Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Warto przeczytać

Ciśnienie hydrostatyczne i siła wyporu

Przypomnijmy (zob. e‑materiał pt. Ciśnienie hydrostatyczne w obliczeniach), że:

Ciśnienie hydrostatyczne
Ciśnienie hydrostatyczne

(ang.: hydrostatic pressure) to ciśnienie wywołane przez płyn (ciecz lub gaz), które zależy jedynie od wysokości słupa płynu - , gęstości płynu – oraz od przyspieszenia grawitacyjnego - . Jego wartość wynosi:

Ciśnienie hydrostatyczne jest ciśnieniem izotropowym, które rozchodzi się równomiernie we wszystkich kierunkach płynu. Oznacza to, że płyny działają na zanurzone w nich ciała siłami nacisku (parcia) o wartości proporcjonalnej do ciśnienia hydrostatycznego na danej głębokości i skierowanymi prostopadle do powierzchni tych ciał.

Rozważmy siły nacisku działające na sześcian o krawędzi  umieszczony w cieczy o gęstości  (Rys. 1.). Na jego ścianki boczne (prawą, lewą, przednią i tylną) działają siły o takich samych wartościach, które kompensują się parami (lewa z prawą, przednia z tylną). Inaczej jest ze ściankami górną i dolną. Ciecz wywiera większe ciśnienie na dolną podstawę sześcianu, niż na górną. Wypadkowa działających sił, to właśnie siła wyporu, zwana czasem siłą Archimedesa.

R194Fhp9nZCQZ
Rys. 1. Siły nacisku działające na sześcian zanurzony w cieczy. Zauważ, że siły działające na ścianki boczne sześcianu znoszą się wzajemnie. Różnica między siłami działającymi na podstawę dolną F2 i górną F1 sześcianu skutkuje pojawieniem się, skierowanej ku górze, siły wyporu Fw.

Wartość siły wyporu jest zatem równa różnicy wartości sił nacisku , działających odpowiednio na dolną i górną podstawę sześcianu:

gdzie jest polem ścianki sześcianu, zaś oznaczają ciśnienia hydrostatyczne na głębokości, odpowiednio: (zauważ, że ). Wykorzystując w powyższym wyrażeniu wzór (1) na wartość ciśnienia hydrostatycznego, dostajemy znaną zależność (zob. e‑materiał pt. Prawo Archimedesa i warunki pływania ciał?):

z której wynika, że działająca na ciało siła wyporusiła wyporusiła wyporu równa jest ciężarowi cieczy zawartej w objętości zanurzonego ciała i nie zależy od masy ciała, a jedynie od objętości wypartej cieczy. Stwierdzenie to stanowi treść prawa Archimedesa, które głosi, że

Prawo Archimedesa
Prawo Archimedesa

(ang.: Archimedes' principle) – na ciało (częściowo lub całkowicie) zanurzone w płynie działa pionowa, skierowana ku górze siła wyporu , której wartość jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało, tzn.

gdzie jest gęstością, a  objętością wypartego płynu.

Z prawa Archimedesa wynikają warunki określające, kiedy ciało pływa po powierzchni cieczy, a kiedy tonie.

Dlaczego niektóre ciała toną, a inne nie?

Ważne!

Na ciała znajdujące się w płynach działa skierowana ku górze siła wyporusiła wyporusiła wyporu  oraz skierowana ku dołowi siła ciężkościsiła ciężkościsiła ciężkości . Wypadkowa tych sił określa sposób zachowania się ciała.

RSLGiw09QgThA
Rys. 2. Warunki pływania ciał o różnych gęstościach d w cieczy o gęstości dc. Szczegółowy opis oznaczeń wykorzystanych na rysunku można odnaleźć w tekście.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

  • średnia gęstość ciała: ,

  • gęstość płynu: ,

  • objętość ciała: ,

  • objętość części ciała, która jest zanurzona w płynie: ,

  • masa ciała: ,

  • wartość przyspieszenia grawitacyjnego: .

Porównanie wartości sił grawitacji i wyporu prowadzi do następujących wniosków:

Jeśli ciało pływa całkowicie zanurzone (Rys. 2. a.) oznacza to, że ; dzieje się tak wtedy, gdy , czyli wtedy, gdy gęstość ciała jest równa gęstości cieczy:

.

Jeśli ciało pływa na powierzchni cieczy częściowo zanurzone (Rys. 2. b.), warunek równowagi sił przyjmuje postać: , co oznacza, że gęstość ciała jest mniejsza niż gęstość płynu:

.

Jeśli ciało tonie (Rys. 2. c.), oznacza to, że , co jest spowodowane tym, że

.

O przysłowiowym „wierzchołku góry lodowej” ...

Obliczmy, jaka część objętości lodu pływającego po powierzchni wody wystaje ponad jej powierzchnię.

Re7o0WQZpWjSZ
Rys. 3. Siły działające na lód pływający na powierzchni wody.

Warunkiem pozostawania lodu w równowadze (lód pływa na powierzchni wody i nie tonie) jest równoważenie się działających na niego sił: siły ciężkościsiła ciężkościsiły ciężkościsiły wyporusiła wyporusiły wyporu (Rys. 3.). Wartość siły ciężkości, która jest kierowana do dołu, jest równa:

gdzie d=0,9167gcm3 jest gęstością lodu, g – przyspieszeniem ziemskim, V – objętością całej bryły lodowej. Natomiast wartość, skierowanej do góry, siły wyporu wynosi:

gdzie dc=0,9998gcm3 to gęstość wody, Vz – objętość zanurzonej części bryły lodu, która jest równa objętości wody wypartej przez tę bryłę.

Przyrównując wartości obu sił, otrzymujemy zależność:

która po przekształceniu ma postać:

Otrzymany wynik oznacza, że ok. 92% objętości bryły lodu znajduje się pod powierzchnią wody. Z wody wystaje zaledwie 8% jej objętości.

Ciekawostka

Czy wiesz, że góra lodowa, z którą w kwietniu 1912 zderzył się „Titanic” była co najmniej dwa i pół razy cięższa od niego samego?  Rachunki prowadzące do tego wyniku możesz wykonać samodzielnie, rozwiązując ćwiczenia z części „Sprawdź się” tego e‑materiału.

Słowniczek

siła ciężkości
siła ciężkości

(ang.: force of gravity) – potocznie ciężar, wypadkowa sił, z jaką Ziemia (lub inne ciało niebieskie) przyciąga dane ciało.

siła wyporu
siła wyporu

(ang.:  force of buoyancy) – siła działająca na ciało zanurzone w płynie, w obecności ciążenia. Siłę tę opisuje prawo ArchimedesaPrawo Archimedesaprawo Archimedesa.

warunki pływania ciał
warunki pływania ciał

(ang.: swimming condition for the objects) – ciało pływa częściowo zanurzone w cieczy, gdy siła ciężkości jest mniejsza od siły wyporu; ciało pływa na dowolnej głębokości, gdy siła ciężkości i siła wyporu się równoważą; ciało tonie, gdy jego ciężar jest większy od siły wyporu.