Miejscem zerowym funkcji $f$ nazywamy taki argument $x$, dla którego:

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

a) $f\left(x\right)=7-x^2$, gdy $x\in \mathrm{\mathbb{Q}}$,

b) $f\left(x\right)=7-x^2$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$.

Wyznaczymy miejsca zerowe (o ile istnieją) funkcji $f$.

Rozwiązanie:

Funkcja $f$, w obu podpunktach, opisana jest za pomocą takiego samego wzoru. Różne są tylko dziedziny funkcji.

Wyznaczymy miejsca zerowe funkcji $f$ rozwiązując równanie

$f\left(x\right)=0$.

$7-x^2=0$

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$.

$\left(\sqrt{7}-x\right)\left(\sqrt{7}+x\right)=0$

Iloczyn jest równy zero wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero.

$\sqrt{7}-x=0$ lub $\sqrt{7}+x=0$

Stąd $x_1=\sqrt{7}$, $x_2=-\sqrt{7}$.

Ad. a). Funkcja $f$ nie posiada miejsc zerowych, ponieważ dziedziną funkcji jest zbiór liczb wymiernych.

Ad. b). Funkcja $f$ ma dwa miejsca zerowe, ponieważ dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Są nimi liczby: $-\sqrt{7}$, $\sqrt{7}$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=x\left(x+4\right)\left(3x-2\right)$, gdy $x\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Wyznaczymy miejsca zerowe (o ile istnieją) funkcji $f$.

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia miejsc zerowych funkcjimiejsce zerowe funkcjimiejsc zerowych funkcji $f$ rozwiążemy równanie

$f\left(x\right)=0$.

$x\left(x+4\right)\left(3x-2\right)=0$

Iloczyn jest równy zero wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero.

$x=0$ lub $x+4=0$ lub $3x-2=0$

Stąd $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=\frac{2}{3}$.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb całkowitych, czyli funkcja posiada dwa miejsca zerowe.

Są nimi liczby: $-4$, $0$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=x^2+6x-{\left(x+3\right)}^2+9$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$.

Wykażemy, że funkcja $f$ posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych.

Rozwiązanie:

Przekształcimy tożsamościowo wzór opisujący funkcję $f$.

$f\left(x\right)=x^2+6x-{\left(x+3\right)}^2+9$

Zastosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$.

$f\left(x\right)=x^2+6x-\left(x^2+6x+9\right)+9$

Opuszczamy nawias pamiętając o zmianie znaków jednomianów.

$f\left(x\right)=x^2+6x-x^2-6x-9+9$

Przeprowadzamy redukcję wyrazów podobnych.

$f\left(x\right)=0$

Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy oraz przeprowadzeniu redukcji wyrazów podobnych otrzymaliśmy

$f\left(x\right)=0$.

Funkcja $f$ dla każdej liczby rzeczywistej przyjmuje wartość $0$.

Stąd wniosek, że każda liczba należąca do dziedziny funkcji jest jej miejscem zerowym.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\frac{2·\left(x-4\right)\left(x-2\sqrt{2}\right)}{2x^2-16}$

Wyznaczymy dziedzinę tej funkcji oraz sprawdzimy, która z liczb: $4$ czy $2\sqrt{2}$ jest jej miejscem zerowym.

Rozwiązanie:

Wyznaczmy dziedzinę funkcji $f$. Pamiętamy, że mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera.

Mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera. Rozwiązujemy równanie, które jest zapisane w mianowniku.

$2x^2-16\ne 0$

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$2·\left(x^2-8\right)\ne 0$

Obie strony równania podzieliliśmy przez $2$.

$x^2-8\ne 0$

Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$.

$\left(x-2\sqrt{2}\right)\left(x+2\sqrt{2}\right)\ne 0$

Iloczyn jest równy zero wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. Zatem, aby mianownik był różny od zera, każdy z czynników musi być różny od zera.

$\left(x-2\sqrt{2}\right)\ne 0\wedge \left(x+2\sqrt{2}\right)\ne 0$

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania.

$x\ne 2\sqrt{2}\wedge x\ne -2\sqrt{2}$

Wyznaczyliśmy dziedzinę funkcji $f$.

$D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2\sqrt{2},2\sqrt{2}\right\}$

W celu wyznaczenia miejsc zerowych rozwiążemy równanie $f\left(x\right)=0$.

$\frac{2·\left(x-4\right)\left(x-2\sqrt{2}\right)}{2x^2-16}=0$

Ułamek jest równy $0$ wtedy, gdy licznik tego ułamka jest równy $0$.

$2·\left(x-4\right)\left(x-2\sqrt{2}\right)=0$

Iloczyn jest równy $0$ wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy $0$.

$x-4=0 \vee x-2\sqrt{2}=0$

Otrzymaliśmy dwa rozwiązania równania. Sprawdzamy, która z otrzymanych liczb należy do dziedziny funkcji $f$.

$x=4 \vee x=2\sqrt{2}$

Do dziedziny funkcji $f$ należy liczba $4$, a nie należy liczba $2\sqrt{2}$.

Możemy zapisać, że funkcja ma tylko jedno miejsce zerowe. Jest nim liczba $4$.

$x_0=4$

Odpowiedź:

Tylko liczba $4$ jest miejscem zerowym funkcji $f$.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)={\left(x+2\right)}^2-x\left(x+1\right)-3x$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$.

Wykażemy, że funkcja $f$ nie ma miejsc zerowych.

Rozwiązanie:

Przekształcimy tożsamościowo wzór opisujący funkcję $f$.

$f\left(x\right)={\left(x+2\right)}^2-x\left(x+1\right)-3x$

Zastosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$.

$f\left(x\right)=x^2+4x+4-x\left(x+1\right)-3x$

Wykonamy mnożenie jednomianu przez sumę algebraiczną.

$f\left(x\right)=x^2+4x+4-x^2-x-3x$

Przeprowadzimy redukcję wyrazów podobnych.

$f\left(x\right)=4$

Po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy oraz przeprowadzeniu redukcji wyrazów podobnych otrzymaliśmy

$f\left(x\right)=4$.

Funkcja $f$ dla każdej liczby rzeczywistej przyjmuje wartość $4$.

Stąd wniosek, że funkcja $f$ nie posiada miejsc zerowych.

Funkcja $f$ opisana jest za pomocą wzoru.

$f\left(x\right)=\frac{3ax-6}{x^2+5}$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$.

Wyznaczymy $a$ tak, aby miejscem zerowym funkcji $f$ była liczba $\left(-2\right)$.

Rozwiązanie:

Rozwiążemy równanie $f\left(-2\right)=0$.

$\frac{3a·\left(-2\right)-6}{{\left(-2\right)}^2+5}=0$

$\frac{-6a-6}{4+5}=0$

$\frac{-6a-6}{9}=0$

Obie strony równania mnożymy przez $9$.

$-6a=6$

Obie strony równania dzielimy przez liczbę $\left(-6\right)$.

$a=-1$

Odpowiedź:

Liczba $\left(-2\right)$ jest miejscem zerowym funkcji $f$ wtedy, gdy $a=-1$.

argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość równą $0$