Dzielnik liczby naturalnej
Definicja: Dzielnik liczby naturalnej

Dzielnikiem liczby naturalnej m nazywamy taką liczbę naturalną dodatnią d, dla której istnieje dokładnie jedna liczba naturalna k taka, że m=d·k.

Dzielnik całkowity liczby całkowitej
Definicja: Dzielnik całkowity liczby całkowitej

Dzielnikiem całkowitym liczbydzielnik całkowity liczby mDzielnikiem całkowitym liczby całkowitej m nazywamy taką niezerową liczbę całkowitą d, dla której istnieje dokładnie jedna liczba całkowita k taka, że m=dk.

Zatem ilekroć będzie mowa o dzielniku, będziemy rozważać dzielnik będący liczbą naturalną.

Przykład 1

3|6, bo 6=23

-3|12, bo 12=-3-4

-3|-18, bo -18=-36

3|-21, bo -21=3-7

Dzielniki liczbydzielnik liczby mDzielniki liczby naturalnej m mniejsze od liczby m nazywamy dzielnikami właściwymi liczby m.

Przykład 2

Dzielniki liczby 6 to 1, 2, 36. Dzielniki właściwe liczby 6 to 1, 2, 3.

Dzielniki liczby 28 to 1, 2, 4, 7, 14, 28. Dzielniki właściwe liczby 28 to 1, 2, 4, 7, 14.

Ważne!

Zauważ, że suma dzielników właściwych liczb 628 jest równa tym liczbom (1+2+3=6 oraz 1+2+4+7+14=28). Takie liczby nazywamy doskonałymi.

Przykład 3

Suma dzielników właściwych liczby 10 to 1+2+5=8.

Suma dzielników właściwych liczby 12 to 1+2+3+4+6=16.

Liczbę naturalną nazywamy deficytową, jeśli suma jej dzielników właściwych jest mniejsza niż ona sama.

Liczba 10 jest liczbą deficytową, bo wszystkie jej dzielniki właściwe to 1, 25, zaś ich suma to 1+2+5=8<10.

Liczbę naturalną nazywamy nadmiarową, jeśli suma jej dzielników właściwych jest większa niż ona sama.

Liczba 12 jest liczbą nadmiarową, bo wszystkie jej dzielniki właściwe to 1, 2, 3, 46, zaś ich suma to 1+2+3+4+6=16>12.

Liczby zaprzyjaźnione to para różnych liczb naturalnych, takich że suma dzielników właściwych każdej z tych liczb równa się drugiej liczbie.

Przykład 4

Rozważmy liczby 220284.

Dzielniki właściwe liczby 220 to: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, zaś ich suma to 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284.

Dzielniki właściwe liczby 284 to: 1, 2, 4, 71, 142, zaś ich suma to 1+2+4+71+142=220.

Oznacza to, że liczby 220284 to liczby zaprzyjaźnione.

Liczba pierwsza to liczba naturalna, która posiada dokładnie dwa różne dzielniki: 1 i samą siebie.

Przykład 5

Liczba 7 jest liczbą pierwszą, ponieważ dzieli się tylko przez 1 i samą siebie.

Liczba 6 nie jest liczbą pierwszą, ponieważ dzieli się przez liczby 1, 2, 3, 6.

Liczbę naturalną, która posiada więcej niż dwa dzielniki nazywamy liczbą złożoną.

Ważne!

Zauważ, że liczby 01 nie są ani liczbami pierwszymi, ani liczbami złożonymi.

Przy szukaniu dzielników liczby przydają się cechy podzielnościcecha podzielnościcechy podzielności. Przypomnimy teraz kilka z nich.

RIMafevplVmz0
Ilustracja przedstawia kule bilardowe z numerami: dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, osiem, dziewięć dwanaście, dwadzieścia pięć. Opisane są: 1. Kula z numerem dwa: Liczba n dzieli się przez dwa dokładnie wtedy, gdy cyfra znajdująca się w rzędzie jedności liczby n dzieli się przez dwa (czyli w rzędzie jedności jest jedna z cyfr: zero, dwa, cztery sześć, osiem., 2. Kula z numerem trzy: Liczba n dzieli się przez trzy dokładnie wtedy, gdy suma cyfr liczby n dzieli się przez trzy., 3. Kula z numerem cztery: Liczba n dzieli się przez cztery dokładnie wtedy, gdy liczba utworzona z cyfr znajdujących się w rzędzie dziesiątek i rzędzie jedności (w tej samej kolejności) liczby n dzieli się przez cztery (czyli w rzędzie dziesiątek i w rzędzie jedności znajdują się cyfry: zero, cztery, osiem, dwanaście, szesnaście, dziewięćdziesiąt dwa, dziewięćdziesiąt sześć., 4. Kula z numerem pięć: Liczba n dzieli się przez pięć dokładnie wtedy, gdy cyfra znajdująca się w rzędzie jedności liczby n dzieli się przez pięć (czyli w rzędzie jedności jest jedna z cyfr: zero, pięć)., 5. Kula z numerem sześć: Liczba n dzieli się przez sześć dokładnie wtedy, gdy liczba n dzieli się przez dwa i przez trzy., 6. Kula z numerem osiem: Liczba n dzieli się przez osiem dokładnie wtedy, gdy liczba utworzona z cyfr znajdujących się w rzędzie setek, w rzędzie dziesiątek i w rzędzie jedności (w tej samej kolejności) liczby n dzieli się przez osiem (czyli w rzędzie setek, w rzędzie dziesiątek i w rzędzie jedności znajdują się cyfry: osiem, szesnaście, dwadzieścia cztery, trzydzieści dwa, dziewięćset osiemdziesiąt cztery, dziewięćset dziewięćdziesiąt dwa., 7. Kula z numerem dziewięć: Liczba n dzieli się przez dziewięć dokładnie wtedy, gdy suma cyfr liczby n dzieli się przez dziewięć., 8. Kula z numerem dwanaście: Liczba n dzieli się przez dwanaście dokładnie wtedy, gdy liczba n dzieli się przez cztery i przez trzy., 9. Kula z numerem dwadzieścia pięć: Liczba n dzieli się przez dwadzieścia pięć dokładnie wtedy, gdy liczba utworzona z cyfr znajdujących się w rzędzie dziesiątek i rzędzie jedności (w tej samej kolejności) liczby n dzieli się przez dwadzieścia pięć (czyli w rzędzie dziesiątek i w rzędzie jedności znajdują się cyfry: zero, dwadzieścia pięć, pięćdziesiąt, siedemdziesiąt pięć).

Zwróćmy przy okazji uwagę na wyrażenia typu “cyfra znajdująca się w rzędzie jedności dzieli się przez 2” oraz “suma cyfr”. Cyfr nie można dodawać ani dzielić, ponieważ są to znaki graficzne do zapisywania liczb. Powyższe wyrażenia funkcjonują jako związki frazeologiczne i są skrótami odpowiednio od “liczba jednocyfrowa reprezentowana przez cyfrę znajdującą się w rzędzie jedności” oraz “suma liczb jednocyfrowych reprezentowanych przez cyfry danej liczby”.

Chociaż cechy podzielności łatwo się stosuje, to ich formalne dowody nie zawsze są proste i często wykorzystują pojęcia takie jak kongruencje (czyli przystawanie liczb modulo), które wykraczają poza program szkoły średniej.

Przykład 6

Wyznaczymy cyfrę oznaczoną literą x tak, aby liczba 12345678x była podzielna przez 6.

Aby liczba była podzielna przez 6 wystarcza, aby była podzielna przez 2 i przez 3.

Z podzielności przez 2 wynika, że x jest jedną spośród liczb: 0, 2, 4, 6, 8.

Suma cyfr rozważanej liczby to 1+2+3+4+5+6+7+8+x=36+x. Będzie ona podzielna przez 3, gdy x będzie równe 0, 3, 6 lub 9. Zatem jedynymi liczbami spełniającymi oba warunki są 06.

Stąd x=0 lub x=6.

Wielokrotnością liczbywielokrotność liczby mWielokrotnością liczby naturalnej m nazywamy każdy jej iloczyn przez dodatnią liczbę naturalną k. Zatem kolejnymi wielokrotnościami liczby m są: m, 2m, 3m, 4m, ..., k·m, ...

Ważne!

Zauważmy, że liczba naturalna ma nieskończenie wiele wielokrotności.

Całkowitą wielokrotnością liczbycałkowita wielokrotność liczby xCałkowitą wielokrotnością liczby rzeczywistej x nazywamy każdy jej iloczyn przez liczbę całkowitą k.

Przykład 7

Wielokrotnościami liczby 3 są liczby 3, 6, 9, 12, ..., 3k, ..., gdzie k jest dodatnią liczbą naturalną.

Przykład 8

Rozwiązując równania trygonometryczne spotkasz się z całkowitymi wielokrotnościami liczby π: ..., -3π, -2π, -π, 0, π, 2π, 3π, ...

Słownik

cecha podzielności
cecha podzielności

sposób (metoda, algorytm) umożliwiający sprawdzenie, czy jedna liczba naturalna d dzieli inną liczbę naturalną m bez wykonywania dzielenia; zwykle sprowadza się do sprawdzenia, czy inna liczba – mniejsza od liczby m – dzieli się przez d, co jest równoważne podzielności m przez d

dzielnik liczby m
dzielnik liczby m

liczba naturalna dodatnia d jest dzielnikiem liczby naturalnej m, gdy istnieje liczba naturalna k, dla której m=dk

dzielnik całkowity liczby m
dzielnik całkowity liczby m

niezerowa liczba całkowita d jest dzielnikiem całkowitym liczby całkowitej m, gdy istnieje liczba całkowita k, dla której m=dk

wielokrotność liczby m
wielokrotność liczby m

liczba naturalna w jest wielokrotnością liczby naturalnej m, gdy istnieje dodatnia liczba naturalna k, dla której w=mk

całkowita wielokrotność liczby x
całkowita wielokrotność liczby x

liczba rzeczywista w jest całkowitą wielokrotnością liczby x, gdy istnieje liczba całkowita k, dla której w=mk