F\left(x\right)}{Q\left(x\right)}-\frac{G\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{F\left(x\right)-G\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$

należy określić dziedzinę ($Q\left(x\right)\ne 0$)

wszystkie liczby rzeczywiste, dla których to wyrażenie ma sens liczbowy