Przeczytaj
W pierwszym koszu znajdują się trzy kule żółte i dwie czarne. W drugiej urnie znajdują się dwie kule żółte i znajduje się osiem kul czarnych. Rzucamy kostką do gry. Jeśli wypadnie pięć oczek – losujemy kulę z pierwszego kosza. W przeciwnym razie losujemy kulę z drugiego kosza. Obliczymy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej.
Sporządzamy graficzny model sytuacji opisanej w zadaniu.
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na tym, że wylosowano kulę czarną,
– zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli z pierwszego koszyka.
Obliczymy prawdopodobieństwo za pomocą drzewa.
Skorzystamy z reguły mnożenia i dodawania dla odpowiednich gałęzi.
Obliczenia możemy zapisać symbolicznie:
Zapis ten doprowadza nas do wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.
Nim sformułujemy formalnie ten wzór, przedstawimy najpierw pojęcie układu zupełnego zdarzeń.
Niech będzie dowolnym zbiorem zdarzeń elementarnych. Mówimy, że zdarzenia , , , tworzą zupełny układ zdarzeń wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:
, gdy ,
,
, gdy oraz i .
Sformułujemy teraz wzór na prawdopodobieństwo całkowitewzór na prawdopodobieństwo całkowite, który jest bardzo przydatny w rozwiązywaniu wielu problemów probabilistycznych.
Jeżeli zdarzenia , , , tworzą zupełny układ zdarzeń, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia wyraża się wzorem:
W każdej z czterech szuflad znajduje się dziesięć krawatów. W pierwszej są trzy krawaty gładkie i siedem w paski, w drugiej znajduje się tyle samo krawatów gładkich co w paski. W trzeciej szufladzie jest siedem krawatów gładkich i trzy w paski, w czwartej są tylko krawaty w paski. Wybieramy w sposób losowy szufladę, a następnie w sposób losowy wyciągamy z tej szuflady krawat. Obliczymy prawdopodobieństwo wylosowania krawatu gładkiego, jeżeli wybór każdej z szuflad jest jednakowo prawdopodobny.
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na tym, że wylosujemy gładki krawat,
, , , – zdarzenie polegające na tym, że krawat losujemy odpowiednio z , , lub szuflady.
Zauważmy, że prawdopodobieństwo każdego ze zdarzeń , , , jest dodatnie,
i zdarzenia , , , parami się wykluczają.
Wynika z tego, że zdarzenia te tworzą zupełny układ zdarzeń.
Możemy skorzystać więc ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo wylosowania krawatu gładkiego jest równe .
Adek zawsze kupuje tylko cukierki czekoladowe lub miodowe. Na biurku Adka stała torebka z dwoma cukierkami. Adek wrzucił do niej cukierek miodowy. Anka zauważyła torebkę i poczęstowała się jednym cukierkiem. Obliczymy prawdopodobieństwo, że Anka wyciągnęła z torebki cukierek miodowy.
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na tym, że Anka wyciągnęła z torebki cukierek miodowy.
Nie wiemy jakie cukierki znajdowały się początkowo w torebce. Zakładamy jednak, że w grę wchodzą tylko cukierki czekoladowe i miodowe (bo tylko takie kupuje Adek).
Zatem musimy rozważyć trzy przypadki.
I przypadek:
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na tym, że Ada wyciągnęła cukierek z torebki, w której początkowo były dwa cukierki miodowe.
Wtedy:
II przypadek:
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na tym, że Ada wyciągnęła cukierek z torebki, w której początkowo były dwa cukierki czekoladowe.
Wtedy:
III przypadek:
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na tym, że Ada wyciągnęła cukierek z torebki, w której początkowo był jeden cukierek czekoladowy i jeden miodowy.
Wtedy:
Zauważmy, że prawdopodobieństwo każdego ze zdarzeń , , jest dodatnie,
i zdarzenia , , są zdarzeniami parami wykluczającymi się.
Wynika z tego, że zdarzenia te tworzą zupełny układ zdarzeń.
Możemy skorzystać więc ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo tego, że Anka wyciągnęła z torebki cukierek miodowy jest równe .
Do sklepu codziennie dostarczane są rano pączki z marmoladą i karmelem z trzech cukierni , , . Procentowy udział pączków z poszczególnych cukierni oraz udział pączków z karmelem przedstawia tabela.
Cukiernia | Cukiernia | Cukiernia | |
---|---|---|---|
Udział procentowy | |||
Pączki z karmelem |
Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany pączek z porannej dostawy będzie z karmelem.
Korzystamy bezpośrednio ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Potrzebne dane odczytujemy z tabeli.
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo wyboru pączka z karmelem jest równe .
Z talii liczącej karty losujemy dwa razy bez zwracania po jednej karcie. Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że druga wylosowana karta nie jest damą.
Karta wylosowana za pierwszym razem może być damą lub nie, ale wylosowana za drugim razem musi być inną kartą niż dama.
Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Potrzebne dane odczytujemy z rysunku.
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo tego, że druga wylosowana karta nie jest damą jest równe .
Słownik
jeżeli zdarzenia , , , tworzą zupełny układ zdarzeń, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia wyraża się wzorem: