Aplet

Już wiesz, że funkcja $y = \cos a x$ , gdzie $a$ jest liczbą rzeczywistą różną od $0$ , jest funkcją okresową. Jej okres zasadniczy jest równy $T = \frac{2 π}{a}$ .

Wynika to z dwóch faktów:

$\cos (a (x + \frac{2 π}{a})) = \cos (a x + 2 π) = \cos a x$ , czyli liczba $\frac{2 π}{a}$ jest okresem funkcji $y = \cos a x$ ,

jeżeli liczba $t$ ma taką własność, że $0 < t < \frac{2 π}{a}$ , to $\cos (a (x + t)) = \cos (a x + a t) \neq \cos a x$ , gdyż okresem zasadniczym funkcji cosinus jest liczba $2 π$ , która jest większa od liczby $a t$ , ponieważ $0 < t < \frac{2 π}{a}$ .

Zatem liczba $T = \frac{2 π}{a}$ jest okresem zasadniczym $y = \cos a x$ .

Polecenie 1

Czy funkcja $y = \cos a x + \cos b x$ jest okresowa, gdzie $a, b \neq 0$ ? Jaki jest jej okres zasadniczy?

Obejrzyj poniższą symulację interaktywną i spróbuj postawić hipotezę dla liczb $a, b \in ℤ$ .

Czy funkcja $y = \cos a x + \cos b x$ jest okresowa, gdzie $a, b \neq 0$ ? Jaki jest jej okres zasadniczy? Spróbuj postawić hipotezę dla liczb $a, b \in ℤ$ .

RlEDDxoesBEF8

RXrnY2ZUVggFQ

Polecenie 2

Uzasadnij, że okresem zasadniczym funkcji $y = \cos 3 x + \cos 2 x$ jest $T = 2 π$ .

Zauważ, że funkcja $y = \cos 3 x + \cos 2 x$ dla argumentu $0$ przyjmuje wartość $2$ . Funkcja $y = \cos 3 x + \cos 2 x$ przyjmuje wartość $2$ tylko wtedy, gdy każda z funkcji $y = \cos 3 x$ i $y = \cos 2 x$ przyjmuje wartość $1$ dla tego samego argumentu.

Funkcja $y = \cos 3 x$ przyjmuje wartość $1$ dla argumentów: $\frac{2 π}{3} k$ , gdzie $k \in ℤ$ . Funkcja $y = \cos 2 x$ przyjmuje wartość $1$ dla argumentów: $\frac{2 π}{2} k$ , gdzie $k \in ℤ$ . Zatem funkcja $y = \cos 3 x + \cos 2 x$ przyjmuje wartość $2$ dla argumentów $2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ . Pozostaje sprawdzić, że $T = 2 π$ jest istotnie okresem funkcji $y = \cos 3 x + \cos 2 x$ .

Polecenie 3

Uzasadnij, że $y = \cos a x + \cos b x$ , gdzie $a, b \in ℕ_{+}$ jest funkcją okresową i podaj jej okres zasadniczy.

Zauważ, że funkcja $y = \cos a x + \cos b x$ dla argumentu $0$ przyjmuje wartość $2$ . Funkcja $y = \cos a x + \cos b x$ przyjmuje wartość $2$ tylko wtedy, gdy każda z funkcji $y = \cos a x$ i $y = \cos b x$ przyjmuje wartość $1$ dla tego samego argumentu.

Okresem zasadniczym funkcji $y = \cos a x + \cos b x$ , gdzie $a, b \in ℕ_{+}$ jest $T = \frac{2 π}{N W D (a, b)}$ .

Funkcja $y = \cos a x$ przyjmuje wartość $1$ dla argumentów: $\frac{2 π}{a} k$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Funkcja $y = \cos b x$ przyjmuje wartość $1$ dla argumentów: $\frac{2 π}{b} l$ , gdzie $l \in ℤ$ .
Szukamy teraz najmniejszych dodatnich liczb naturalnych $m$ , $n$ , aby $m \frac{2 π}{a} = n \frac{2 π}{b}$ . Szukamy zatem liczb spełniających równanie: $\frac{m}{n} = \frac{a}{b}$ .
Liczby $m$ , $n$ będą najmniejsze, gdy ułamek $\frac{a}{b}$ sprowadzimy do postaci ułamka nieskracalnego, czyli skrócimy go przez największy wspólny dzielnik liczb $a$ i $b$ . Wobec tego poszukiwane liczby to: $m = \frac{a}{N W D (a, b)}$ i $n = \frac{b}{N W D (a, b)}$ .
Stąd wynika, że funkcje $y = \cos a x$ i $y = \cos b x$ przyjmują jednocześnie wartość $1$ dla $x = m \frac{2 π}{a} = \frac{a}{N W D (a, b)} \cdot \frac{2 π}{a} = \frac{2 π}{N W D (a, b)}$ i jest to najmniejszy argument dodatni o tej własności. Zatem wystarczy sprawdzić tylko, że $T = \frac{2 π}{N W D (a, b)}$ jest istotnie okresem zasadniczym funkcji $y = \cos a x + \cos b x$ .

Przeczytaj

Sprawdź się