Przeczytaj

Rozważmy funkcję $f$ oraz argument $x_0$ , w otoczeniu którego funkcja $f$ jest określona. Przypomnijmy, iż pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_0$ , oznaczaną symbolem $f'\left(x_0\right)$ , definiujemy jako granicę właściwą ilorazu różnicowegoiloraz różnicowyilorazu różnicowego:

$f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}.$

Pochodną funkcji $f$ w punkcie $x_0$ możemy także zdefiniować jako granicę:

$f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}.$

Oczywiście powyższe definicje są sobie równoważne, a w literaturze możesz spotkać obie z nich. Na potrzeby tego matriału będziemy stosować definicję drugą.

Wyznaczanie pochodnych funkcji bezpośrednio z definicji niejednokrotnie może okazać się wymagające i czasochłonne. Z pomocą przychodzą wzory ogólne pochodnych wybranych funkcji elementarnychfunkcje elementarnefunkcji elementarnych. Wzory te wyrażać będą ogólną postać pochodnej rozważanej funkcji $y=f\left(x\right)$ w dowolnym punkcie $x$ , w którym funkcja jest określona i różniczkowalna.

W trakcie tej lekcji poznasz wzory wyrażające pochodną funkcji stałej, pochodną funkcji potęgowej o wykładniku naturalnym, a także, ponadprogramowo, wzór wyrażający pochodną logarytmu naturalnegologarytm naturalnylogarytmu naturalnego.

Pochodna funkcji stałej $f\left(x\right)=c$ , $c\in\mathbb{R}$

Rozważmy funkcję stałą postaci $f\left(x\right)=c$ , gdzie $c$ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Wówczas pochodna funkcji stałej w dowolnym punkcie $x\in D_f$ wyraża się wzorem:

$f'\left(x\right)=\left(c\right)'=0.$

Dla zainteresowanych

Zauważ, że wyprowadzając pochodną funkcji $f\left(x\right)=c$ bezpośrednio z definicji pochodnej, otrzymamy:

$f'\left(x\right)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{c-c}{h}=0.$

Przykład 1

Znajdziemy pochodną funkcji stałej $y=5$ . Zgodnie z wprowadzonym powyżej wzorem, dostaniemy $y'=\left(5\right)'=0$ .

Przykład 2

Wyznaczymy pochodną funkcji stałej $y=-\frac12$ . Otrzymamy $y'=\left(-\frac12\right)'=0$ .

Pochodna funkcji potęgowej $f\left(x\right)=x^n$ dla $n\in\mathbb{N}$

Przykład 3

Rozważmy funkcję potęgową $y=x^2$ dla $x\in\mathbb{R}$ . Chcemy wyznaczyć pochodną tej funkcji w dowolnym punkcie $x\in\mathbb{R}$ . Skorzystamy najpierw bezpośrednio z definicji pochodnej. Otrzymamy:

$y'=\lim\limits_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\left(x+h\right)^2-x^2}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{2xh+h^2}{h}=$

$=\lim\limits_{h\to0}(2x+h)=2x.$

Zatem $y'=\left(x^2\right)'=2x$ dla dowolnego argumentu $x\in\mathbb{R}$ .

Wprowadzimy teraz wzór ogólny wyrażający pochodną dowolnej funkcji potęgowej o wykładniku naturalnym. Pochodna funkcji potęgowej $f\left(x\right)=x^n$ , gdzie $x\in\mathbb{N}$ , dana jest wzorem:

$f'\left(x\right)=\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}.$

Dla zainteresowanych

Aby uzasadnić powyższy wzór, skorzystamy z definicji pochodnej funkcji oraz z dwumianu Newtonadwumian Newtonadwumianu Newtona. Otrzymamy wówczas:

$f'\left(x\right)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{\left(x+h\right)^n-x^n}{h}=$

$\lim\limits_{h\to 0}\frac{\Big(\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}h^k\Big)-x^n}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{\big(\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^2+\ldots+\binom{n}{n}h^{n}\big)-x^{n}}{h}=$

$=\lim\limits_{h\to 0}\frac{x^n+n\cdot x^{n-1}h+\binom{n}{2}x^{n-2}h^2+\ldots+h^n-x^n}{h}=$

$=\lim\limits_{h\to 0}\Big(n\cdot x^{n-1}+\binom{n}{2}x^{n-2}\cdot h+\ldots+h^{n-1}\Big)=n\cdot x^{n-1}.$

Przykład 4

Rozważamy raz jeszcze funkcję $y=x^2$ , której pochodną chcielibyśmy wyznaczyć korzystając z przedstawionego powyżej wzoru. Zauważamy, że zgodnie z powyższą postacią, wykładnik $n=2$ . Podstawiając $n$ do wprowadzonego wzoru dostaniemy $y'=\left(x^2\right)'=2\cdot x^{2-1}=2x$ , tak jak w przykładzie 2.

Przykład 5

Znajdziemy pochodną funkcji $y=x^{17}$ . Stosując wzór na pochodną funkcji potęgowej, dla $n=17$ , otrzymamy $y'=\left(x^{17}\right)'=17\cdot x^{17-1}=17x^{16}$ .

Przykład 6

Wprowadzony powyżej wzór znajduje zastosowanie również w szczególnym przypadku, gdy dana jest funkcja $y=x$ dla $x\in\mathbb{R}$ . Wtedy wykładnik $n=1$ , więc pochodna funkcji będzie postaci $y'=\left(x\right)'=1\cdot x^{1-1}=1$ .

Pochodna logarytmu naturalnego $f\left(x\right)=\ln x$ dla $x\in\mathbb{R}^+$

Rozważmy funkcję logarytmiczną postaci $f\left(x\right)=\ln x$ , gdzie $x\in\mathbb{R}^+$ . Pochodna logarytmu naturalnego dana jest wzorem:

$f'\left(x\right)=\left(\ln x\right)'=\frac1{x}.$

Podsumowanie

Reasumując, zaprezentowane pochodne wybranych funkcji elementarnych zapiszemy w poniższej tabeli.

Wzór funkcji $y = f (x)$	Pochodna $f' (x)$ funkcji $f$	Uwagi
$f (x) = c$	$(c)' = 0$	$c \in ℝ$
$f (x) = x^{n}$	$(x^{n})' = n \cdot x^{n - 1}$	$n \in ℕ$
$f (x) = \ln x$	$(\ln x)' = \frac{1}{x}$	$x \in ℝ^{+}$

Słownik

iloraz różnicowy

to stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu funkcji. Dla funkcji $f\colon X\to Y$ oraz argumentów $x_1,x_2\in X$ iloraz różnicowy wyrażony jest jako

$\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$

funkcje elementarne

to funkcje, które możemy otrzymać z tak zwanych podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych, składania oraz odwracania funkcji. Do podstawowych funkcji elementarnych należą:

funkcje stałe
funkcje potęgowe
funkcje wykładnicze
funkcje logarytmiczne
funkcje trygonometryczne

dwumian Newtona

jeśli $x,y\in\mathbb{R}$ , to każdą naturalną potegę dwumianu $x+y$ możemy przedstawić w postaci sumy:

$\left(x+y\right)^n=\binom{n}{0}\cdot x^n+\binom{n}{1}\cdot x^{n-1}y+\ldots+\binom{n}{n-1}\cdot xy^{n-1}+\binom{n}{n}\cdot y^n$

lub krócej przy pomocy notacji sumacyjnej

$\left(x+y\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$

logarytm naturalny

to logarytm o podstawie $e$ (liczba Eulera), gdzie $e\approx 2,718281828$ . Logarytm naturalny oznaczany jest symbolem $\ln$

Wprowadzenie

Infografika

Pochodna funkcji stałej $f\left(x\right)=c$ , $c\in\mathbb{R}$

Pochodna funkcji potęgowej $f\left(x\right)=x^n$ dla $n\in\mathbb{N}$

Pochodna logarytmu naturalnego $f\left(x\right)=\ln x$ dla $x\in\mathbb{R}^+$

Podsumowanie

Słownik

Wprowadzenie

Infografika

Przeczytaj

Pochodna funkcji stałej f\left(x\right)=c, c\in\mathbb{R}

Pochodna funkcji potęgowej f\left(x\right)=x^n dla n\in\mathbb{N}

Pochodna logarytmu naturalnego f\left(x\right)=\ln x dla x\in\mathbb{R}^+

Podsumowanie

Słownik

Pochodna funkcji stałej $f\left(x\right)=c$ , $c\in\mathbb{R}$

Pochodna funkcji potęgowej $f\left(x\right)=x^n$ dla $n\in\mathbb{N}$

Pochodna logarytmu naturalnego $f\left(x\right)=\ln x$ dla $x\in\mathbb{R}^+$