Dwie proste na płaszczyźnie mogą pokrywać się, jak proste $k$ i $l$ przedstawione na poniższych ilustracjach.

Co to oznacza na płaszczyźnie bez układu współrzędnych?
Co to oznacza na płaszczyźnie z układem współrzędnych?

Rozwiązanie

Proste pokrywające się mają wszystkie punkty wspólne. Czasami przyjmujemy je za jedną prostą, jeśli zagadnienie, w którym występują nie wymaga ich odróżnienia.

R1ICHESOrzxk3

Ilustracja przestawia pokrywające się proste k i l.

Na płaszczyźnie kartezjańskiej (z układem współrzędnych) posługujemy się równaniami prostych. Proste pokrywające się mają takie same równania:

RzYfJhqT0fhdM

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do dziewięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch funkcji będące pokrywającymi się ukośnymi prostymi k i l. Obie proste są graficznymi interpretacjami równania $y=\frac{1}{2}x-3$.

Dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć jeden punkt wspólny.

Co to oznacza na płaszczyźnie bez układu współrzędnych?
Co to oznacza na płaszczyźnie z układem współrzędnych?
Czy w tym przypadku wyróżniamy jakieś szczególne położenie prostych względem siebie?

Rozwiązanie

Proste, które mają jeden punkt wspólny, przecinają się. Jeżeli przecinają się pod kątem prostym, nazywamy je prostopadłymi. Bardziej formalnie możemy powiedzieć, że proste są prostopadłe, jeśli tworzą przystające kąty przyległe:

RSmrJjEpwr9Oz

Ilustracja przedstawia dwie prostopadłe do siebie proste: k i l. Między prostymi zaznaczono kąt prosty.

Na płaszczyźnie kartezjańskiej możemy określić na podstawie ich równań, czy są do siebie prostopadłeproste prostopadłeprostopadłe. Dwie proste o równaniach kierunkowych $y=a_{1}x+b_1$ i $y=a_{2}x+b_2$ są do siebie prostopadłe, jeśli iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $\left(-1\right)$: $a_1{a}_2=-1$.  Przykład widać poniżej:

RLD4fYZE6huDU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do dziewięciu oraz z pionową osią Y od czterech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykres funkcji będące prostopadłymi prostymi k i l. Prosta k reprezentuje funkcję określoną wzorem $y=x-4$ i przebiega między innymi przez punkty $\left(0;-4\right)$, $\left(1;-3\right)$ i $\left(4;0\right)$. Prosta l reprezentuje funkcję określoną wzorem $y=-x-2$. Prosta ta przebiega między innymi przez punkty $\left(-2;0\right)$, $\left(0;-2\right)$ i $\left(1;-3\right)$. Ostatni z wymienionych tu punktów jest punktem przecięcia prostych. Między k i l oznaczono kąt prosty.

Dwie proste na płaszczyźnie mogą nie mieć punktów wspólnych.

Co to oznacza na płaszczyźnie bez układu współrzędnych?
Co to oznacza na płaszczyźnie z układem współrzędnych?

Rozwiązanie

Proste, które nie mają punktu wspólnego, nazywamy równoległymi:

R1HI8YCyBWVfR

Ilustracja przedstawia dwie równoległe ukośne proste k i l.

Jednocześnie jednak proste pokrywające się uznajemy za szczególny przypadek prostych równoległychproste równoległeprostych równoległych.

EuklidesEuklidesEuklides, sławny grecki matematyk, sformułował swój sławny aksjomat dotyczący równoległościrównoległośćrównoległości i na podstawie tego aksjomatupiąty postulat Euklidesaaksjomatu każdy uczeń wie, że:

Przez dany punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą do danej prostej.

Na płaszczyźnie kartezjańskiej możemy określić na podstawie równań prostych, czy są one do siebie równoległe. Dwie proste o równaniach kierunkowych $y=a_{1}x+b_1$ i $y=a_{2}x+b_2$ są do siebie równoległe, jeśli ich współczynniki kierunkowe są równe: $a_1=a_2$.   Przykład  poniżej:

RVEO9bwMKkbn3

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do dziewięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji będące ukośnymi równoległymi prostymi. Prota k reprezentuje funkcję określoną wzorem $y=\frac{3}{4}x-3$ i przebiega między innymi przez punkty $\left(0;-3\right)$ oraz $\left(4;0\right)$. Prosta l reprezentuje funkcję określoną wzorem $y=\frac{3}{4}x+1$ i przebiega między innymi przez punkty $\left(-2;0\right)$ i $\left(0;1\right)$. Proste nie mają punktów wspólnych.

Wyobraźmy sobie, że szyny kolejowe pewnej prostoliniowej trasy mogłyby być przedłużone i prowadzić dookoła kuli ziemskiej. Czy mogłyby być one uważane za równoległe proste sferyczne?

Zilustrujemy postawiony problem na sferze (np. na globusie).

RMffimoHlbf3r

Ilustracja przedstawia kulę ziemską, po której porusza się pociąg.

Możesz przyjąć za początek torów miejsce swojego zamieszkania. „Wybudujemy” tory przez morza i oceany.

Oczywiście, musimy  zrezygnować z rzeczywistej proporcji pomiędzy rozstawem szyn a promieniem sfery, jeśli chcemy narysować dwie szyny, które można odróżnić od siebie.

Odpowiedzmy na pytania:

1. Jak muszą być położone względem siebie szyny kolejowe, aby mógł po nich jechać pociąg?

2. Czy skonstruowane na sferze tory składają się z dwóch sferycznych prostych?

Rozwiązanie

ad 1) Szyny  muszą być równoległe, odległość między nimi w każdym miejscu musi być taka sama.

ad 2) Tory na sferze nie składają się z dwóch prostych sferycznych, ponieważ nawet jeśli jeden tor pokrywa się z okręgiem wielkim, to ten drugi, równo od pierwszego oddalony, nie jest okręgiem wielkim.

Wyobraźmy sobie, że startujemy z Bieguna Południowego i podążamy prosto na północ, ponieważ chcemy dotrzeć do Bieguna Północnego jak najkrótszą drogą.
Czy w swojej wędrówce przetniemy równik?  Jeśli tak, to pod jakim kątem?

Rozwiązanie

Oczywiście przetniemy równik, ponieważ jest on położony pomiędzy dwoma biegunami.

Ryo5tkIixNr0w

Ilustracja przedstawia kulę ziemską, na której zaznaczono południki i równik. Między jednym z południków i równikiem zaznaczono kąt prosty. Z bieguna południowego poprowadzono do bieguna północnego czerwoną strzałką drogę, która ma postać wygiętej krzywej.

Jeżeli chcemy poruszać się najkrótszą drogą pomiędzy biegunami (idealizując oczywiście sytuację), to równik przetniemy pod kątem prostym.

relacja (czyli w tym przypadku wzajemne położenie) między dwiema prostymi, dwiema płaszczyznami lub prostą i płaszczyzną

proste, które tworzą przystające kąty przyległe

relacja (czyli w tym przypadku wzajemne położenie) między obiektami takimi jak proste, płaszczyzny, odcinki, półproste

proste, które nie mają punktu wspólnego lub pokrywają się

żyjący na przełomie $\text{IV}$ i $\text{III}$ w. p.n.e. sławny grecki matematyk, który jako pierwszy uporządkował pojęcia geometrii na płaszczyźnie; w swoim dziele “Elementy” sformułował aksjomaty, czyli oczywiste, przyjmowane bez dowodu prawa geometrii

piąty aksjomat, dotyczący równoległości prostych, który z nauki w szkole znamy w następującym brzmieniu: „Przez dany punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą do danej prostej”