Przeczytaj

Już wiesz

Dwie zmienne wielkości nazywamy wprost proporcjonalnymi, jeżeli iloraz odpowiadających sobie wartości tych wielkości jest stały.

W przypadku dodatnich wielkości wprost proporcjonalnychwielkości wprost proporcjonalnewielkości wprost proporcjonalnych, wzrost lub zmniejszenie jednej wielkości tyle samo razy, powoduje odpowiednio wzrost lub zmniejszenie drugiej wielkości tyle samo razy.

Wielkościami wprost proporcjonalnymiwielkości wprost proporcjonalneWielkościami wprost proporcjonalnymi są na przykład:

długość boku trójkąta równobocznego i jego obwód,
długość średnicy koła i jego obwód,
droga i czas przy stałej prędkości.

Zdefiniujmy funkcję, która określa zależność pomiędzy dodatnimi wielkościami wprost proporcjonalnymi.

proporcjonalność prosta

Definicja: proporcjonalność prosta

Funkcję $f$ określoną wzorem $f (x) = a \cdot x$ , gdzie $a > 0$ na zbiorze $ℝ_{+}$ nazywamy proporcjonalnością prostą.

Gdy będziemy używać zapisu $y = f (x)$ , wtedy proporcjonalność prostą wyrazimy wzorem $y = a \cdot x$ .

W powyższej definicji określiliśmy funkcję tylko na zbiorze liczb dodatnich, dla potrzeb wykorzystania własności tej funkcji w zadaniach z kontekstem realistycznym.

Przykłady zależności wprost proporcjonalnych.

Zależność pomiędzy wysokością $h$ trójkąta równobocznego, a długością boku $a$ .
R1RfTZ5BK6tRL
Odpowiednią funkcję w tym przypadku określamy za pomocą wzoru $h (a) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a$ , gdzie $a > 0$ . Współczynnik proporcjonalności wynosi $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Zależność pomiędzy długością średnicy okręgu, a długością promienia.
RxzM8gU27QedN
Odpowiednią funkcję określamy za pomocą wzoru $d (r) = 2 \cdot r$ , gdzie $r > 0$ . Wtedy współczynnik proporcjonalności wynosi $2$ .
Zależność pomiędzy obwodem $L$ $n$ –kąta foremnego, a długością boku $x$ . Odpowiednią funkcję określamy za pomocą wzoru $L (x) = n \cdot x$ , gdzie $x > 0$ . Wtedy współczynnik proporcjonalności jest równy $n$ . Wykresem proporcjonalności prostej (w przypadku, gdy funkcja określona jest tylko w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich) jest półprosta o początku w punkcie o współrzędnych $(0, 0)$ – bez tego punktu – leżąca w $I$ ćwiartce układu współrzędnych.

Naszkicujemy wykres proporcjonalności prostej określonej wzorem $y = 2 \cdot x$ .

W tym celu w tabeli przedstawimy wartości tej funkcji dla kilku argumentów:

$x$	$1$	$2$	$3$
$y$	$2$	$4$	$6$

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

R18EoQM2iVqQy

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do siedmiu, oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y=2x, który stanowi półprosta ukośna. Półprosta biegnie od niezamalowanego punktu 0;0, przez punkty 1;2, 2;4, 3;6 do plus nieskończoności.

Naszkicujemy wykres funkcji, będącej proporcjonalnością prostą określoną wzorem $y = \frac{2}{3} \cdot x$ .

W tym celu przedstawimy w tabeli wartości tej funkcji dla kilku argumentów:

$x$	$3$	$6$	$9$
$y$	$2$	$4$	$6$

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

RvFVTBoysRWzN

Przykład 1

Wyznaczymy wartość parametru $m$ , jeżeli punkty o współrzędnych $A = (\frac{2}{3}, 4)$ i $B = (3, m)$ należą do wykresu tej samej proporcjonalności prostej.

Rozwiązanie

Wzór funkcji, będącej proporcjonalnością prostą zapisujemy w postaci $y = a \cdot x$ .

Do wyznaczenia wartości $a$ podstawiamy współrzędne punktu $A$ i rozwiązujemy równanie:

$4 = a \cdot \frac{2}{3}$ , zatem $a = 6$ .

Funkcja, będąca proporcjonalnością prostą wyraża się wzorem $y = 6 \cdot x$ .

Do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie

$m = 6 \cdot 3$ , zatem $m = 18$ .

Przykład 2

W tabeli przedstawiono argumenty oraz odpowiadające im wartości funkcji, będącej proporcjonalnością prostą, określonej wzorem $y = a \cdot x$ . Wyznaczymy wartości $m, n, p$ .

$x$	$3$	$5$	$n$	$9$
$y$	$4, 5$	$m$	$12$	$p$

Rozwiązanie

W celu wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie

$4, 5 = a \cdot 3$ , zatem $a = \frac{3}{2}$ .

Zatem funkcja wyraża się wzorem $y = \frac{3}{2} \cdot x$ .

Wyznaczamy wartości $m, n, p$ .

$m = \frac{3}{2} \cdot 5$ , zatem $m = \frac{15}{2}$

$12 = \frac{3}{2} \cdot n$ , zatem $n = 8$

$p = \frac{3}{2} \cdot 9$ , zatem $p = \frac{27}{2}$ .

Przykład 3

Sprawdzimy, czy do wykresu tej samej funkcji, będącej proporcjonalnością prostą, mogą należeć punkty $P$ i $Q$ o współrzędnych $P = (\frac{1}{3}, \frac{5}{6})$ oraz $Q = (4, 10)$ .

Rozwiązanie

Funkcja, będąca proporcjonalnością prostąproporcjonalność prostaproporcjonalnością prostą wyraża się wzorem $y = a \cdot x$ .

Do wyznaczenia wartości $a$ do wzoru funkcji $y = a \cdot x$ podstawiamy współrzędne punktu $P$ i rozwiązujemy równanie:

$\frac{5}{6} = a \cdot \frac{1}{3}$ , zatem $a = \frac{5}{2}$ .

Zatem funkcja, będąca proporcjonalnością prostą wyraża się wzorem $y = \frac{5}{2} \cdot x$ .

Sprawdzimy, czy punkt $Q$ należy do wykresu tej funkcji. W tym celu rozwiążemy równanie:

$10 = \frac{5}{2} \cdot 4$ , zatem $10 = 10$ .

Wobec tego podane punkty należą do wykresu funkcji tej samej proporcjonalności prostej.

Przykład 4

Wiadomo, że do wykresu funkcji, będącej proporcjonalnością prostą, określonej wzorem $f (x) = a \cdot x$ należy punkt o współrzędnych $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ .

Wyznaczymy:

a) wartość współczynnika proporcjonalności $a$ ,

b) wartość tej funkcji dla $x = 4$ .

Rozwiązanie

a) Jeżeli punkt o współrzędnych $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ należy do wykresu funkcji, będącej proporcjonalnością prostą, to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{2} = a \cdot \frac{1}{3}$ , zatem $a = \frac{3}{2}$

b) Zapiszemy wzór proporcjonalności prostej $f (x) = \frac{3}{2} \cdot x$ .

Wobec tego $f (4) = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6$ .

Przykład 5

Na rysunku przedstawiono wykres proporcjonalności prostej określonej wzorem $y = a \cdot x$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji.

R1UKMt0xGei11

Rozwiązanie

Z rysunku możemy odczytać, że do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(5, 3)$ .

Jeżeli podstawimy współrzędne tego punktu do wzoru $y = a \cdot x$ , to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie

$3 = a \cdot 5$ , zatem $a = \frac{3}{5}$ .

Funkcję można opisać wzorem $y = \frac{3}{5} \cdot x$ .

Przykład 6

Wykażemy, że funkcja, będąca proporcjonalnością prostą, zadana wzorem $f (x) = a \cdot x$ , określona na zbiorze $ℝ_{+}$ jest zawsze rosnąca.

Rozwiązanie:

Załóżmy, że $x_{1}, x_{2} \in D_{f}$ oraz $x_{1} < x_{2}$ .

Wtedy $f (x_{2}) - f (x_{1}) = a \cdot x_{2} - a \cdot x_{1} = a \cdot (x_{2} - x_{1})$ .

Ponieważ $a > 0$ oraz $x_{1} < x_{2}$ , zatem $a \cdot (x_{2} - x_{1}) > 0$ , czyli

$f (x_{1}) > f (x_{2})$ .

Stąd, wobec dowolności $x_{1}, x_{2}$ wnioskujemy, że funkcja jest rosnąca.

Słownik

wielkości wprost proporcjonalne

dwie zmienne wielkości dodatnie, przy założeniu, że iloraz odpowiadających sobie wartości tych wielkości jest stały

proporcjonalność prosta

funkcja określona wzorem $f (x) = a x$ , gdzie $a > 0$ na zbiorze $ℝ_{+}$

Wprowadzenie

Aplet

Słownik