Warto przeczytać

Kepler, dzięki wieloletnim obserwacjom gromadzonym przez lata przez swojego nauczyciela, Tychona Brahego, miał ogromną bazę danych umożliwiającą analizę ruchów planet w Układzie Słonecznym. Ponadto Kepler miał doskonałe wykształcenie matematyczne. Dzięki temu sformułował trzy prawa ruchu planet wokół Słońca. Pierwsze z nich opisuje orbity planet wokół Słońca i brzmi następująco:

I prawo Keplera:

Każda planeta Układu Słonecznego porusza się wokół Słońca po orbicie w kształcie elipsy, w której w jednym z ognisk jest Słońce.

Podstawową zależnością dla elips jest związek pomiędzy długością wielkiej półosi elipsy a jej mimośrodem (ekscentrycznością):

gdzie $e$ to mimośród, $a$ – wielka półoś, $c$ – odległość pomiędzy ogniskiem a środkiem elipsy.

RDYkH8MtAEC9a

Rys. 1. Czarno‑biały rysunek przedstawia eliptyczną orbitę planety, krążącej wokół Słońca. Pokazano orbitę planety w postaci poziomej elipsy. Lewe ognisko elipsy opisano wielką literą F z indeksem dolnym jeden, a prawe ognisko elipsy opisano wielką literą F z indeksem dolnym dwa. Ogniska elipsy zaznaczono czarnymi punktami. W prawym ognisku elipsy pokazano Słońce w postaci małego okręgu. Planeta, krążąca po eliptycznej orbicie wokół gwiazdy, znajduje się w lewej i dolnej części orbity. Pomiędzy Słońcem a planetą poprowadzono odcinek opisany jako promień wodzący. Przez środek elipsy, prawe ognisko oraz punkty skrajne prawy i lewy, poprowadzono pionowe przerywane linie. Od skrajnego dolnego punktu elipsy poprowadzono przerywaną poziomą linię w lewo. Kolejną poziomą przerywaną linię poprowadzono przez ognisko elipsy. Wielką półoś elipsy oznaczono małą literą a i zaznaczono nad orbitą w postaci poziomego odcinka z grotami na obu końcach pomiędzy przerywanymi i pionowymi liniami przechodzącymi przez środek elipsy i skrajny, lewy punkt. Małą półoś elipsy oznaczono małą literą b i zaznaczono w postaci pionowego odcinka zakończonego grotami strzałek na obu końcach, pomiędzy poziomymi przerywanymi liniami przechodzącymi przez środek elipsy i skrajny, dolny punkt. Odległość pomiędzy środkiem elipsy i prawym jej ogniskiem opisano małą literą c i zaznaczono nad elipsą w postaci poziomej strzałki zakończonej grotami na obu końcach, pomiędzy przerywanymi i pionowymi liniami przechodzącymi przez środek elipsy i jej prawe ognisko. Odległość aphelium, mała litera r z indeksem dolnym mała litera a, czyli punktu na orbicie najbardziej oddalonego od Słońca zaznaczono w postaci poziomego odcinka zakończonego grotami strzałek na obu końcach, pomiędzy przerywanymi pionowymi liniami przechodzącymi przez skrajny lewy punkt orbity i ognisko wielka litera F z indeksem dolnym dwa. Odległość peryhelium, mała litera r z indeksem dolnym mała litera p, czyli odległość pomiędzy Słońcem a punktem na orbicie najmniej oddalonym od gwiazdy, zaznaczono w postaci poziomego odcinka z grotami strzałek na obu końcach, pomiędzy prawym ogniskiem elipsy i skrajnym prawym punktem.

Drugim wynikiem obserwacji  Tychona Brahego i matematycznych wyliczeń Keplera było sformułowanie zasady dotyczącej sposobu poruszania się planet. Dzięki wielu obserwacjom udokumentowanym przez Tychona Brahego, Kepler mógł ocenić nie tylko kształt orbity, ale zależności pomiędzy prędkościami planet w różnych punktach elipsy. W ten sposób sformułował drugie prawo.

II prawo Keplera:

W równych odstępach czasu promień wodzący planety, poprowadzony od Słońca, zakreśla równe pola.

Z tak sformułowanego prawa wynika, że prędkość w peryhelium jest największa, a w aphelium najmniejsza, a zależność pomiędzy nimi to:

Następnie, gdy Kepler znał już dokładną  charakterystykę orbit oraz prędkości, mógł porównać zachowanie się planet w naszym Układzie Słonecznym. W ten sposób powstało trzecie prawo.

III prawo Keplera:

Stosunek kwadratu okresu obiegu planety wokół Słońca do sześcianu wielkiej półosi jej orbity (czyli średniej odległości od Słońca) jest stały dla wszystkich planet w Układzie Słonecznym.

Natomiast we współczesnej, bardziej ogólnej wersji, III prawo Keplera wyprowadzone z prawa powszechnego ciążenia przyjmuje postać:

gdzie $M_{S}$ to masa Słońca, $m$ – masa planety, $G$ – stała grawitacji.

W uogólnieniu tym możemy przyjąć, że masa planety jest znikomo mała w porównaniu z masą Słońca, więc wyrażenie po prawej stronie powyższej równości jest wartością stałą w danym układzie – to właśnie zauważył Kepler. Gdy analizujemy inny układ planetarny po prostu podstawiamy masę gwiazdy centralnej za masę Słońca.

Przeanalizujmy jeden ze znanych układów planetarnych. Za przykład weźmy niewielki układ planetarny o nazwie Kepler‑444. Nazwa układu pochodzi od kosmicznego teleskopu Kepler, który badał ten układ planetarny. Jest to bardzo stary układ planetarny, ponieważ jego wiek szacuje się na około 11,2 miliarda lat (Układ Słoneczny ma zaledwie 4,6 mld lat). Zawiera on 5 planet skalistych o bardzo ciasnych orbitach, krążących wokół gwiazdy znajdującej się w odległości około 36 pcParsek (pc)pc od Ziemi. Gwiazda ta jest wielkości mniej więcej ¾ naszego Słońca, ale prawie 3 krotnie od niego starsza.

Wykorzystując prawa Keplera obliczmy:

1. odległość gwiazdy centralnej od środka orbity planety Kepler‑444c, czyli drugiej planety w tym układzie,

2. odległości tej planety od jej gwiazdy centralnej – apocentrum i perycentrum, a dzięki temu również stosunek największej do najmniejszej prędkości w jej ruchu orbitalnym,

3. masę gwiazdy centralnej.

Wszystkie te wielkości wyznaczymy używając zależności wynikających z trzech praw Keplera.

Mając daną wielką półoś $a$ oraz mimośród $e$, z I prawa Keplera wyznaczamy szukaną wartość $c$, która jest odległością środka elipsy od ognisk $c = ae$. Należy pamiętać, że 1 au = 149 597 870,7 km. W zależności od tego w jakich jednostkach chcemy wyrazić szukane odległości, musimy je odpowiednio zamienić. Mimośród (ekscentryczność) jest wielkością bezwymiarową.

$c$ = 0,04881 au · 0,31 = 0,0151311 au = 0,0151311 · 149597870,7 km = 2263580,34 km.

Mając taką informacje wyznaczymy również odległości charakterystyczne orbity, czyli odległość do apocentrum i perycentrum, ponieważ

Dla planety Kepler‑444c dostajemy zatem wartości:

$r_{a}$ = 0,04881 au + 0,0151311 au = 0,0639411 au = 9565452,41 km

$r_{p}$ = 0,04881 au – 0,0151311 au = 0,0336789 au = 5038291,73 km

Różnica tych wielkości to prawie 4 miliony kilometrów. Nawet nie znając mimośrodu, już na tej podstawie możemy stwierdzić, że jest to ekscentryczna orbita (biorąc pod uwagę odległość nie przekraczającą 10 milionów km).

Następnie sprawdźmy, jaki jest stosunek prędkości planety na orbicie w apocentrum i perycentrum. Do tych obliczeń niezbędne jest II prawo Keplera.

Największą prędkość planeta osiąga w perycentrum, a największą w apocentrum. Z drugiego prawa Keplera wiemy, że $\frac{v_{a}}{v_{p}}=\frac{1-e}{1+e}$. Korzystając z tabeli wyliczamy stosunek prędkości $\frac{v_{a}}{v_{p}}=\frac{1-0,31}{1+0,31}=0,5267$. Oznacza to, że prędkość w perycentrum jest ponad dwukrotnie większa niż w apocentrum.

Wykorzystując uogólnione III prawo Keplera, obliczmy masę gwiazdy centralnej.

Dostajemy zależność masy gwiazdy od wielkiej półosi orbity i czasu obiegu: $M=\frac{a^{3}}{T^{2}}\frac{4\pi^{2}}{G}$, masę planety przybliżyliśmy do zera, stała grawitacji $G=6,6743\cdot10^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2}$. Przy takich obliczeniach musimy pamiętać o ujednoliceniu jednostek, w których wyrażamy dane.

Najprościej jest wyrazić okres obiegu planety oraz wielką półoś w jednostkach SI:

$T$ = 3,6 dnia = 311040 s,

$a$ = 0,04178 au = 6 263 662 846,209 m

Masy gwiazd centralnych układów planetarnych zazwyczaj wyraża się w masach Słońca. Skoro masa Słońca wynosi 1,989 · 10Indeks górny 30³⁰ kg, to masa gwiazdy układu Kepler‑444 wynosi 0,755 mas Słońca.

W ten sposób wyznaczyliśmy zależności w układzie Kepler‑444. W pierwszym kroku otrzymaliśmy informację, że odległość gwiazdy od środka elipsy wynosi ponad dwa miliony kilometrów. W drugim kroku policzyliśmy najmniejszą i największą odległość drugiej planety tego układu od gwiazdy centralnej. Różnica ta to prawie 4,5 mln kilometrów, przy mimośrodzie $e$ = 0,31 – jest to bardzo ekscentryczna orbita. To też potwierdza się w kolejnym obliczeniu, z którego wynika, że największa prędkość orbity jest dwukrotnie większa od jej najmniejszej prędkości. W trzecim kroku, dzięki znajomości parametrów orbit planet i III prawu Keplera, wyznaczyliśmy masę gwiazdy centralnej, wynoszącą 1,5 · 10Indeks górny 30³⁰ kg (dla porównania Słońce ma 1,99 · 10Indeks górny 30³⁰ kg).

Prawa Keplera można wykorzystywać do wielu obliczeń dotyczących ruchu planet w układach planetarnych, ale także do ruchu komet oraz księżyców lub sztucznych satelitów wokół planet.

Słowniczek