Już wiesz, że funkcja , gdzie jest liczbą rzeczywistą różną od , jest funkcją okresową. Jej okres zasadniczy jest równy .
Wynika to z dwóch faktów:
, czyli liczba jest okresem funkcji ,
jeżeli liczba ma taką własność, że , to , gdyż okresem zasadniczym funkcji cosinus jest liczba , która jest większa od liczby , ponieważ .
Zatem liczba jest okresem zasadniczym .
Polecenie 1
Czy funkcja jest okresowa, gdzie ? Jaki jest jej okres zasadniczy?
Obejrzyj poniższą symulację interaktywną i spróbuj postawić hipotezę dla liczb .
Czy funkcja jest okresowa, gdzie ? Jaki jest jej okres zasadniczy? Spróbuj postawić hipotezę dla liczb .
RlEDDxoesBEF8
RXrnY2ZUVggFQ
Polecenie 2
Uzasadnij, że okresem zasadniczym funkcji jest .
Zauważ, że funkcja dla argumentu przyjmuje wartość . Funkcja przyjmuje wartość tylko wtedy, gdy każda z funkcji i przyjmuje wartość dla tego samego argumentu.
Funkcja przyjmuje wartość dla argumentów: , gdzie . Funkcja przyjmuje wartość dla argumentów: , gdzie . Zatem funkcja przyjmuje wartość dla argumentów , gdzie . Pozostaje sprawdzić, że jest istotnie okresem funkcji .
Polecenie 3
Uzasadnij, że , gdzie jest funkcją okresową i podaj jej okres zasadniczy.
Zauważ, że funkcja dla argumentu przyjmuje wartość . Funkcja przyjmuje wartość tylko wtedy, gdy każda z funkcji i przyjmuje wartość dla tego samego argumentu.
Okresem zasadniczym funkcji , gdzie jest .
Funkcja przyjmuje wartość dla argumentów: , gdzie . Funkcja przyjmuje wartość dla argumentów: , gdzie . Szukamy teraz najmniejszych dodatnich liczb naturalnych , , aby . Szukamy zatem liczb spełniających równanie: . Liczby , będą najmniejsze, gdy ułamek sprowadzimy do postaci ułamka nieskracalnego, czyli skrócimy go przez największy wspólny dzielnik liczb i . Wobec tego poszukiwane liczby to: i . Stąd wynika, że funkcje i przyjmują jednocześnie wartość dla i jest to najmniejszy argument dodatni o tej własności. Zatem wystarczy sprawdzić tylko, że jest istotnie okresem zasadniczym funkcji .