Przeczytaj
Rozkład na czynniki (faktoryzacja) wielomianu polega na znalezieniu takich wielomianów jak najniższego stopnia, których iloczyn jest równy danemu. Przy czym znalezione wielomiany nie mogą być tego samego stopnia (lub wyższego) co dany wielomian.
W tej części materiału zajmiemy się rozkładem wyrażeń algebraicznych na czynniki, z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia drugiego stopnia. Przy czym wyrażenia będą miały postać wielomianu:
gdzie:
– dane liczby rzeczywiste.
Przypomnijmy najpierw potrzebne wzory.
Wzory skróconego mnożenia drugiego stopnia:
Wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń:
Wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń
Wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń
Zastosowanie wzoru na kwadrat sumy
Podamy teraz przykłady rozkładu na czynniki z bezpośrednim wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.
W poniższych sumach wystarczy tylko zauważyć, który składnik jest podwojonym iloczynem, a które składniki są kwadratami wyrażeń. „Zwijamy” wtedy sumę w kwadrat dwumianu, a następnie zapisujemy kwadrat w postaci iloczynu.
W tym przykładzie wyłączymy najpierw przed nawias największy wspólny czynnik, a następnie wyrażenie w nawiasie zapiszemy w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.
Teraz przed nami trudne zadanie. Aby rozłożyć podane wyrażenie na czynniki, musimy pogrupować najpierw odpowiednio składniki, a następnie skorzystać ze wzoru na kwadrat sumy.
Grupujemy składniki.
Wyłączamy wspólne czynniki z obu nawiasów.
Ponownie wyłączamy przed nawias wspólny czynnik.
Zauważmy, że wyrażenie w pierwszym nawiasie to kwadrat sumy .
Ostatecznie:
Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy
Podobnie, jak wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy, można stosować wzór na kwadrat różnicy.
Oto przykłady rozkładu na czynnikirozkładu na czynniki z bezpośrednim wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.
W poniższych sumach wystarczy tylko zauważyć, który składnik jest podwojonym iloczynem, a które składniki są kwadratami wyrażeń. „Zwinąć” sumę w kwadrat różnicy, a następnie zapisać wyrażenie w postaci iloczynu.
W tym przykładzie wyłączymy najpierw przed nawias największy wspólny czynnik, a następnie wyrażenie w nawiasie zapiszemy w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.
Nie zawsze patrząc na wyrażenie algebraiczne możemy zauważyć, że aby je zapisać w postaci iloczynu, można skorzystać z danego wzoru skróconego mnożenia, często trzeba najpierw odpowiednio rozpisać składniki, a nawet dodać lub odjąć odpowiednie wyrażenie.
Zapiszemy w postaci iloczynu wyrażenie .
Do wyrażenia dodajemy i jednocześnie odejmujemy , wyrażenie zapisujemy w postaci .
Grupujemy składniki.
Wyłączamy z pierwszego nawiasu wspólny czynnik.
Ponownie wyłączamy wspólny czynnik.
Zapisujemy pierwszy z nawiasów w postaci iloczynu – korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów
Najczęściej wykorzystywanym wzorem w rozkładzie na czynniki jest wzór na różnicę kwadratów.
Zapiszemy każde z podanych wyrażeń w postaci iloczynu, stosując wzór na różnicę kwadratów.
a)
b) Aby rozłożyć na czynniki podane wyrażenie, zastosowujemy dwukrotnie wzór na różnicę kwadratów.
c) Ponownie zastosujemy dwukrotnie wzór na różnicę kwadratów.
d) Wyłączamy najpierw wspólny czynnik poza nawias i korzystamy z tego, że .
Rozkład na czynniki z zastosowaniem kilku wzorów skróconego mnożenia
Jeśli chcemy rozłożyć na czynniki wyrażenie algebraiczne, z którego postaci nie możemy bezpośrednio wywnioskować, jaki sposób rozkładu zastosować, sprowadzamy to wyrażenie do najprostszej postaci. I dopiero wtedy ustalamy sposób rozkładu (jeśli ten rozkład jest możliwy).
Zapiszemy w postaci iloczynu wyrażenie .
Krok 1 – wykonujemy wskazane działania
Krok 2 – redukujemy wyrazy podobne
Krok 3 – rozkładamy na czynniki
Rozłożymy na czynniki wielomian .
Krok 1 – wyłączamy wspólny czynnik
Krok 2 – wyraz wolny wielomianu to , zatem szukamy najpierw możliwości zapisania wyrażenia znajdującego się w nawiasie w postaci iloczynu takich wyrażeń, aby wystąpiło mnożenie lub albo lub .
Współczynnik przy to . Zatem próbujemy poszukać takich dwóch wyrażeń, aby wystąpiło mnożenie lub .
„Rozpisujemy” w postaci , aby wyłączyć w konsekwencji wspólny czynnik przed nawias.
Krok 3 – ponownie stosujemy „chwyt” taki jak wyżej – zapisujemy w postaci .
Krok 4 – wyrażenie w ostatnim nawiasie to różnica kwadratów, zatem możemy zapisać to wyrażenie w postaci: i wyłączyć wspólny czynnik.
Krok 5 – wyrażenie w ostatnim nawiasie zapisujemy jako kwadrat dwumianu .
Ostatecznie:
Słownik
to zapisanie wielomianu w postaci iloczynu wielomianów jak najniższego stopnia