Przeczytaj
Tę lekcję rozpoczniemy od konstrukcji wykresu funkcji , gdzie .
W tym celu wykorzystamy wzór redukcyjny: , który jest prawdziwy dla dowolnej liczby .
Równość oznacza, że aby otrzymać wykres funkcji wystarczy przesunąć wykres funkcji o wektor .
Zobacz na poniższym rysunku, jak w wyniku przesunięcia z wykresu funkcji powstaje wykres funkcji .
Na podstawie własności funkcji sinus oraz obserwacji wykresu funkcji cosinus możemy opisać wszystkie własności funkcji .
Funkcja cosinus jest funkcją okresową o okresie zasadniczym , gdyż dla każdej liczby zachodzi równość .
Funkcja cosinus jest funkcją parzystą, gdyż dla każdego zachodzi równość .
Zbiorem wartości funkcji cosinus jest przedział .
Wartość największą równą funkcja cosinus osiąga dla argumentów: , gdzie .
Wartość najmniejszą równą funkcja osiąga dla argumentów: , gdzie .
Miejscami zerowymi funkcji cosinus są argumenty: , gdzie .
Funkcja jest rosnąca w przedziałach: , gdzie .
Funkcja jest malejąca w przedziałach: , gdzie .
Opiszmy własności geometryczne wykresu funkcji cosinus:
1. Osią symetrii wykresu funkcjiOsią symetrii wykresu funkcji cosinus jest każda prosta o równaniu , gdzie .
2. Środkiem symetrii wykresu funkcjiŚrodkiem symetrii wykresu funkcji cosinus jest każdy punkt o współrzędnych , gdzie .
1. Aby udowodnić tę własność skorzystamy z następującej faktu dotyczącego osi symetrii wykresu funkcji:
Prosta jest osią symetrii wykresu funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby z dziedziny zachodzi równość .
Zatem w przypadku funkcji cosinus chcemy wykazać, że dla dowolnej liczby zachodzi równość: .
Najpierw skorzystamy z zależności . Zatem
a następnie wykorzystamy okresowość funkcji cosinus:
.
Ostatecznie otrzymujemy:
,
co kończy dowód.
2. Aby udowodnić tę własność skorzystamy z następującego warunku istnienia środka symetrii wykresu funkcji:
Punkt o współrzędnych jest środkiem symetrii wykresu funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby z dziedziny zachodzi równość:
.
Zatem musimy sprawdzić, że dla dowolnej liczby rzeczywistej zachodzi równość:
.
czyli
.
Najpierw skorzystamy z okresowości funkcji cosinus: , a następnie ze wzoru redukcyjnego: .
Zatem mamy:
,
co kończy dowód.
Podamy okres zasadniczy funkcji:
Rozwiązanie:
Okresem zasadniczym funkcji jest , gdyż .
Okresem zasadniczym funkcji jest , gdyż .
Okresem zasadniczym funkcji jest , gdyż .
Okresem zasadniczym funkcji jest , gdyż .
Podamy miejsca zerowe funkcji:
Rozwiązanie:
Równanie ma takie same rozwiązania jak równanie , a zatem miejscami zerowymi funkcji są: , gdzie .
Rozwiązaniami równania są wszystkie liczby , dla których , czyli , gdzie .
Równanie ma takie same rozwiązania jak równanie , a zatem miejscami zerowymi funkcji są: , gdzie .
Rozwiązaniami równania są wszystkie liczby , czyli , gdzie .
Która wartość jest większa: czy ?
Rozwiązanie:
Korzystając z parzystości funkcji cosinus mamy: .
Zauważmy, że oraz . Ponadto . Ponieważ funkcja cosinus w przedziale jest malejąca, zatem .
Podamy zbiory wartości funkcji:
Rozwiązanie:
Ponieważ liczba jest dowolną liczbą rzeczywistą, zatem zbiorem wartości funkcji jest przedział . Wobec tego zbiorem wartości funkcji jest przedział .
Ponieważ liczba jest dowolną liczbą rzeczywistą, zatem zbiorem wartości funkcji jest przedział . Wobec tego zbiorem wartości funkcji jest przedział . W konsekwencji zbiorem wartości funkcji jest przedział .
Słownik
prosta jest osią symetrii wykresu funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby z dziedziny zachodzi równość
punkt o współrzędnych jest środkiem symetrii wykresu funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby z dziedziny zachodzi równość