Przeczytaj

François Viète’a był szesnastowiecznym matematykiem, któremu przypisuje się wynalezienie metody rozwiązywania równań poprzez wprowadzenie oznaczania niewiadomej literą i wykonywanie serii równoważnych przekształceń. Nie bał się nawet, w poszukiwaniu rozwiązań, korzystać ze zbioru liczb zespolonych. Jednak polscy uczniowie (i to tylko ci, którzy realizują matematykę na poziomie rozszerzonym) kojarzą głównie wzory Viète’a podające użyteczne własności pierwiastków równanie kwadratowego.

Jeżeli równanie kwadratowe $a x^{2} + b x + c = 0$ , gdzie $a$ , $b$ , $c \in ℝ$ , $a \neq 0$ ma dwa rozwiązania: $x_{1}$ , $x_{2}$ , to prawdziwe są dla nich następujące zależności, zwane wzorami Viete'a:

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

W szczególnym przypadku, dla $a = 1$ , otrzymujemy:

x_{1} + x_{2} = - b

x_{1} \cdot x_{2} = c

Uwaga! Stosując powyższe twierdzenie musimy być czujni i pamiętać o założeniach twierdzenia.

Przykład 1

Rozważając równanie kwadratowe $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ , możemy zapisać, że $- \frac{b}{a} = - \frac{2}{1} = - 2$ oraz $\frac{c}{a} = \frac{4}{1} = 4$ , ale te wielkości nie odpowiadają sumie i iloczynowi pierwiastków rozważanego trójmianu. Dlaczego? Trójmian $x^{2} + 2 x + 4$ nie ma pierwiastków: $Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = - 12 < 0$ .

Ciekawostka

Wzory Viète’awzory Viète’aWzory Viète’a można stosować, by rozwiązywać w pamięci równania kwadratowe. Jest to szczególnie łatwe, gdy $a = 1$ . Weźmy na przykład równanie: $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ . Ze wzorów Viète’a otrzymujemy od razu, że iloczyn rozwiązań równania jest równy $4$ , a ich suma wynosi $5$ . Liczby spełniające takie warunki możemy odgadnąć. Rozwiązaniami tego równania są liczby $1$ oraz $4$ .

Przykład 2

Nie wyznaczając rozwiązań $x_{1}$ i $x_{2}$ równania $2 x^{2} - 10 x - 6 = 0$ obliczymy ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$ (suma kwadratów pierwiastków trójmianu).

Sprawdźmy najpierw, że równanie ma dwa różne pierwiastki. W tym celu wyznaczymy wyróżnik odpowiedniego trójmianu kwadratowego:

$Δ = 100 + 48 = 148 > 0$ ,

zatem równanie ma dwa różne pierwiastki.

Spróbujmy zapisać wyrażenie ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$ z wykorzystaniem sumy i iloczynu pierwiastków $x_{1}$ , $x_{1}$ . Skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:

${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}$

Teraz wystarczy już zastosować wzory Viète’awzory Viète’a i wykonać obliczenia:

$x_{1} + x_{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_{1} x_{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$

Stąd: ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 5^{2} - 2 \cdot (- 3) = 25 + 6 = 31$

Polecenie w przykładzie mogło wydawać się sztuczne: „nie wyznaczając rozwiązań $x_{1}$ i $x_{2}$ $\dots$ ”. Ale spróbuj rozwiązać powyższe zadanie wyznaczając rozwiązania równania. Dzięki temu docenisz użyteczność stosowania wzorów Viète’a.

Podstawowym problemem przy zastosowaniach wzorów Viète’a jest zapisanie szukanej wielkości z wykorzystaniem sumy i iloczynu pierwiastków. Rozważmy kilka przykładów.

Przykład 3

Suma odwrotności pierwiastków trójmianu: $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{2} + x_{1}}{x_{1} x_{2}}$ .

Suma sześcianów pierwiastków trójmianu:

${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = (x_{1} + x_{2}) ({x_{1}}^{2} - x_{1} \cdot x_{2} + {x_{2}}^{2}) =$

$= (x_{1} + x_{2}) \cdot ({(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 \cdot x_{1} \cdot x_{2} - x_{1} \cdot x_{2}) =$

$= {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 \cdot x_{1} \cdot x_{2} (x_{1} + x_{2}) = {(\frac{- b}{a})}^{3} - 3 \cdot \frac{c}{a} \cdot \frac{- b}{a} = \frac{- b^{3} + 3 a b c}{a^{3}}$

Suma odwrotności kwadratów pierwiastków trójmianu:

$\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{{(x_{1} \cdot x_{2})}^{2}} = \frac{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 \cdot x_{1} \cdot x_{2}}{{(x_{1} \cdot x_{2})}^{2}} = \frac{{(\frac{- b}{a})}^{2} - 2 \cdot \frac{c}{a}}{{(\frac{c}{a})}^{2}}$

Przykład 4

Równanie $a x^{2} + b x - 6 = 0$ ma dwa różne rozwiązania, których suma jest równa $2$ , a ich iloczyn wynosi $(- 3)$ . Znajdź współczynniki $a$ i $b$ tego równania.

Wykorzystując wzory Viète’awzory Viète’awzory Viète’a dla rozpatrywanego równania (aby równanie miało dwa rozwiązania, współczynnik a musi być różny od zera) otrzymujemy:

$- \frac{b}{a} = 2$

$\frac{c}{a} = \frac{- 6}{a} = - 3$

Z drugiego z powyższych równań łatwo wywnioskować, że współczynnik $a$ wynosi $2$ . Wówczas z pierwszego równania wynika, że współczynnik $b$ jest równy $(- 4)$ . Szukanym równaniem kwadratowym jest więc:

$2 x^{2} - 4 x - 6 = 0$

W celu sprawdzenia poprawności otrzymanego wyniku wystarczy znaleźć rozwiązania równania kwadratowego $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ .

Są one równe $(- 1)$ i $3$ , a więc spełniają warunki zadania.

Wzorów Viète’a możemy używać również do określenia znaku pierwiastków trójmianu kwadratowego, bez konieczności ich wyliczania.

Zastanówmy się, kiedy oba pierwiastki trójmianu kwadratowego są dodatnie. Zwróćmy uwagę, że warunek $x_{1} + x_{2} > 0$ nie gwarantuje, że zarówno $x_{1}$ jak i $x_{2}$ są dodatnie. Musimy zażądać dodatkowo żeby oba pierwiastki miały taki sam znak, tj. żeby spełniony był warunek $x_{1} x_{2} > 0$ . Analogicznie, żeby oba pierwiastki były ujemne muszą być spełnione równocześnie warunki $x_{1} + x_{2} < 0$ oraz $x_{1} x_{2} > 0$ . Pierwiastki mają różne znaki wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek $x_{1} x_{2} < 0$ .

Typowym przykładem wykorzystania powyższych obserwacji jest następujące zadanie.

Przykład 5

Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $x^{2} + m x + 1 = 0$ dwa różne pierwiastki dodatnie?

Zaczniemy od odpowiedzi na pytania, dla jakich wartości parametru $m$ równanie ma dwa pierwiastki, tj. kiedy zachodzi nierówność $Δ > 0$ .

$Δ = m^{2} - 4$ , więc $Δ > 0$ dla $m \in (- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$ .

Drugi warunek, który sprawdzimy, to: $x_{1} + x_{2} > 0$ , tj. $- \frac{b}{a} = - \frac{m}{1} > 0$ . Zatem $m < 0$ .

Zauważmy jeszcze, że $\frac{c}{a} = 1 > 0$ .

Podsumowjąc, równanie ma dwa różne pierwiastki dodatnie, gdy $m \in (- \infty, - 2)$ .

Słownik

wzory Viète’a

wzory wiążące pierwiastki równania kwadratowego z jego współczynnikami; ich nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka François Viète’a

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Słownik