Przeczytaj

Warto przeczytać

Doświadczenie 1

Na początku wykonaj proste doświadczenie: złóż ze sobą dwa palce, zbliż je do oka i spójrz przez szczelinę między nimi na jasną powierzchnię, na przykład na niebo. Okaże się, że na jasnym tle szczeliny pojawiają się ciemne „włókna” (Rys. 1.). Zaobserwowałeś w ten sposób dyfrakcjędyfrakcjadyfrakcję światła na pojedynczej szczelinie – i stwierdziłeś, że powstający obraz może być dość skomplikowany. Jego dokładne wyjaśnienie przekracza nasze możliwości.

Dyfrakcja to zjawisko ugięcia się fal podczas ich rozchodzenia się w niejednorodnym środowisku, na przykład podczas napotkania przez fale przeszkody lub otworu. Jest szczególnie dobrze widoczna, gdy fala napotka na przeszkodę lub otwór o rozmiarach porównywalnych z długością fali. Wyobraź sobie, że masz do dyspozycji długą, wąską szczelinę i pęczek cienkich nitek. Nitki wchodzą prostopadle do szczeliny tak, że są idealnie naprężone i równoległe do siebie. Na wyjściu ze szczeliny promieniście się rozchodzą tworząc wachlarz. Zupełnie jak prążki dyfrakcyjne dla źródła światła. Po prostu punkt ośrodka, do którego dociera fala, staje się źródłem fali cząstkowej o takiej samej częstotliwości, fali kolistej. Ale to nie wszystko. Dzięki zjawisku dyfrakcji fal możemy usłyszeć dźwięki wydobywające się zza budynku. Budynek jest przeszkodą, na jego narożach, a także ich częściach i otworach fala dźwiękowa ugina się (ulega dyfrakcji) i dociera do nas mimo, że nie stoimy bezpośrednio na drodze tej fali.

RxcpApLc3Rmks

Rys. 1. Rysunek przedstawia szary obraz dyfrakcyjny. Na zmianę w pionie staje się jaśniejszy a potem ciemniejszy i tak dalej. Przypomina on trochę wyglądem stojące pionowo, obok siebie i stykające się ze sobą metalowe rurki. — Rys. 1. Obraz dyfrakcyjny obserwowany w Doświadczeniu 1.

Doświadczenie 2

Możemy jednak zrobić inne doświadczenie: zbadać dyfrakcjędyfrakcjadyfrakcję światła wskaźnika laserowego na pojedynczej szczelinie. Możliwie najwęższą szczelinę zrobimy w folii aluminiowej (najlepiej grubszej, od kwiatów) końcem ostrego noża. Na tę szczelinę skierujemy wiązkę wskaźnika laserowego (Rys. 2.). Obraz w świetle przechodzącym obserwować będziemy w ciemnym pomieszczeniu na białym ekranie (na przykład białych drzwiach).

Wyobraź sobie teraz, że masz do dyspozycji długą, wąską szczelinę i pęczek nitek o różnej grubości. Nitki ponownie wchodzą prostopadle do szczeliny tak, że są idealnie naprężone i równoległe do siebie. Na wyjściu ze szczeliny promieniście się rozchodzą tworząc wachlarz. Zupełnie jak prążki dyfrakcyjne dla źródła światła. Tyle, że nitka na środku jest najgrubsza, a wszystkie pozostałe są coraz cieńsze im bliżej krawędzi wachlarza. To zupełnie, jak w przypadku wskaźnika laserowego skierowanego na pojedynczą szczelinę (rys. 2.). Uzyskany obraz będzie przedstawiał maksimum centralne, które jest najjaśniejsze i największe, ja gruba nitka.

Uzyskany obraz przedstawia Rys. 3. Obserwujemy jasną plamkę środkową (będziemy ją nazywać maksimum centralnym) oraz coraz ciemniejsze plamki po jej obu stronach (nazywane maksimami bocznymi lub rzędami widma). Pomiędzy nimi występują całkowicie ciemne miejsca – są to minima.

RyAqPorLPKf37

Rys. 2. Rysunek przedstawia laser w postaci brązowego rozciągniętego w poziomie owalu, z którego wydobywa się poziomy promień światła przedstawiony w postaci przerywanej czerwonej linii. Promień ten przechodząc przez małą szczelinę w czarnej prostokątnej przesłonie rozdziela się na dwa promienie, przedstawione tak samo jak pierwszy, rozchodzące się pod kątem lekko w górę i w dół rysunku. Promienie te docierają do czarnego prostokątnego ekranu. Na ekranie tym powstaje obraz w postaci pionowego układu czerwonych plamek, między którymi następują czarne przerwy. Najjaśniejsza plamka znajduje się pośrodku ekranu. — Rys. 2. Schemat Doświadczenia 2.

R3dsREVQx1xmO

Rys. 3. Rysunek pokazuje czarno‑białe przedstawienie obrazu dyfrakcyjnego w postaci pięciu szarych plamek światła ustawionych w rzędzie na czarnym tle, między którymi znajdują się czarne przerwy. Środkowa plamka jest największa i najjaśniejsza, a im dalej od środka tym plamki stają się ciemniejsze i mniejsze. Swoją formą wizualną przypominają koraliki – największy, nieco podłużny w środku, po bokach dwa mniejsze, a ostatnie dwa okrągłe. — Rys. 3. Obraz dyfrakcyjny otrzymany w Doświadczeniu 2.

Zasada Huygensa

Aby opisać ten obraz – znacznie prostszy niż na Rys. 1. – musimy wprowadzić pewne nowe pojęcia. Posłużymy się zasadą Huygensazasada Huygensazasadą Huygensa, według której, jeśli w przesłonie jest jeden duży otwór, można go potraktować jako sumę wielu małych, stykających się otworków, z których każdy ma rozmiar mniejszy od długości fali świetlnej. Każdy z tych otworków jest źródłem fali kulistej. Fala za dużym otworem może więc być potraktowana jako wynik nałożenia się bardzo wielu fal kulistych, pochodzących od myślowo wyodrębnionych małych otworków, na które podzieliliśmy duży otwór.

Zasadę Huygensazasada HuygensaZasadę Huygensa często formułuje się następująco:

Każdy punkt, do którego dobiegła fala, może być potraktowany jako źródło nowej fali kulistej o częstotliwości równej częstotliwości fali padającej.

Jak opisać dyfrakcjędyfrakcjadyfrakcję na szczelinie?

Rozważmy szczelinę o szerokości $D$ , którą podzieliliśmy myślowo na wiele elementów (Rys. 4.). Będziemy starali się znaleźć kąt $α_{1}$ , pod którym można zaobserwować pierwsze minimum.

R1v9nS4PwP1Zk

Rys. 4. Rysunek przedstawia przesłonę pokazaną w postaci czarnej pionowej linii, w której wykonano szczelinę obrazując ją przez pomalowanie tej linii wewnątrz szczeliny na niebiesko. Szerokość szczeliny została zaznaczona za pomocą czarnej dwustronnej strzałki oznaczonej dużą czarną literą D. Szczelinę podzielono na małe fragmenty rozdzielając je krótkimi poziomymi, niebieskimi kreskami. Każdy z tych fragmentów zgodnie z zasadą Huygensa jest źródłem fali kulistej. Na rysunku przedstawiono dwie takie przykładowe fale. Każdą z nich przedstawiono na czarnej osi skierowanej w prawo od przesłony i prostopadle do niej, w postaci czerwonych wykresów funkcji sinus. Jedna z nich wychodzi ze środka a druga z dołu szczeliny. Poziome ułożenie powoduje, że fali dolnej odpowiada fala górna w tej samej fazie. — Rys. 4. Rozważmy szczelinę o szerokości D, na którą pada fala płaska. Szczelinę podzieliliśmy myślowo na wiele elementów - każdy z nich, zgodnie z zasadą Huygensa, staje się źródłem fali kulistej. Na rysunku zaznaczono dwie przykładowe fale, obserwowane w kierunku prostopadłym do przesłony.

R1evCbjNt5j2S

Rys. 5. Rysunek przedstawia przesłonę pokazaną w postaci czarnej pionowej linii, w której wykonano szczelinę obrazując ją przez pomalowanie tej linii wewnątrz szczeliny na niebiesko. Szerokość szczeliny została zaznaczona za pomocą czarnej dwustronnej strzałki oznaczonej dużą czarną literą D. Szczelinę podzielono na n małych równych fragmentów rozdzielając je krótkimi poziomymi, niebieskimi kreskami. Każdy z tych fragmentów, ponumerowanych od dołu od jeden do n, zgodnie z zasadą Huygensa jest źródłem fali kulistej. Na rysunku przedstawiono dwie takie przykładowe fale. Każdą z nich przedstawiono na czarnej osi skierowanej w prawo od przesłony pod kątem opisanym małą czarną literą alfa w dół od poziomu, w postaci czerwonych wykresów funkcji sinus. Jedna z nich wychodzi ze z fragmentu szczeliny opisanego czarną małą literą n podzielona przez dwa plus jeden a druga z fragmentu opisanego czarną liczbą jeden. Ustawienie fal pod kątem alfa do poziomu powoduje, że fali dolnej odpowiada fala górna w przeciwnej fazie. Na rysunku przedstawiono też zapisane czarną czcionką równanie w postaci: duża litera D oraz małymi literami sin alfa równa się małej literze lambda. — Rys. 5. Szczelinę podzieliliśmy na parzystą liczbę N równych elementów oraz dwie równe części. Analizujemy wynik interferencji fal cząstkowych w funkcji kąta $α$ pomiędzy linią prostopadłą do przesłony a kierunkiem obserwacji. Na rysunku przedstawiono sytuację, gdy fala z dolnego elementu 1 znosi się z falą z elementu tuż nad połową szczeliny, czyli elementu o numerze $\frac{N}{2} + 1$ .

REWYaOJ5ldTja

Rys. 6. Rysunek przedstawia przesłonę pokazaną w postaci czarnej pionowej linii, w której wykonano szczelinę obrazując ją przez pomalowanie tej linii wewnątrz szczeliny na niebiesko. Szerokość szczeliny została zaznaczona za pomocą czarnej dwustronnej strzałki oznaczonej dużą czarną literą D. Szczelinę podzielono na n małych równych fragmentów rozdzielając je krótkimi poziomymi, niebieskimi kreskami. Każdy z tych fragmentów, ponumerowanych od dołu od jeden do n, zgodnie z zasadą Huygensa jest źródłem fali kulistej. Na rysunku przedstawiono dwie takie przykładowe fale. Każdą z nich przedstawiono na czarnej osi skierowanej w prawo od przesłony pod kątem opisanym małą czarną literą alfa w dół od poziomu, w postaci czerwonych wykresów funkcji sinus. Jedna z nich wychodzi ze z fragmentu szczeliny opisanego czarną małą literą n podzielona przez dwa plus cztery a druga z fragmentu opisanego czarną liczbą cztery. Ustawienie fal pod kątem alfa do poziomu powoduje, że fali dolnej odpowiada fala górna w przeciwnej fazie. — Rys. 6. Dla tego samego kąta $α$ jak na Rys. 5. zniosą się fale z elementów 2 i $\frac{N}{2} + 2$ , a także 3 i $\frac{N}{2} + 3$ , 4 i $\frac{N}{2} + 4$ , itp. Zatem fale z dolnej połowy szczeliny zniosą się z falami z górnej połowy szczeliny - nastąpi wygaszenie fal.

Podzielmy szczelinę na $N$ równych elementów. Dla uproszczenia – niech liczba tych elementów będzie parzysta (na przykład równa 60). Każdy z tych elementów potraktujemy jako źródło nowej fali kulistej (zgodnie z zasadą Huygensazasada Huygensazasadą Huygensa). Przypuśćmy, że do szczeliny dobiega fala płaska. Dociera ona do każdego z elementów w tej samej fazie (na przykład maksimum tej fali dociera do każdego z $N$ elementów jednocześnie). Zatem każde z fikcyjnych źródeł wysyła falę wtórną z taką samą fazą.

Ograniczymy się do sytuacji, kiedy obserwator jest daleko od rozważanego otworu. Wtedy linie łączące środki poszczególnych elementów z punktem obserwacji są w pobliżu szczeliny niemal równoległe. Będziemy analizować wynik interferencji w funkcji kąta $α$ (Rys. 5.) pomiędzy linią prostopadłą do przesłony a kierunkiem obserwacji.

Przede wszystkim zauważamy, że dla kierunku na wprost, czyli $α = 0 °$ , wszystkie fale cząstkowe mają zgodne fazy. Na Rys. 4. – dla uproszczenia – zostały narysowane tylko dwie takie fale. Dla tego kierunku amplituda fali wypadkowej jest równa sumie amplitud fal od poszczególnych elementów. Jest to przypadek maksymalnego wzmocnienia.
Można teraz zapytać, dla jakiego kąta $α$ nastąpi pierwsze minimum (wygaszenie fali). Aby to zauważyć, podzielmy szczelinę na dwie równe części (Rys. 5.). Niech kąt $α_{1}$ będzie taki, aby fala z dolnego elementu 1 znosiła się z falą z elementu tuż nad połową szczeliny, czyli elementu o numerze $\frac{N}{2} + 1$ . Rozpatrzmy trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna jest równa $\frac{D}{2}$ , a jedna z przyprostokątnych równa $\frac{λ}{2}$ . Zachodzi związek

{sin α}_{1} = \frac{\frac{λ}{2}}{\frac{D}{2}} = \frac{λ}{D} (1)

Z Rys. 6. widać jednak, że dla tego samego kąta $α$ zniosą się fale z elementów 2 i $\frac{N}{2} + 2$ , a także 3 i $\frac{N}{2} + 3$ , 4 i $\frac{N}{2} + 4$ , itp. Zatem fale z dolnej połowy szczeliny zniosą się z falami z górnej połowy szczeliny – nastąpi wygaszenie fal. A zatem wzór (1) jest warunkiem wystąpienia pierwszego minimum. Wzór ten zapisuje się zwykle w postaci:

D sin α_{1} = λ .

Dzieląc naszą szczelinę na cztery części dostaniemy warunek na wystąpienie drugiego minimum:

D sin α_{2} = 2 λ .

Wynikiem takiej samej analizy dla szczeliny podzielonej na sześć części będzie równanie

D sin α_{3} = 3 λ

opisujące trzecie minimum.

Możemy zauważyć, że wraz z wzrostem numeru minimum wzrasta czynnik stojący przed długością fali. Możemy tę zależność zapisać w postaci

D sin α_{n} = n λ .

Jest to wzór opisujący kąt, pod którym widać $n$ -te minimum na ekranie.

Jeśli chcemy napisać analogiczny wzór dla maksimów bocznych, kluczowym jest zauważenie, że maksima boczne występują dokładnie pomiędzy sąsiednimi minimami. Przechodząc ze wzoru opisującego pierwsze minimum $D sin α_{1} = λ$ na wzór opisujący drugie minimum $D sin α_{2} = 2 λ$ musimy prawą stronę równania zwiększyć o $α$ . Aby trafić w maksimum musimy ją zwiększyć o połowę tej wartości, a więc o $\frac{λ}{2}$ . W ten sposób dostajemy wzór na pierwsze boczne maksimum:

D sin α_{1} = \frac{3 λ}{2} .

Podobnie dla drugiego i trzeciego bocznego maksimum otrzymujemy

D sin α_{2} = \frac{5 λ}{2}, D sin α_{3} = \frac{7 λ}{2} .

Tym razem po prawej stronie równania występują tylko nieparzyste wielokrotności połowy długości fali, co możemy przedstawić przy pomocy ogólnego wzoru

D sin α_{n} = (2 n + 1) \frac{λ}{2},

który opisuje kąt, pod którym widzimy $n$ -te maksimum boczne.

Słowniczek

Dyfrakcja

(ang.: diffraction) zjawisko ugięcia się fali na przeszkodzie lub otworze/szczelinie, na którą trafiła fala.

Zasada Huygensa

(ang.: Huygens‑Fresnel principle) zasada opisująca sposób rozchodzenia się fali w ośrodku. Mówi ona, że każdy punkt, do którego dobiegła fala, może być potraktowany jako źródło nowej fali kulistej o częstotliwości równej częstotliwości fali padającej.

Wprowadzenie

Film samouczek

Warto przeczytać

Słowniczek