Implementacja metody Newtona‑Raphsona w języku Python

W metodzie Newtona‑Raphsonametoda Newtona‑Raphsonametodzie Newtona‑Raphsona korzystamy z faktu, że pierwiastkowana liczba jest równa polu kwadratu, którego boki są takiej długości jak wartość wyniku pierwiastkowania. Będziemy więc tworzyć kolejne prostokąty, coraz bardziej zbliżone do poszukiwanej figury. Załóżmy, że pierwiastkujemy pewną liczbę $c$, a pierwszy wielokąt wyglądać będzie następująco:

RmarJ3ppOrDmp

Ilustracja przedstawia prostokąt z równaniem: $P=c$.
Przy boku poziomym widnieje równanie $a=\frac{c}{2}$, a przy pionowym: $b=\frac{c}{a}$.

Na podstawie długości boków prostokąta wyliczać będziemy kolejne poszukiwane wartości. Zapiszmy więc funkcję odpowiedzialną za proces wyszukiwania docelowej długości boku $a$ kwadratu. Pamiętajmy, że jedną z niezbędnych zmiennych będzie również precyzja, której rolą zajmiemy się w następnym kroku. Na razie w funkcji znajdą się jedynie założenia początkowe, dotyczące długości boków pierwszego prostokąta.

def pierwiastkowanie(pierwiastkowany, precyzja):
    a = pierwiastkowany / 2
    b = pierwiastkowany / a

Tworzymy pętlę odpowiedzialną za wyliczanie kolejnych długości boków wielokątów. Operację tę przeprowadzamy do momentu, gdy wartość bezwzględna różnicy pomiędzy długościami obu boków będzie mniejsza niż zadana precyzja. Im mniejszą wartość zmiennej precyzja ustalimy, tym wynik będzie dokładniejszy. Długości boków prostokątów wyliczamy w następujący sposób:

Mając już niezbędne informacje, możemy przejść do dokończenia funkcji. Powtarzanie przedstawionych operacji, dopóki nie spełnimy wspomnianego warunku dotyczącego precyzji i różnicy boków, oznacza konieczność zastosowania pętli. Dodatkowo w warunku zastosujemy wartość bezwzględną. Użyjemy funkcji abs.

def pierwiastkowanie(pierwiastkowany, precyzja):
    a = pierwiastkowany / 2
    b = pierwiastkowany / a

    while abs(a - b) > precyzja:
        a = (a + b) / 2
        b = pierwiastkowany / a

    return a

Teraz wystarczy już tylko pobrać od użytkownika pierwiastkowaną liczbę oraz żądaną precyzję. Po wywołaniu funkcji otrzymamy wypisany przybliżony wynik pierwiastkowania kwadratowego.

c = float(input("Wprowadz liczbe do pierwiastkowania\n"))
p = float(input("Wprowadz precyzje\n"))

print("Wynik pierwiastkowania")
print(pierwiastkowanie(c, p))

Cały program prezentuje się następująco:

import math

def pierwiastkowanie(pierwiastkowany, precyzja):
    a = pierwiastkowany / 2
    b = pierwiastkowany / a

    while abs(a - b) > precyzja:
        a = (a + b) / 2
        b = pierwiastkowany / a

    return a

c = float(input("Wprowadz liczbe do pierwiastkowania\n"))
p = float(input("Wprowadz precyzje\n"))

print("Wynik pierwiastkowania")
print(pierwiastkowanie(c, p))

W ten sposób zapisaliśmy algorytm Newtona‑Raphsona obliczania przybliżonej wartości pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej w języku Python.

Słownik