Warto przeczytać

Ciśnienie hydrostatyczne i siła wyporu

Przypomnijmy (zob. e‑materiał pt. Ciśnienie hydrostatyczne w obliczeniach), że ciśnienie hydrostatyczne to ciśnienie wywołane przez płyn (ciecz lub gaz), które zależy jedynie od wysokości słupa płynu $h$, gęstości płynu $d_c$ oraz od przyspieszenia grawitacyjnego $g$. Jego wartość wynosi

Płyny działają na zanurzone w nich ciała siłami nacisku (parcia) o wartości proporcjonalnej do ciśnienia hydrostatycznego na danej głębokości i skierowanymi prostopadle do powierzchni tych ciał.

Rozważmy siły nacisku działające na sześcian o krawędzi $a$ umieszczony w cieczy o gęstości $d_c$ (Rys. 1.). Na jego ścianki boczne (prawą, lewą, przednią i tylną) działają siły o takich samych wartościach, które kompensują się parami (lewa z prawą, przednia z tylną). Inaczej jest ze ściankami górną i dolną. Ciecz wywiera większe ciśnienie na dolną podstawę sześcianu niż na górną. Wypadkowa działających sił, to właśnie siła wyporu, zwana czasem siłą Archimedesa.

R194Fhp9nZCQZ

Rys. 1. Rysunek przedstawia półprzezroczysty, szary, sześcian pływający w głębi wody w szklance. Górny bok sześcianu znajduje się na głębokości opisanej małą literą h z indeksem dolnym jeden. Dolny bok sześcianu znajduje się na głębokości opisanej małą literą h z indeksem dolnym dwa. Na każdą ścianę sześcianu prostopadle do niej, w kierunku jego środka, działają siły wynikające z ciśnienia. Siły działające na ściany boczne przedstawione w postaci czarnych wektorów mają te same wartości i się równoważą. Dolny bok sześcianu znajduje się na większej głębokości niż górny bok więc w wyniku większego ciśnienia działa na niego większa siła przedstawiona w postaci niebieskiego wektora oznaczonego dużą niebieską literą F z indeksem dolnym dwa i strzałką wektora nad nią. Siłę działającą na górny bok przedstawiono w postaci błękitnego wektora i opisano dużą błękitną literą F z indeksem dolnym jeden i strzałką wektora nad nią. Wypadkową z tych dwóch sił jest siła wyporu przedstawiona w postaci czerwonego wektora skierowanego pionowo do góry oznaczonego dużą czerwoną literą F z indeksem dolnym w ze znaczkiem wektora ponad nią. Siła ta jest sumą geometryczną dwóch wcześniej wymienionych sił.

Wartość siły wyporu $\overrightarrow{F_w}$ jest zatem równa różnicy wartości sił nacisku $\overrightarrow{F_2}$ i $\overrightarrow{F_1}$, działających odpowiednio na dolną i górną podstawę sześcianu:

gdzie $a^2$ jest polem ścianki sześcianu, zaś $p_1$ i $p_2$ oznaczają ciśnienia hydrostatyczne na głębokości, odpowiednio, $h_1$ i $h_2$ (zauważ, że $h_2-h_1=a$). Wykorzystując w powyższym wyrażeniu wzór (1) na wartość ciśnienia hydrostatycznego, dostajemy znaną zależność (zob. e‑materiał pt. Prawo Archimedesa i warunki pływania ciał):

z której wynika

Prawo Archimedesa

(ang.: Archimedes' principle) – na ciało (częściowo lub całkowicie) zanurzone w płynie działa skierowana ku górze siła wyporu $\overrightarrow{F_w}$, której wartość jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało, tzn.

gdzie $d_c$ jest gęstością, a $V$ objętością wypartego płynu.

Z prawa Archimedesa wynikają warunki określające, kiedy ciało pływa po powierzchni cieczy, a kiedy tonie.

Dlaczego niektóre ciała toną, a inne nie?

RSLGiw09QgThA

Rys. 2. a. (po lewej) Rysunek przedstawia przezroczyste naczynie wypełnione niebieską cieczą. W naczyniu znajduje się również szary prostokątny klocek. Na klocek ten działają dwie siły przedstawione w postaci czarnych wektorów. Pionowo w górę działa siła wyporu opisana dużą, czarną literą F z indeksem dolnym w i znaczkiem wektora ponad nią. Pionowo w dół działa siła grawitacji opisana dużą, czarną literą F z indeksem dolnym g i znaczkiem wektora ponad nią. Klocek ma gęstość równą gęstości cieczy i dla tego pływa w jej wnętrzu całkowicie zanurzony.

b. (w środku) Rysunek przedstawia przezroczyste naczynie wypełnione niebieską cieczą. W naczyniu znajduje się również szary prostokątny klocek. Na klocek ten działają dwie siły przedstawione w postaci czarnych wektorów. Pionowo w górę działa siła wyporu opisana dużą, czarną literą F z indeksem dolnym w i znaczkiem wektora ponad nią. Pionowo w dół działa siła grawitacji opisana dużą, czarną literą F z indeksem dolnym g i znaczkiem wektora ponad nią. Klocek ma gęstość mniejszą od gęstości cieczy i dla tego pływa na jej powierzchni.

c. (po prawej) Rysunek przedstawia przezroczyste naczynie wypełnione niebieską cieczą. W naczyniu znajduje się również szary prostokątny klocek. Na klocek ten działają dwie siły przedstawione w postaci czarnych wektorów. Pionowo w górę działa siła wyporu opisana dużą, czarną literą F z indeksem dolnym w i znaczkiem wektora ponad nią. Pionowo w dół działa siła grawitacji opisana dużą, czarną literą F z indeksem dolnym g i znaczkiem wektora ponad nią. Klocek ma gęstość większą od gęstości cieczy i dla tego opada na dno naczynia.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

• średnia gęstość ciała: $d$,

• gęstość płynu: $d_{c}$,

• objętość ciała: $V$,

• objętość części ciała, która jest zanurzona w płynie: $V_{z}$,

• masa ciała: $m$,

• wartość przyspieszenia grawitacyjnego: $g$.

Porównanie wartości sił grawitacji i wyporu prowadzi do następujących wniosków:

Jeśli ciało pływa całkowicie zanurzone (Rys. 2a.) oznacza to, że $F_g=F_w$; dzieje się tak wtedy, gdy $gm=gd_cV$, czyli wtedy, gdy gęstość ciała jest równa gęstości cieczy:

Jeśli ciało pływa na powierzchni cieczy częściowo zanurzone (Rys. 2b.), warunek równowagi sił $F_g=F_w$ przyjmuje postać: $g m=g d_c V_z\lt g d_c V$, co oznacza, że gęstość ciała jest mniejsza niż gęstość płynu:

Jeśli ciało tonie (Rys. 2c.), oznacza to, że $F_g\gt F_w$, co jest spowodowane tym, że

O „wierzchołku góry lodowej”...

Obliczmy, jaka część objętości lodu pływającego po powierzchni wody wystaje ponad jej powierzchnię.

Re7o0WQZpWjSZ

Rys. 3. Rysunek przedstawia górę lodową pływającą w wodzie. Góra ma nieregularny kształt i pływa większą częścią zanurzona w wodzie. Na górę działają dwie siły. Pionowo w górę działa siła wyporu przedstawiona w postaci czarnego wektora opisanego dużą, czarną literą F z indeksem dolnym w. Pionowo w dół działa siła ciężkości przedstawiona w postaci czerwonego wektora opisanego dużą, czerwoną literą F z indeksem dolnym g.

Warunkiem pozostawania lodu w równowadze (lód pływa na powierzchni wody i nie tonie) jest równoważenie się działających na niego sił: jego ciężaru i siły wyporu (Rys. 3.). Wartość siły ciężkości, która jest kierowana do dołu, jest równa:

gdzie $d_l = 0,9167\,\text{g/cm}^3$ jest gęstością lodu, $V$ - objętością całej bryły lodowej. Wartość siły wyporu wynosi

gdzie $d_w = 0,998\,\text{g/cm}^3$ to gęstość wody, a $V_z$ - objętość zanurzonej części lodu.

Przyrównując wartości obu sił, otrzymujemy

z czego wynika

Otrzymany wynik oznacza, że ok. 92% objętości bryły lodu znajduje się pod powierzchnią wody, czyli z wody wystaje zaledwie 8% jej objętości.

Słowniczek