Prosta jest asymptotą danej krzywej, jeśli dla punktu oddalającego się nieograniczenie wzdłuż krzywej odległość tego punktu od prostej dąży do zera. Asymptota funkcji to asymptota krzywej stanowiącej wykres funkcji.

Poniższy rysunek przedstawia wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{2}{x}$.

Rf5Adhtg602Wa

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji, który stanowi hiperbola. Jej gałęzie przebiegają przez punkty $\left(-2;-1\right)$, $\left(-1;-2\right)$ oraz $\left(1;2\right)$, $\left(2;1\right)$. Linią przerywaną zaznaczono asymptotę pionową opisaną wzorem $x=0$ oraz poziomą $y=0$.

Wyznaczymy równania asymptot.

Rozwiązanie

Wykres funkcji posiada dwie asymptoty: pionową – o równaniu $x=0$ (zielona przerywana linia) oraz poziomą – o równaniu $y=0$ (pomarańczowa przerywana linia).

Wykres każdej funkcji postaci $f\left(x\right)=\frac{a}{x}$, dla $a\ne 0$ i $x\ne 0$ posiada dwie asymptoty – pionową o równaniu $x=0$, oraz poziomą o równaniu $y=0$.

Zauważmy, że funkcja nie jest określona dla $x=0$ i właśnie prosta o równaniu $x=0$ jest asymptotą pionową. Podobnie funkcja nie przyjmuje wartości $y=0$ i prosta $y=0$ jest asymptotą poziomą.

Wyznaczymy równania asymptot wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{4}{x-3}-2$.

Rozwiązanie

Wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{4}{x-3}-2$ powstaje w wyniku translacjitranslacjatranslacji wykresu funkcji $g\left(x\right)=\frac{4}{x}$ o wektor $\left[3,-2\right]$. Przesunięciu ulegają również asymptoty.

Równanie asymptoty pionowej: $x=3$.

Równanie asymptoty poziomej: $y=-2$.

Poniższy rysunek przedstawia opisaną sytuację.

R1ezxHv0QgXd9

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do ośmiu oraz z pionową osią $Y$ od minus siedmiu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji, który stanowi hiperbola. Jej gałęzie przebiegają przez punkty $\left(-1;-3\right)$, $\left(2;-6\right)$ oraz $\left(4;2\right)$, $\left(7;-1\right)$. Linią przerywaną zaznaczono asymptotę pionową opisaną wzorem $x=3$ oraz poziomą $y=-2$.

Asymptotami wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{a}{x-p}+q$ są proste o równaniach:

• $x=p$ – asymptota pionowa,

• $y=q$ – asymptota pozioma.

Zauważmy, że funkcja nie jest określona dla $x=p$ i właśnie prosta o równaniu $x=p$ jest asymptotą pionową. Podobnie funkcja nie przyjmuje wartości $y=q$ i prosta $y=q$ jest asymptotą poziomą.

Wyznaczymy równania asymptot wykresu funkcji na podstawie jej wykresu.

RkEXwuMZE8vzX

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do ośmiu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji, który stanowi hiperbola. Jej gałęzie przebiegają przez punkty $\left(-3;3\right)$, $\left(-2;2\right)$ oraz $\left(0;6\right)$, $\left(1;5\right)$. Linią przerywaną zaznaczono asymptotę pionową opisaną wzorem $x=-1$ oraz poziomą $y=4$.

Rozwiązanie

Równanie asymptoty pionowej: $x=-1$.

Równanie asymptoty poziomej: $y=4$.

Wyznaczymy równania asymptot wykresu funkcji $f\left(x\right)=-\frac{1}{x+5}+3$.

Rozwiązanie

Zgodnie z regułą 2:

równanie asymptoty pionowej: $x=-5$,

równanie asymptoty poziomej: $y=3$.

Wyznaczymy równania asymptot wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{-4x-5}{x+2}$.

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{-4x-5}{x+2}$ należy wzór funkcji przekształcić do postaci kanonicznej:

$f\left(x\right)=\frac{-4x-5}{x+2}=\frac{-4\left(x+2\right)+3}{x+2}=-4+\frac{3}{x+2}$.

Równanie asymptoty pionowej: $x=-2$.

Równanie asymptoty poziomej: $y=-4$.

przesunięcie równoległe