Kulą nazywamy bryłę obrotową, która powstaje przez obrót koła wokół osi zawartej w płaszczyźnie koła, do której należy środek koła.

Kołem wielkim nazywamy największe koło, jakie można wpisać w kulę. Długość promienia koła wielkiego jest równa długości promienia kuli.

RPEyHgaqQwUly

Ilustracja przedstawia kulę z zaznaczonym promieniem o długości r zawartym w przekroju osiowym kuli będącym kołem wielkim.

Wyznaczymy promień kuli, gdy jej pole powierzchni jest równe $196\pi$.

Rozwiązanie

Niech $R$ będzie długością promienia kuli. Korzystając ze wzoru na pole powierzchni kuli, do obliczenia wartości $R$ rozwiązujemy równanie:

$196\pi =4·\pi ·R^2$.

Po podzieleniu obu stron tego równania przez $4\pi$ otrzymujemy:

$R^2=49$.

Zatem $R=7$.

Promień kuli zwiększono o $20\%$. Obliczymy, o ile procent wzrosło pole powierzchni kuli.

Rozwiązanie

Niech $R_1$ będzie długością promienia kuli.

Wówczas pole powierzchni tej kuli wynosi:

$P_1=4\pi {R_1}^2$.

Założmy, że po zwiększeniu długości promienia kuli o $20\%$ otrzymujemy kulę o promieniu $R_2$.

Zatem:

$R_2=1,2R_1$.

Wtedy pole powierzchni tej kuli wynosi:

$P_2=4\pi {R_2}^2=4\pi ·{\left(1,2R_1\right)}^2=1,44·4\pi {R_1}^2=144\%P_1$.

Różnica pól powierzchni tych kul wynosi:

$P_2-P_1=144\%P_1-P_1=44\%P_1$.

Wobec tego pole kuli wzrosło o $44\%$.

Pewną kulę przecięto płaszczyzną. Otrzymany przekrój jest kołem o promieniu długości $6$ i środku oddalonym od środka kuli o $4$. Wyznaczymy pole powierzchni tej kuli.

Rozwiązanie

Narysujmy rysunek pomocniczy do zadania i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

R1ZqPGH29Yb4j

Ilustracja przedstawia kulę przeciętą dwoma płaszczyznami. Pierwsza przechodzi przez oś symetrii kuli, druga natomiast jest równoległa do pierwszej i oddalona od niej o  długość d. Odcinek d wychodzący ze środka kuli, łączy obie płaszczyzny w ich środkach i jest prostopadły do promienia mniejszej płaszczyzny. Oba odcinki zostały połączone odcinkiem R i w ten sposób utworzony został trójkąt prostokątny o przyprostokątnych d i r oraz przeciwprostokątnej R.

Z warunków podanych w zadaniu mamy, że $r=6$ oraz $d=4$.

Do wyznaczenia długości promienia $R$ rozpatrywanej kuli zastosujemy twierdzenie Pitagorasa.

Zatem:

$R^2=r^2+d^2$

$R^2=6^2+4^2$

$R^2=52$, czyli $R=\sqrt{52}$.

Zatem pole powierzchni kuli jest równe:

$P=4·\pi ·{\left(\sqrt{52}\right)}^2=208\pi$.

Obliczymy pole powierzchni kuli, jeżeli pole powierzchni koła wielkiego zawartego w tej kuli wynosi $32\pi$.

Rozwiązanie

Do wyznaczenia długości promienia $r$ koła wielkiego rozwiązujemy równanie:

$32\pi =\pi ·r^2$.

Zatem $r^2=32$, czyli $r=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.

Ponieważ długość promienia koła wielkiego jest równa długości promienia kuli, w której to koło jest zawarte, zatem promień kuli $R=4\sqrt{2}$.

Wobec tego pole powierzchni tej kuli wynosi:

$P=4\pi ·{\left(4\sqrt{2}\right)}^2=128\pi$.

Suma pól powierzchni czterech kul o promieniach, których długości tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $\frac{1}{2}$ wynosi $5\frac{5}{16}\pi$. Wyznaczymy długość promienia najmniejszej kuli.

Rozwiązanie

Niech $R_1,R_2,R_3,R_4$ oznaczają długości promieni omawianych kul. Jeżeli te długości tworzą ciąg geometryczny o ilorazie $\frac{1}{2}$, to długości tych promieni wynoszą odpowiednio:

$R_1$ – długość promienia największej kuli,

$R_2=\frac{1}{2}{R}_1$,

$R_3=\frac{1}{4}{R}_1$,

$R_4=\frac{1}{8}{R}_1$.

Wobec tego pola powierzchni tych kul wynoszą:

$P_1=4\pi {R_1}^2$,

$P_2=4\pi {R_2}^2=4\pi {\left(\frac{1}{2}{R}_1\right)}^2=4\pi ·\frac{1}{4}{R_1}^2=\pi {R_1}^2$,

$P_3=4\pi {R_3}^2=4\pi {\left(\frac{1}{4}{R}_1\right)}^2=4\pi ·\frac{1}{16}{R_1}^2=\frac{1}{4}\pi {R_1}^2$,

$P_4=4\pi {R_4}^2=4\pi {\left(\frac{1}{8}{R}_1\right)}^2=4\pi ·\frac{1}{64}{R_1}^2=\frac{1}{16}\pi {R_1}^2$.

Ponieważ suma pól powierzchni tych czterech kul wynosi $5\frac{5}{16}\pi$, zatem do wyznaczenia wartości $R_1$ rozwiązujemy równanie:

$4\pi {R_1}^2+\pi {R_1}^2+\frac{1}{4}\pi {R_1}^2+\frac{1}{16}\pi {R_1}^2=5\frac{5}{16}\pi$

$4\pi {R_1}^2·\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}\right)=5\frac{5}{16}\pi$

$4\pi {R_1}^2·\frac{85}{64}=\frac{85}{16}\pi$

${R_1}^2=1$, czyli $R_1=1$.

Promień najmniejszej kuli ma długość $R_4$, zatem:

$R_4=\frac{1}{8}{R}_1=\frac{1}{8}·1=\frac{1}{8}$.

Obliczymy pole powierzchni kuli wpisanej w sześcian o krawędzi $12$.

Rozwiązanie

Wykonajmy rysunek pomocniczy i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

R8QR0HH4MDM2W

Ilustracja przedstawia kulę o promieniu o długości R, wpisaną w sześcian z długością krawędzi równą dwa R.

Zauważmy, że jeśli kula jest wpisana w sześcian, to długość krawędzi sześcianu jest dwa razy większa od długości promienia kuli oraz kula musi być styczna do wszystkich ścian sześcianu.

Wobec tego do wyznaczenia wartości $R$ rozwiązujemy równanie:

$2R=12$, czyli $R=6$.

Zatem pole powierzchni kuli wynosi:

$P=4·\pi ·6^2=144\pi$.

bryła obrotową, która powstaje przez obrót koła wokół osi zawartej w płaszczyźnie koła, do której należy środek koła