Przeczytaj
Rozważmy trójkąt o wierzchołkach w punktach , , . Zauważmy, że jeśli odcinek jest równoległy do osi , to równanie prostej przechodzącej przez wierzchołek zawierającej wysokość tego trójkąta to .
Jeśli odcinek nie jest równoległy do osi , to współczynnik kierunkowy prostej jest równy ilorazowi różnicy drugich współrzędnych punktów i przez różnicę pierwszych współrzędnych tych punktów (w tej samej kolejności), czyli .
Ponieważ prosta zawierająca wysokość poprowadzoną z punktu jest prostopadła do prostej , więc jej współczynnik kierunkowy jest równy . Po zastosowaniu wzoru na równanie prostej o danym współczynniku kierunkowym przechodzącej przez dany punkt, otrzymujemy równanie prostej
,
co po przekształceniu daje równanie
.
Sprawdźmy jeszcze otrzymany ostatecznie wzór obejmuje również przypadek, gdy odcinek jest równoległy do osi . Wówczas i (w przeciwnym razie nie otrzymalibyśmy trójkąta), więc roważany wzór przyjmuje postać
.
Zatem wzór
opisuje prostą zawierającą wysokość trójkątawysokość trójkąta o wierzchołkach
, ,
przechodzącą przez punkt niezależnie od położenia punktów , , w prostokątnym układzie współrzędnych.
Wyznaczymy równanie prostej zawierającej wysokość trójkątawysokość trójkąta o wierzchołkach , , przechodzącej przez punkt .
Możemy wykorzystać otrzymany wzór.
Możemy też powtórzyć całą drogę, która doprowadziła nas do tego wzoru:
współczynnik kierunkowy prostej jest równy
,współczynnik kierunkowy prostej zawierającej wysokość poprowadzoną do boku jest równy ,
korzystając ze wzoru na równanie prostej o danym współczynniku kierunkowym przechodzącej przez dany punkt, otrzymujemy równanie
,
co po przekształceniu daje równanie
.
Wyznaczymy współrzędne punktu przecięcia wysokości (tzw. ortocentrum) trójkąta o wierzchołkach , , .
W poprzednim przykładzie wyznaczyliśmy równanie prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka : .
Wyznaczmy równanie prostej zawierającej wysokość poprowadzoną z wierzchołka :
Na mocy twierdzenia, które orzeka, że wszystkie trzy proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie, wystarczy, że wyznaczymy współrzędne punktu wspólnego dwóch z nich. W tym celu wystarczy rozwiązać układ złożony z równań dwóch prostych zawierających wysokości:
Z układu wynika równanie
,
które można przekształcić następująco
Dla , mamy
.
Zatem ortocentrum trójkątaortocentrum trójkąta ma współrzędne .
Słownik
odcinek o jednym końcu w wierzchołku tego trójkąta o drugim końcu na prostej zawierającej przeciwległy bok prostopadły do tego boku
punkt przecięcia prostych zawierających wysokości trójkąta