Warto przeczytać

Dźwignia jednostronna jest jednym z przykładów maszyn prostychmaszyna prostamaszyn prostych. Są to urządzenia, które pozwalają na zmianę kierunku działania siły lub na zmianę jej wartości. Z dźwignią jednostronną można spotkać się na co dzień w wielu miejscach – na Rys. 1. przedstawiono różne przykłady jej zastosowań.

R1PchopqLelBS

Rys. 1. Zdjęcia poglądowe przedstawiają trzy przykłady dźwigni jednostronnych (od lewej): 1. białe otwarte drzwi, 2. taczka ogrodowa stojąca na trawie, 3. walizka na kółkach stojąca na lotnisku.

Dźwignia jednostronna jest to zatem maszyna prostamaszyna prostamaszyna prosta, składająca się z ramienia dźwigni i punktu podparcia, który zlokalizowany jest na jednym z końców tego ramienia. Przez punkt podparcia przechodzi oś obrotu ramienia. Schematycznie możemy je przedstawić tak, jak na Rys. 2.:

R1TNi8eWQ6wVS

Rys. 2. Rysunek poglądowy przedstawia schemat dźwigni jednostronnej. Narysowana jest podpora w kształcie trójkąta równobocznego. Na górnym wierzchołku zaznaczony jest punkt podparcia dźwigni w postaci dużej kropki. Jest to jednocześnie oś obrotu. Od punktu podparcia, czyli od tej kropki odchodzi gruba prosta kreska, która obrazuje ramię dźwigni.

Dźwignie służą do podnoszenia ciężarów. Na Rys. 3. widzimy ciężar umieszczony na ramieniu dźwigni, na który działa siła grawitacji $\overrightarrow{F_g}$. Aby podnieść ten ciężar do góry, należy przyłożyć do końca dźwigni siłę $\overrightarrow{F_0}.$ W przypadku dźwigni jednostronnej zarówno siła, jaką przykładamy do ramienia dźwigni, jak i ciężar, znajdują się po tej samej stronie względem punktu podparcia dźwigni (w przeciwieństwie do dźwigni dwustronnejdźwignia dwustronnadźwigni dwustronnej).

R1Mx12hrkA5D0

Rys. 3. Rysunek przedstawia schemat dźwigni jednostronnej w działaniu. Przy pomocy dźwigni podnoszony jest ciężar. Na rysunku przedstawiony w postaci żółtego kwadratu. Położony jest na ramieniu, blisko osi obrotu. Na rysunku pokazano wektor siły ciężkości opisany wielką literą F z indeksem dolnym g, przyłożony w środku ciężaru, skierowany pionowo w dół. Do końca dźwigni przyłożona jest siła opisana wielką literą F z indeksem dolnym zero skierowana pionowo w górę. Wektor przedstawiający tę siłę jest znacznie krótszy niż wektor siły ciężkości ciężaru.

Patrząc na długości wektorów na Rys. 3. widzimy, że wartość wektora $\overrightarrow{F_0}$ jest mniejsza niż wartość wektora $\overrightarrow{F_g}$. O ile mniejsza? Zwróćmy uwagę, że siła $\overrightarrow{F_g}$ przyłożona jest w pewnej odległości od osi obrotu dźwigni – powoduje zatem powstanie momentu siły. Aby dźwignia pozostała w równowadze, przyłożona siła $\overrightarrow{F_0}$ musi mieć moment siły identyczny co do wartości, ale o przeciwnym zwrocie. Przyjmijmy oznaczenia jak na Rys. 4.

RJRAL0xLbJD4h

Rys. 4. Rysunek jest powtórzeniem rysunku 3, ale dodatkowo przedstawiono w nim dwa wektory opisane małą literą r z indeksem dolnym 1 i wektor r z indeksem dolnym 2, które poprowadzone są od osi obrotu do punktu przyłożenia siły. Wektor r jeden narysowany jest pomiędzy osią obrotu a punktem przyłożenia siły ciężkości wielkie F z indeksem dolnym g, a wektorem r z indeksem dolnym dwa obrazuje odległość pomiędzy osią obrotu a punktem przyłożenia siły opisanej wielką literą F z indeksem dolnym zero.

Wtedy równowagę momentów sił zapiszemy jako:

Znak „-” oznacza w tym wypadku, że wektory momentów sił mają przeciwne zwroty. Jest to konsekwencją tego, że wektory sił $\overrightarrow{F_0}$ i $\overrightarrow{F_g}$ są przeciwnie skierowane, czyli mają przeciwny zwrot, co zgadza się z codziennym doświadczeniem. Przyjmując, że kierunek przyłożenia sił jest prostopadły do ramienia dźwigni, po wykonaniu mnożenia wektorowego otrzymamy następującą zależność na wartość siły, którą musimy przyłożyć na końcu ramienia dźwigni:

Wzór ten łatwo zastosować w praktyce.

Przykład 1: Jeśli ciało o ciężarze $F_g$ umieściliśmy w połowie długości ramienia, to aby je unieść do góry musimy przyłożyć do końca dźwigni siłę $\frac{F_g}{2}$. Dlaczego? Ponieważ wtedy:

Przykład 2: Jak długie musi być ramię dźwigni jednostronnej, aby unieść ciężar $F_g$ znajdujący się w odległości $r_1$ od punktu podparcia dźwigni, używając siły o wartości 1/10 podnoszonego ciężaru?

Warto się zastanowić, czy nie jest łamana zasada zachowania energii, gdy korzystamy z dźwigni – skoro jesteśmy w stanie unieść ten sam ciężar używając mniejszej siły? Oczywiście, nie łamiemy zasady zachowania energii – należy przypomnieć, że zmiana energii ciała wymaga wykonania pracy. W tym wypadku zwiększamy lub zmniejszamy energię potencjalną grawitacji ciała $E_{\mathrm{\text{pot}}}=mgH$, gdzie m to masa ciała, g to przyspieszenie ziemskie, a H to wysokość środka masy tego ciała względem wybranego poziomu odniesienia. Aby zwiększyć wysokość, na jakiej jest ciało, siła $\overrightarrow{F_0}$musi wykonać pracę $mg\Delta h$, niezależnie od tego, gdzie będzie przyłożona. Rzecz w tym, że, z definicji, praca to $W=Fs$, gdzie F to siła, która wykonuje pracę, a s to droga przebyta przez ciało. Wzór jest słuszny, gdy kierunek działania siły pokrywa się z kierunkiem przesuwanego ciała. Nie ma różnicy, czy przyłożymy dużą siłę na krótkiej drodze, czy małą siłę na długiej drodze – efekt z punktu widzenia pracy i energii będzie ten sam: $W=F_1{s}_1=F_2{s}_2$. Sprawdźmy, czy ta równość zachodzi w omawianym przez nas przypadku.

W przypadku dźwigni jednostronnej należy zauważyć, że długości $l_1$ i $l_2$, zaznaczone na Rys. 5., są długościami łuków, leżących na okręgach, których środek wyznacza punkt podparcia dźwigni.

RT8D2cUvz1fB1

Rys. 5. Na rysunku przedstawiono schemat dźwigni jednostronnej. Pokazano podporę w kształcie trójkąta równobocznego, oś obrotu jako dużą kropkę i ramię dźwigni jako grubą prostą kreskę. Na ramieniu blisko osi położono ciężar narysowany jako żółty kwadrat. Ramię dźwigni i położony ciężar narysowano w dwóch położeniach: pierwsze to położenie, gdy ramię jest poziome, drugie, gdy ramię tworzy z poziomem kąt około 45 stopni. Wektor siły przyłożonej do końca dźwigni tworzy z nią kąt prosty. Ponadto na rysunku zaznaczono dwa łuki, które zakreśla środek ciężaru i koniec dźwigni. Oznaczono je odpowiednio wielkimi literami l z indeksem dolnym 1 i l z indeksem dolnym 2.

Długość tych łuków, przy tym samym kącie obrotu ramienia dźwigni, będzie różna:

gdzie $r_1$ i $r_2$ to długość od punktu podparcia do – odpowiednio – miejsca, w którym znajduje się ciężar oraz do miejsca przyłożenia siły, czyli końca ramienia dźwigni. Dzieląc stronami powyższe równości otrzymamy:

Jednocześnie z warunku równowagi dźwigni (wynikającego z równowagi momentów sił) wiemy, że zachodzi równość:

Przekształcając to równanie i wykorzystując otrzymaną wcześniej równość, otrzymujemy:

Zatem – zgodnie z przewidywaniami – zasada zachowania energii jest spełniona. Korzystając z dźwigni możemy zmniejszyć wartość przyłożonej siły, ale wtedy musimy wydłużyć drogę, na której ta siła działa, aby wykonać tę samą pracę, co przy przyłożeniu większej siły na krótszej drodze.

Słowniczek