Przeczytaj

Ważne!

Pamiętasz?

Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą – jest to równanie, które można sprowadzić do postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ , gdzie $a$ , $b$ i $c$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz $a \neq 0$ .

Postać $a x^{2} + b x + c = 0$ , gdy $a \neq 0$ nazywamy postacią ogólną równania kwadratowego.

Równania, w których współczynniki trójmianu kwadratowego $b$ lub $c$ są równe $0$ , nazywamy równaniami kwadratowymi niezupełnymi.

Jeżeli $b = 0$ i $c = 0$ to równanie kwadratowe $a x^{2} = 0$ ma tylko jedno rozwiązanie $x = 0$ .

Przykład 1

Rozwiążemy równanie kwadratowe niezupełne $3 x^{2} - 27 = 0$ .

Przeniesiemy najpierw liczbę na drugą stronę równania, pamiętając o zmianie znaku na przeciwny.

$3 x^{2} = 27$

Podzielimy obie strony równania przez $3$ .

$x^{2} = 9$

Pierwiastkujemy obie strony równania.

$\sqrt{x^{2}} = 3$

Otrzymaliśmy równanie z wartością bezwzględną.

$|x| = 3$

Czyli $x = - 3$ lub $x = 3$ .

Rozwiązaniem równania są liczby $x \in \{- 3, 3\}$ .

W rozwiązaniu kolejnego przykładu skorzystamy z następującego twierdzenia.

Iloczyn dwóch liczb jest równy zero, jeżeli przynajmniej jedna z tych liczb jest równa zero.

Twierdzenie: Iloczyn dwóch liczb jest równy zero, jeżeli przynajmniej jedna z tych liczb jest równa zero.

Dla dowolnych liczb $a, b \in ℝ$ , $a \cdot b = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = 0$ lub $b = 0$ .

Przykład 2

Rozwiążemy równanie kwadratowe niezupełnerównania kwadratowe niezupełnerównanie kwadratowe niezupełne $2 x^{2} - 9 = 0$ .

Skorzystamy najpierw ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń.

$(\sqrt{2} x - 3) (\sqrt{2} x + 3) = 0$

Zgodnie z twierdzeniem $(\sqrt{2} x - 3) = 0$ lub $(\sqrt{2} x + 3) = 0$

$\sqrt{2} x = 3$ lub $\sqrt{2} x = - 3$

$x = \frac{3}{\sqrt{2}}$ lub $x = - \frac{3}{\sqrt{2}}$

Po usunięciu niewymierności z mianownika każdego ułamka otrzymujemy:

$x = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ lub $x = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

Przykład 3

Rozwiążemy równanie kwadratowe niezupełne $- x^{2} - 4 = 0$ .

$x^{2} = - 4$

Otrzymaliśmy sprzeczność, ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest zawsze liczbą nieujemną.

Zatem równanie nie posiada rozwiązania.

Przykład 4

Określimy liczbę rozwiązań równania $a x^{2} + c = 0$ , jeżeli wiadomo, że $a > 0$ i $c > 0$ .

Współczynniki $a$ i $c$ są liczbami dodatnimi, zatem po przeniesieniu liczby $c$ na drugą stronę równania prawa strona będzie liczbą ujemną.

$a x^{2} = - c$

Ponieważ kwadrat dowolnej liczby pomnożony przez liczbę dodatnią jest zawsze nieujemny, to lewa strona równania jest liczbą nieujemną, prawa zaś liczbą ujemną. Otrzymaliśmy sprzeczność. Równanie $a x^{2} + c = 0$ dla $a > 0$ i $c > 0$ jest równaniem sprzecznym.

Przykład 5

Rozwiążemy równanie ${(\sqrt{5} x - 2)}^{2} = 16$ .

${(\sqrt{5} x - 2)}^{2} = 16$

$\sqrt{{(\sqrt{5} x - 2)}^{2}} = \sqrt{16}$

Wiemy, że $\sqrt{x^{2}} = |x|$ .

$|\sqrt{5} x - 2| = 4$

Korzystając z własności wartości bezwzględnej otrzymujemy:

$\sqrt{5} x - 2 = 4$ lub $\sqrt{5} x - 2 = - 4$

$\sqrt{5} x = 6$ lub $\sqrt{5} x = - 2$

$x = \frac{6 \sqrt{5}}{5}$ lub $x = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$x \in \{- \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{6 \sqrt{5}}{5}\}$

Przykład 6

Rozwiążemy równanie $|x^{2} - 4| = 8$ .

$|x^{2} - 4| = 8$

$x^{2} - 4 = 8$ lub $x^{2} - 4 = - 8$

$x^{2} = 12$ lub $x^{2} = - 4$

$x = 2 \sqrt{3}$ lub $x = - 2 \sqrt{3}$ lub $x \in \emptyset$

Czyli $x \in \{- 2 \sqrt{3}, 2 \sqrt{3}\}$ .

Słownik

równania kwadratowe niezupełne

równania, w których współczynniki trójmianu kwadratowego $b$ lub $c$ są równe $0$

Wprowadzenie

Infografika

Słownik