Przeczytaj
Jak mogą być położone względem siebie dwie proste na płaszczyźnie?
Dwie proste na płaszczyźnie mogą pokrywać się, jak proste i przedstawione na poniższych ilustracjach.
Co to oznacza na płaszczyźnie bez układu współrzędnych?
Co to oznacza na płaszczyźnie z układem współrzędnych?
Rozwiązanie
Proste pokrywające się mają wszystkie punkty wspólne. Czasami przyjmujemy je za jedną prostą, jeśli zagadnienie, w którym występują nie wymaga ich odróżnienia.
Na płaszczyźnie kartezjańskiej (z układem współrzędnych) posługujemy się równaniami prostych. Proste pokrywające się mają takie same równania:
Dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć jeden punkt wspólny.
Co to oznacza na płaszczyźnie bez układu współrzędnych?
Co to oznacza na płaszczyźnie z układem współrzędnych?
Czy w tym przypadku wyróżniamy jakieś szczególne położenie prostych względem siebie?
Rozwiązanie
Proste, które mają jeden punkt wspólny, przecinają się. Jeżeli przecinają się pod kątem prostym, nazywamy je prostopadłymi. Bardziej formalnie możemy powiedzieć, że proste są prostopadłe, jeśli tworzą przystające kąty przyległe:
Na płaszczyźnie kartezjańskiej możemy określić na podstawie ich równań, czy są do siebie prostopadłeprostopadłe. Dwie proste o równaniach kierunkowych i są do siebie prostopadłe, jeśli iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy : . Przykład widać poniżej:
Dwie proste na płaszczyźnie mogą nie mieć punktów wspólnych.
Co to oznacza na płaszczyźnie bez układu współrzędnych?
Co to oznacza na płaszczyźnie z układem współrzędnych?
Rozwiązanie
Proste, które nie mają punktu wspólnego, nazywamy równoległymi:
Jednocześnie jednak proste pokrywające się uznajemy za szczególny przypadek prostych równoległychprostych równoległych.
EuklidesEuklides, sławny grecki matematyk, sformułował swój sławny aksjomat dotyczący równoległościrównoległości i na podstawie tego aksjomatuaksjomatu każdy uczeń wie, że:
Przez dany punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą do danej prostej.
Na płaszczyźnie kartezjańskiej możemy określić na podstawie równań prostych, czy są one do siebie równoległe. Dwie proste o równaniach kierunkowych i są do siebie równoległe, jeśli ich współczynniki kierunkowe są równe: . Przykład poniżej:
Czy na powierzchni kuli istnieją proste sferyczne prostopadłe i równoległe?
Jakie mają własności?
Geometria sferyczna zajmuje się działem geometrii dotyczącym badania właściwości figur należących do powierzchni kuli. Rolę prostych odgrywają koła wielkie sfery (czyli powierzchni kuli).
Wyobraźmy sobie, że szyny kolejowe pewnej prostoliniowej trasy mogłyby być przedłużone i prowadzić dookoła kuli ziemskiej. Czy mogłyby być one uważane za równoległe proste sferyczne?
Zilustrujemy postawiony problem na sferze (np. na globusie).
Możesz przyjąć za początek torów miejsce swojego zamieszkania. „Wybudujemy” tory przez morza i oceany.
Oczywiście, musimy zrezygnować z rzeczywistej proporcji pomiędzy rozstawem szyn a promieniem sfery, jeśli chcemy narysować dwie szyny, które można odróżnić od siebie.
Odpowiedzmy na pytania:
Jak muszą być położone względem siebie szyny kolejowe, aby mógł po nich jechać pociąg?
Czy skonstruowane na sferze tory składają się z dwóch sferycznych prostych?
Rozwiązanie
ad 1) Szyny muszą być równoległe, odległość między nimi w każdym miejscu musi być taka sama.
ad 2) Tory na sferze nie składają się z dwóch prostych sferycznych, ponieważ nawet jeśli jeden tor pokrywa się z okręgiem wielkim, to ten drugi, równo od pierwszego oddalony, nie jest okręgiem wielkim.
Wyobraźmy sobie, że startujemy z Bieguna Południowego i podążamy prosto na północ, ponieważ chcemy dotrzeć do Bieguna Północnego jak najkrótszą drogą.
Czy w swojej wędrówce przetniemy równik? Jeśli tak, to pod jakim kątem?
Rozwiązanie
Oczywiście przetniemy równik, ponieważ jest on położony pomiędzy dwoma biegunami.
Jeżeli chcemy poruszać się najkrótszą drogą pomiędzy biegunami (idealizując oczywiście sytuację), to równik przetniemy pod kątem prostym.
Słownik
relacja (czyli w tym przypadku wzajemne położenie) między dwiema prostymi, dwiema płaszczyznami lub prostą i płaszczyzną
proste, które tworzą przystające kąty przyległe
relacja (czyli w tym przypadku wzajemne położenie) między obiektami takimi jak proste, płaszczyzny, odcinki, półproste
proste, które nie mają punktu wspólnego lub pokrywają się
żyjący na przełomie i w. p.n.e. sławny grecki matematyk, który jako pierwszy uporządkował pojęcia geometrii na płaszczyźnie; w swoim dziele “Elementy” sformułował aksjomaty, czyli oczywiste, przyjmowane bez dowodu prawa geometrii
piąty aksjomat, dotyczący równoległości prostych, który z nauki w szkole znamy w następującym brzmieniu: „Przez dany punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą do danej prostej”