Przeczytaj
Warto przeczytać
Dźwignia jednostronna jest jednym z przykładów maszyn prostychmaszyn prostych. Są to urządzenia, które pozwalają na zmianę kierunku działania siły lub na zmianę jej wartości. Z dźwignią jednostronną można spotkać się na co dzień w wielu miejscach – na Rys. 1. przedstawiono różne przykłady jej zastosowań.
Dźwignia jednostronna jest to zatem maszyna prostamaszyna prosta, składająca się z ramienia dźwigni i punktu podparcia, który zlokalizowany jest na jednym z końców tego ramienia. Przez punkt podparcia przechodzi oś obrotu ramienia. Schematycznie możemy je przedstawić tak, jak na Rys. 2.:
Dźwignie służą do podnoszenia ciężarów. Na Rys. 3. widzimy ciężar umieszczony na ramieniu dźwigni, na który działa siła grawitacji . Aby podnieść ten ciężar do góry, należy przyłożyć do końca dźwigni siłę W przypadku dźwigni jednostronnej zarówno siła, jaką przykładamy do ramienia dźwigni, jak i ciężar, znajdują się po tej samej stronie względem punktu podparcia dźwigni (w przeciwieństwie do dźwigni dwustronnejdźwigni dwustronnej).
Patrząc na długości wektorów na Rys. 3. widzimy, że wartość wektora jest mniejsza niż wartość wektora . O ile mniejsza? Zwróćmy uwagę, że siła przyłożona jest w pewnej odległości od osi obrotu dźwigni – powoduje zatem powstanie momentu siły. Aby dźwignia pozostała w równowadze, przyłożona siła musi mieć moment siły identyczny co do wartości, ale o przeciwnym zwrocie. Przyjmijmy oznaczenia jak na Rys. 4.
Wtedy równowagę momentów sił zapiszemy jako:
Znak „-” oznacza w tym wypadku, że wektory momentów sił mają przeciwne zwroty. Jest to konsekwencją tego, że wektory sił i są przeciwnie skierowane, czyli mają przeciwny zwrot, co zgadza się z codziennym doświadczeniem. Przyjmując, że kierunek przyłożenia sił jest prostopadły do ramienia dźwigni, po wykonaniu mnożenia wektorowego otrzymamy następującą zależność na wartość siły, którą musimy przyłożyć na końcu ramienia dźwigni:
Wzór ten łatwo zastosować w praktyce.
Przykład 1: Jeśli ciało o ciężarze umieściliśmy w połowie długości ramienia, to aby je unieść do góry musimy przyłożyć do końca dźwigni siłę . Dlaczego? Ponieważ wtedy:
Przykład 2: Jak długie musi być ramię dźwigni jednostronnej, aby unieść ciężar znajdujący się w odległości od punktu podparcia dźwigni, używając siły o wartości 1/10 podnoszonego ciężaru?
Warto się zastanowić, czy nie jest łamana zasada zachowania energii, gdy korzystamy z dźwigni – skoro jesteśmy w stanie unieść ten sam ciężar używając mniejszej siły? Oczywiście, nie łamiemy zasady zachowania energii – należy przypomnieć, że zmiana energii ciała wymaga wykonania pracy. W tym wypadku zwiększamy lub zmniejszamy energię potencjalną grawitacji ciała , gdzie m to masa ciała, g to przyspieszenie ziemskie, a H to wysokość środka masy tego ciała względem wybranego poziomu odniesienia. Aby zwiększyć wysokość, na jakiej jest ciało, siła musi wykonać pracę , niezależnie od tego, gdzie będzie przyłożona. Rzecz w tym, że, z definicji, praca to , gdzie F to siła, która wykonuje pracę, a s to droga przebyta przez ciało. Wzór jest słuszny, gdy kierunek działania siły pokrywa się z kierunkiem przesuwanego ciała. Nie ma różnicy, czy przyłożymy dużą siłę na krótkiej drodze, czy małą siłę na długiej drodze – efekt z punktu widzenia pracy i energii będzie ten sam: . Sprawdźmy, czy ta równość zachodzi w omawianym przez nas przypadku.
W przypadku dźwigni jednostronnej należy zauważyć, że długości i , zaznaczone na Rys. 5., są długościami łuków, leżących na okręgach, których środek wyznacza punkt podparcia dźwigni.
Długość tych łuków, przy tym samym kącie obrotu ramienia dźwigni, będzie różna:
gdzie i to długość od punktu podparcia do – odpowiednio – miejsca, w którym znajduje się ciężar oraz do miejsca przyłożenia siły, czyli końca ramienia dźwigni. Dzieląc stronami powyższe równości otrzymamy:
Jednocześnie z warunku równowagi dźwigni (wynikającego z równowagi momentów sił) wiemy, że zachodzi równość:
Przekształcając to równanie i wykorzystując otrzymaną wcześniej równość, otrzymujemy:
Zatem – zgodnie z przewidywaniami – zasada zachowania energii jest spełniona. Korzystając z dźwigni możemy zmniejszyć wartość przyłożonej siły, ale wtedy musimy wydłużyć drogę, na której ta siła działa, aby wykonać tę samą pracę, co przy przyłożeniu większej siły na krótszej drodze.
Słowniczek
(ang. simple machine) - urządzenie, które dla zrównoważenia danej siły, lub do wykonania danej pracy, używa siły inaczej skierowanej lub mniejszej na zasadzie równości pracy: praca siły większej na mniejszej drodze (przesunięciu) zostaje zastąpiona pracą siły mniejszej na większej drodze. Podstawowymi maszynami prostymi są dźwignia i równia pochyła.
(ang. two‑arm lever) - dźwignia dwuramienna, w której siły działają po przeciwnych stronach osi obrotu.