Warto przeczytać

1. Przemiana izotermiczna to przemiana, w której stała jest temperatura, a ciśnienie i objętość są do siebie odwrotnie proporcjonalne, $p\cdot V=const$. Wykresem zależności ciśnienia $p$ od objętości $V$ jest hiperbola, zwana izotermą (Rys. 1.). Od wartości stałej po prawej stronie powyższego równania zależna jest wartość ciśnienia w danej objętości. Tę stałą możemy wyznaczyć z równania Clapeyrona:

gdzie $n$ to liczba moli gazu, $R$ = 8,31 J/K – stała gazowa, $T$ – temperatura w skali Kelwina.

Na Rys. 1. widzimy trzy izotermy dla trzech różnych temperatur. Z równania (1) wynika, że większej wartości ciśnienia $p$ odpowiada większa wartość temperatury $T$, w której zachodzi przemiana. Skoro więc $p_3>p_2>p_1$, to $T_3>T_2>T_1$. Im wyższa temperatura przemiany, tym wyżej leży izoterma na wykresie.

Rj5mw2r9UzPyw

Rys. 1. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono objętość gazu, oznaczoną literą wielkie V, na osi pionowej ciśnienie, oznaczone literą małe p. W układzie współrzędnych są 3 wykresy w kształcie hiperbol, które nie przecinają się. Najwyżej leży zielona hiperbola, oznaczona literą wielkie T z indeksem dolnym 3. Pod nią znajduje się czerwona hiperbola, oznaczona literą wielkie T z indeksem dolnym 2. Najniżej leży niebieska hiperbola, oznaczona literą wielkie T z indeksem dolnym 1. Narysowano przerywaną, pionową linię, która przecina poziomą oś w punkcie o współrzędnej , oznaczoną literą wielkie V z indeksem dolnym zero. Linia ta przecina wszystkie 3 hiperbole. Punkt przecięcia z najniższą hiperbolą leży najniżej i ma współrzędną ciśnienia równą małe p z indeksem dolnym 1. Punkt przecięcia ze środkową hiperbolą leży wyżej i ma współrzędną ciśnienia równą małe p z indeksem dolnym 2. Punkt przecięcia z najwyższą hiperbolą leży najwyżej i ma współrzędną ciśnienia równą małe p z indeksem dolnym 3.

Można również zilustrować przemianę izotermiczną za pomocą wykresu w układzie o współrzędnych $V$ i $T$ oraz $p$ i $T$. Ponieważ temperatura jest stała, wykresy mają postać pionowych odcinków (Rys. 2.). Na wykresie $V-T$ bezpośrednio widać, która z przemian odpowiada sprężaniu, czyli zmniejszaniu objętości gazu, a która rozprężaniu. Na wykresie $p-T$ nie jest to takie oczywiste. Aby odpowiedzieć na to pytanie, należy uwzględnić zależność ciśnienia od objętości. Skoro ciśnienie rośnie, gdy objętość maleje, to przemiana prowadząca do zwiększenia ciśnienia odpowiada sprężaniu gazu.

R5OmgIWqubJD1

Rys. 2. Na rysunku znajdują się 2 układy współrzędnych. W układzie z lewej strony na osi poziomej odłożono temperaturę, oznaczoną literą wielkie T, a na osi pionowej objętość oznaczoną literą wielkie V. W układzie są 2 wykresy w kształcie pionowych odcinków. Na wykresie podpisanym jako „rozprężanie” narysowano strzałkę skierowaną do góry. Na wykresie podpisanym jako „sprężanie” narysowano strzałkę skierowaną w dół. W układzie z prawej strony na osi poziomej odłożono temperaturę, oznaczoną literą wielkie T, a na osi pionowej ciśnienie oznaczone literą małe p. W układzie są 2 wykresy w kształcie pionowych odcinków. Na wykresie podpisanym jako „sprężanie” narysowano strzałkę skierowaną do góry. Na wykresie podpisanym jako „rozprężanie” narysowano strzałkę skierowaną w dół.

2. Przemiana izochoryczna to przemiana gazu doskonałego, w której stała jest objętość, a ciśnienie gazu $p$ jest wprost proporcjonalne do temperatury w skali Kelwina $T$, $\frac{p}{T}=const$. Wykresem zależności ciśnienia od temperatury w przemianie izochorycznej jest odcinek, którego przedłużenie przechodzi przez punkt (0,0) (Rys. 3.). W zakresach bardzo niskich i bardzo wysokich temperatur zależność $\frac{p}{T}=const$ nie jest spełniona, ponieważ w tych warunkach substancja nie ma cech gazu.

Więcej wiadomości na ten temat znajdziesz w e‑materiale „Definicja gazu doskonałego”.

RyvvfywcswFAA

Rys. 3. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono temperaturę, oznaczoną literą wielkie T, na osi pionowej ciśnienie, oznaczone literą małe p. Wykres ma kształt odcinka, nachylonego w prawo i do góry. Przedłużenie tego odcinka, narysowane przerywaną linią, trafia w punkt przecięcia osi.

Od czego zależy nachylenie wykresu przemiany izochorycznej do osi temperatury? Wyznaczmy ciśnienie $p$ z równania Clapeyrona (1): $p=\frac{nR}{V}T$. Wyrażenie $\frac{nR}{V}$ jest współczynnikiem kierunkowym prostej, $\frac{nR}{V}=tg\alpha$, gdzie $\alpha$ to kąt między prostą a osią temperatury. Widzimy, że nachylenie wykresu jest tym większe, im mniejsza jest objętość gazu $V$, a także rośnie wraz ze wzrostem liczby moli $n$. Przykład pokazany jest na Rys. 4. Ta sama ilość gazu zamknięta jest raz w naczyniu o objętości $V$ (a), a drugi raz w naczyniu o objętości $2V$(b). W pierwszym przypadku ciśnienie w temperaturze $T$ wynosi $p_2=\frac{nR}{V}T\text{'}$, w drugim przypadku ciśnienie w temperaturze $T$’ wynosi $p_1=\frac{nR}{2V}T\text{'}=\frac{p_2}{2}$.

RlpSnxAVfh91E

Rys. 4. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono temperaturę, oznaczoną literą wielkie T, na osi pionowej ciśnienie, oznaczone literą małe p. W układzie są 2 wykresy w kształcie odcinków, nachylonych w prawo i do góry. Przedłużenie każdego z odcinków, narysowane przerywaną linią, trafia w punkt przecięcia osi. Odcinek położony wyżej i nachylony pod większym kątem do osi poziomej oznaczono literą małe a, odcinek położony niżej i nachylony pod mniejszym kątem do osi poziomej oznaczono literą małe b. Narysowano przerywaną, pionową linię, która przecina poziomą oś w punkcie o współrzędnej , oznaczoną literą wielkie T prim. Linia ta przecina oba wykresy. Punkt przecięcia z niższym odcinkiem leży niżej i ma współrzędną ciśnienia równą małe p z indeksem dolnym 1. Punkt przecięcia z wyższym odcinkiem ma współrzędną ciśnienia równą małe p z indeksem dolnym 2.

3. Przemiana izobaryczna to przemiana gazu doskonałego, w której stałe jest ciśnienie, a objętość gazu $V$ jest wprost proporcjonalna do temperatury w skali Kelwina $T$, $\frac{V}{T}=const$. Wykresem zależności objętości od temperatury w przemianie izobarycznej jest odcinek prostej, przechodzącej przez punkt (0,0) (Rys. 5.).

Roz85OPr6DQH2

Rys. 5. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono temperaturę, oznaczoną literą wielkie T, na osi pionowej objętość, oznaczoną literą wielkie V. W układzie są 2 wykresy w kształcie odcinków, nachylonych w prawo i do góry. Przedłużenie każdego z odcinków, narysowane przerywaną linią, trafia w punkt przecięcia osi. Odcinek położony wyżej i nachylony pod większym kątem do osi poziomej oznaczono literą małe a, odcinek położony niżej i nachylony pod mniejszym kątem do osi poziomej oznaczono literą małe b.

Nachylenie wykresu do osi temperatury możemy przeanalizować podobnie, jak dla przemiany izochorycznej. Objętość w temperaturze $T$ wynosi $V=\frac{nR}{p}T$. W tym przypadku współczynnik kierunkowy prostej jest odwrotnie proporcjonalny do ciśnienia gazu $p$ i wprost proporcjonalny do liczby moli $n$.

RFLw939PvsxbI

Rys. 6. Na rysunku przedstawiono cylinder, ustawiony poziomo i zamknięty z prawej strony tłokiem. Do tłoka przyłożony jest wektor siły parcia gazu skierowany poziomo w prawo. Pokazano 2 położenia tłoka. W pierwszym położeniu cylinder ma długość, oznaczoną literą małe d z indeksem dolnym 1. W drugim położeniu tłok znajduje się dalej na prawo, a cylinder ma większą długość, oznaczoną literą małe d z indeksem dolnym 2.

Przemiana izobaryczna przedstawiona w układzie współrzędnych $p-V$ ma ciekawą i ważną, ze względu na zastosowanie, interpretację. Rozważmy gaz zamknięty w cylindrze z tłokiem, poddany przemianie izobarycznej, w której objętość zwiększa się od wartości $V_1=d_1\cdot S$ do $V_2=d_2\cdot S$, gdzie $S$ jest polem powierzchni tłoka, $d_1$ – początkową długością słupa gazu, $d_2$ – końcową długością słupa gazu (Rys. 6.). Jaką pracę wykona przy tym siła parcia gazu $F$? Praca jest iloczynem siły i przesunięcia

Siłę $F$ można przestawić, jako iloczyn ciśnienia gazu i pola powierzchni tłoka

więc praca siły parcia gazu wynosi:

Przedstawmy tę przemianę w układzie współrzędnych $p-V$ (Rys. 7.). Jak widać, praca gazu, $W=p\cdot \Delta V$, równa jest polu powierzchni pod wykresem przemiany izobarycznej.

RNoQPLiBCTlvb

Rys. 7. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono objętość na osi pionowej ciśnienie. Wykresem jest poziomy odcinek, którego przedłużenie przecina pionową oś w punkcie o współrzędnej małe p. Na wykresie narysowano strzałkę skierowaną w prawo. Na osi poziomej zaznaczono 2 punkty: pierwszy oznaczony literą wielkie V z indeksem dolnym 1 i drugi położony na prawo od pierwszego, oznaczony literą wielkie V z indeksem dolnym 2. Długość odcinka łączącego punkty wynosi wielkie delta wielkie V. Od tych dwóch punktów poprowadzono dwa przerywane, pionowe odcinki kończące się na poziomym wykresie. Powstał w ten sposób prostokąt, którego pionowy bok ma długość równą małe p, a poziomy bok długość równą delta V. Prostokąt ten zakreskowano, a jego pole opisano równaniem: Praca gazu wielkie W równa się ciśnienie p razy przyrost objętości delta V.

Otrzymany związek między pracą gazu a polem powierzchni pod wykresem przemiany izobarycznej można uogólnić na dowolną przemianę.

Rozważmy gaz poddany dowolnej przemianie pokazanej na Rys. 8. Jaką pracę wykona gaz, zwiększając swoją objętość od wartości $V_1$ do $V_2$? Podzielmy pole pod wykresem przemiany na bardzo wąskie paski o szerokości $\Delta V$. Jeśli szerokość pasków będzie odpowiednio mała, to można uznać, że ciśnienie w zakresie objętości $\Delta V$ jest stałe. W ten sposób zamieniliśmy dowolną przemianę gazową na sumę przemian izobarycznych. Jeśli zsumujemy teraz wszystkie wyrażenia $p_i\cdot \Delta V_i$ w zakresie od $V_1$ do $V_2$, to otrzymamy całkowitą pracę wykonaną przez gaz podczas rozprężania od objętości $V_1$ do $V_2$. Jednocześnie praca ta jest równa polu powierzchni zawartej pod wykresem przemiany.

Otrzymaliśmy ważną zależność:

Praca gazu podczas zwiększania objętości równa jest polu powierzchni pod wykresem przemiany w układzie współrzędnych $p-V$.

Siła zewnętrzna jest zawsze przeciwnie skierowana do siły parcia gazu. Praca $W_{zewn}$ wykonana przez siłę zewnętrzną, ma więc przeciwny znak niż praca wykonana przez gaz:

Jeśli $V_1>V_2$, czyli mamy do czynienia ze sprężaniem gazu, to praca siły zewnętrznej jest dodatnia i przyczynia się do zwiększenia energii wewnętrznej gazu. Oczywiście wartość bezwzględna pracy siły zewnętrznej również jest równa polu powierzchni pod wykresem przemiany.

R1TJhwOgdPjYd

Rys. 8. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono objętość gazu, oznaczoną literą wielkie V, na osi pionowej ciśnienie, oznaczone literą małe p. Wykres jest nieregularną linią krzywą, która najpierw wznosi się, potem opada, znów się wznosi i znów opada. Na krzywej narysowano strzałki skierowane w prawo. Na osi poziomej zaznaczono 2 punkty: pierwszy oznaczony literą wielkie V z indeksem dolnym 1 i drugi położony na prawo od pierwszego, oznaczony literą wielkie V z indeksem dolnym 2. Od tych dwóch punktów poprowadzono dwa przerywane, pionowe odcinki kończące się na wykresie. Pole pod wykresem zostało podzielone na wąskie, pionowe paski. Szerokość jednego z pasków oznaczono jako wielkie delta wielkie V z indeksem dolnym i. Wysokość tego paska oznaczono jako małe p z indeksem dolnym i.

4. Przemiana adiabatycznaPrzemiana adiabatycznaPrzemiana adiabatyczna to przemiana, w której nie ma wymiany ciepła z otoczeniem. Podczas adiabatycznego sprężania gazu zwiększa się zarówno temperatura, jak i ciśnienie gazu. Ciśnienie rośnie szybciej niż przy takim samym sprężaniu izotermicznym. Natomiast, gdy gaz rozpręża się adiabatycznie, maleje temperatura i ciśnienie. W rezultacie końcowe ciśnienie ma mniejszą wartość niż w takiej samej przemianie izotermicznej.

Wykresy przemiany adiabatycznej oraz, dla porównania, izotermicznej pokazane są na Rys. 9. Wykres przemiany adiabatycznej jest bardziej stromy niż wykres przemiany izotermicznej. Oznacza to, że w przemianie adiabatycznej ciśnienie szybciej się zmienia wraz ze zmianą objętości niż w przemianie izotermicznej.

RTdbNN5wo8o9x

Rys. 9. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono objętość gazu, oznaczoną literą wielkie V, na osi pionowej ciśnienie, oznaczone literą małe p. W układzie współrzędnych są 2 wykresy w kształcie hiperbol, które przecinają się. Bardziej stroma hiperbola opisana jest równością wielkie Q równa się zero. Druga hiperbola, mniej stroma, opisana jest równością wielkie T równa się konstans.

Słowniczek