Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Przypomnijmy, że z definicji figur podobnych wynika, że jeśli trójkąt DEF jest obrazem trójkąta ABC w podobieństwie o skali s>0, przy czym punkty D, EF są obrazami punktów odpowiednio A, BC w tym podobieństwie, to

DE=s·ABEF=s·BCDF=s·AC
ROKISipzYTdrd

Równości te możemy zapisać w postaci

s=DEABs=EFBCs=DFAC

Możemy zatem powiedzieć, że skala podobieństwa trójkątów to stosunek długości boku trójkąta będącego obrazem do boku trójkąta wyjściowego. Pokażemy, że skalę podobieństwa trójkątów możemy wyznaczyć, obliczając stosunek długości innych odpowiadających sobie wielkości w tych trójkątach, na przykład obwodów tych trójkątów.

Ponieważ

LDEF=DE+EF+DF=s·AB+s·BC+s·AC=
=s·AB+BC+AC=s·LABC

więc

s=LDFFLABC

Podobnie możemy wykazać, że skala podobieństwa trójkąta DEF do trójkąta ABC jest równa stosunkowi opowiadających sobie wysokości tych trójkątów lub stosunkowi długości odpowiadających sobie środkowych.

Zauważmy też, że jeżeli skala podobieństwa trójkąta DEF do trójkąta ABC jest równa s, to skala podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta DEF jest równa 1s.

Pokażemy teraz ważną własność pól trójkątów podobnych.

Twierdzenie o stosunku pól trójkątów podobnych
Twierdzenie: Twierdzenie o stosunku pól trójkątów podobnych

Stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa tych trójkątów.

Dowód

Niech s>0 będzie skalą podobieństwa trójkąta DEF do trójkąta ABC.

Wówczas DE=s·ABDF=s·AC.

Oznaczmy α=BAC=EDF.

RvYwhx6FX1Psw

Stosunek pól trójkątów DEFABC jest równy

PDEFPABC=12DE·DF·sinα12AB·AC·sinα=s·AB·s·ACAB·AC=s2

To kończy dowód.

Ta sama własność jest też prawdziwa w przypadku dowolnych figur podobnych. Jej dowód w przypadku wielokątów wynika z faktu, że każdy wielokąt można podzielić na parami rozłączne trójkąty.

Nie trudno też zauważyć, że stosunek objętości brył podobnych jest równy sześcianowi ich skali podobieństwa.

Szczególnym przypadkiem figur podobnych są figury przystające. Skala ich podobieństwa jest równa 1.

Relacja podobieństwa figur jest:

  • Zwrotna, tzn. każda figura jest podobna do samej siebie. Możemy to zapisać f~f.

  • Symetryczna, tzn. jeżeli figura f jest podobna do figury g, to figura g jest podobna do figury f. Możemy to zapisać: jeżeli f~g, to g~f.

  • Przechodnia, tzn. jeżeli figura f jest podobna do figury g i figura g jest podobna do figury h, to figura f jest podobna do figury h. To możemy zapisać: jeżeli f~gg~h, to f~h.

Pokażemy kilka przykładów, w których wykażemy, że trójkąty są podobne lub wykorzystamy podobieństwo trójkątów.

Przykład 1

Trójkąt ABC jest prostokątny. Punkt D jest spodkiem wysokościspodek wysokości trójkątaspodkiem wysokości CD opuszczonej z wierzchołka kąta prostego tego trójkąta.

R15j5CBVEMdN4

Wykaż, że trójkąty ABC, ACDCBD są podobne.

Rozwiązanie

Oznaczmy CAB=α.

RdV5iKTDeMTJy

Trójkąty ADCABC są prostokątne, mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku A, więc z twierdzenia o sumie kątów trójkąta otrzymujemy ABC=180°-ACB-CAB=180°-90°-α=90°-α oraz ACD=180°-CDA-CAD=180°-90°-α=90°-α.

Zatem ABC=ACD.

Zatem z cechy kkk wynika, że trójkąty ADCABC są podobne.

Trójkąt CBD jest prostokątny oraz ABC=90°-α, więc z twierdzenia o sumie kątów trójkąta otrzymujemy DCB=180°-CDB-DBC=180°-90°-90°-α=α.

Wobec tego kąty trójkąta CBD są takie same jak kąty trójkątów ADCABC, co oznacza, że trójkąt CBD jest podobny do każdego z trójkątów ADCABC.

To należało wykazać.

Przykład 2

Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta DEF w skali 4, trójkąt KLM jest podobny do trójkąta DEF w skali 3. Oblicz skalę podobieństwa trójkąta KLM do trójkąta ABC.

Rozwiązanie

RNV4yrDK42E7f

Ponieważ skala podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta DEF jest równa 4, więc AB=4·DE.

Skala podobieństwa trójkąta KLM do trójkąta DEF jest równa 3, więc KL=3·DE.

Skala podobieństwa trójkąta KLM do trójkąta ABC jest równa KLAB=3·DE4·DE=34.

Przykład 3

Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkty D, EF leżą na bokach odpowiednio AB, BCAC tego trójkąta oraz AD:DB=BE:EC=CF:FA=1:2. Odcinki AE, BFCD wyznaczają trójkąt KLM, jak na rysunku.

R9HQUqwAOREpI

Wykaż, że trójkąt KLM jest podobny do trójkąta ABC i oblicz skalę tego podobieństwa.

Rozwiązanie

Aby wykazać, że trójkąt KLM jest podobny do trójkąta ABC wystarczy wykazać, że trójkąt KLM jest równoboczny.

Oznaczmy przez a długość boku trójkąta ABC. Wtedy

AD=BE=CF=13a oraz BD=CE=AF=23a.

Stąd i z równości BAC=ABC=ACB=60° wynika, na mocy cechy bkb, że trójkąty ABE, BCFCAD są przystające. Stąd otrzymujemy

AEB=BFC=CDA oraz BAE=CBF=ACD.

To z kolei, wraz z równością AD=BE=CF, oznacza, że trójkąty ADK, BELCFM są przystające (cecha kbk).

Wobec tego AKD=BLE=CMF.

Ponieważ AKD=MKL, BLE=KLMCMF=LMK, gdyż są to pary kątów wierzchołkowych, więc MKL=KLM=LMK.

Zatem trójkąt KLM jest równoboczny.

Obliczmy teraz skalę podobieństwa tego trójkąta do trójkąta ABC. Skala ta jest równa stosunkowi długości boków tych trójkątów. Ponieważ trójkąt KLM jest równoboczny, więc MKL=KLM=LMK=60°.

Trójkąt ADK jest podobny do trójkąta AEB, ponieważ: DAK=BAE (kąt wspólny), AKD=ABC=60° oraz ADC=BEA(cecha kkk).

Zatem AKKD=ABBE=a13a=3, skąd AK=3KD, ale KD=LE, więc AK=3LE.

Trójkąty ALFACE są podobne, gdyż mają wspólny kąt przy wierzchołku A oraz ALF=ACE=60°.

Zatem ALLF=ACCE=a23a=32, skąd LF=23AL, ale LF=KE, więc KE=23AL.

Zatem KL+LE=23AK+KL. Stąd 13KL+LE=23AK, czyli 13KL+LE=23·3LE, więc 13KL=LE, ale LE=13AK, wobec tego KL=AK=3LE.

Zatem KL=37AE.

Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABE otrzymujemy

AE2=AB2+BE2-2·AB·BE·cos60°=

=a2+13a2-2a·13a·12=79a2

Stąd AE=a73.

Wobec tego KL=37·a73=a77.

Zatem skala podobieństwa trójkąta KLM do trójkąta ABC jest równa KLAB=a77a=77.

Przykład 4

Trójkąt ABC jest prostokątny. Punkt D jest spodkiem wysokości CD opuszczonej z wierzchołka kąta prostego tego trójkąta.

RTVkBdq8hcEs6

Udowodnij, że obwody trójkątów ACD, CBDABC spełniają równość

LACD2+LCBD2=LABC2.

Dowód

Trójkąty ACD, CBDABC są podobne, co wykazaliśmy w przykładzie 1. Pole trójkąta ABC jest równe sumie pól trójkątów ACD, CBD, czyli

PABC=PACD+PCBD.

Stąd, dzieląc obie strony tej równości przez PABC, otrzymujemy

1=PACDPABC+PCBDPABC.

Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa tych figur, a skala podobieństwa figur podobnych jest równa stosunkowi obwodów tych figur, więc powyższą równość możemy zapisać w postaci

1=LACDLABC2+LCBDLABC2, czyli 1=LACD2LABC2+LCBD2LABC2.

Stąd, mnożąc obie strony otrzymanej równości przez LABC2, otrzymujemy

LABC2=LACD2+LCBD2.

To kończy dowód.

Słownik

spodek wysokości trójkąta
spodek wysokości trójkąta

punkt wspólny wysokości i prostej, na którą ta wysokość została opuszczona