Wprowadźmy definicję przekroju bryły.

W materiale omówimy przykłady przekrojów graniastosłupa prawidłowego czworokątnegograniastosłup prawidłowy czworokątnygraniastosłupa prawidłowego czworokątnego.

Przypomnijmy definicję oraz wzory dotyczące graniastosłupa prawidłowego czworokątnego.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Definicja: Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Graniastosłup, którego podstawą jest kwadrat, a ściany boczne są prostokątami, nazywamy graniastosłupem prawidłowym czworokątnym.

RdNrgjJpjP1Cy

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie kwadratu. Krawędzie podstawy oznaczono literą a, natomiast krawędź boczną literą h.

Przyjmując oznaczenia, jak na rysunku, pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wyraża się wzorem:

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z rysunku obliczamy ze wzoru:

Wybrane przekroje graniastosłupa prawidłowego czworokątnego.

1. Przekroje graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, będące trójkątami:

• przekrój płaszczyzną zawierającą przekątną podstawy oraz przekątną ściany bocznej

  R1Erj2paI2tZg

  Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie kwadratu. Krawędzie podstawy oznaczono literą a, natomiast krawędź boczną literą h. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyznę stanowi trójkąt ograniczony dwoma przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka oraz przekątną podstawy.

  

  Przekrojem jest trójkąt równoramienny, którego ramiona są przekątnymi sąsiednich ścian bocznych, a podstawą przekątna podstawy graniastosłupa.

  R1Z7EnH7bhIFj

  Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny. Długość podstawy wynosi $a\sqrt{2}$, natomiast długość ramion jest równa $\sqrt{a^2+h^2}$.

  

• przekrój płaszczyzną przechodzącą przez przez przekątną podstawy i środek krawędzi bocznej

  RwBgyzyDexfgk

  Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono h. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyznę stanowi trójkąt równoramienny. Podstawa trójkąta jest przekątną podstawy graniastosłupa, natomiast ramiona są przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych a i jedna druga h.

  

  Przekrojem jest trójkąt równoramienny o podstawie będącej przekątną podstawy graniastosłupa i ramionach, będących przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych $a$ i $\frac{1}{2}h$.

  RrMppHbJH18Wm

  Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny. Długość podstawy wynosi $a\sqrt{2}$, natomiast długość ramion jest równa $\sqrt{a^2+{\left(\frac{1}{2}h\right)}^2}$.

  

2. Przekroje graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, będące czworokątami:

• przekrój płaszczyzną równoległą do podstaw

  RcaBWiBFuR6Dt

  Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono h. Na krawędziach bocznych zaznaczono punkty na tych samych wysokościach, które następnie połączono. W ten sposób powstał przekrój graniastosłupa, którego płaszczyznę stanowi kwadrat.

  

  Przekrojem jest kwadrat o boku równym długości krawędzi podstawy graniastosłupa.

  R19ZfTvi9tNpU

  Na ilustracji przedstawiono kwadrat, którego długość boku oznaczono literą a.

  

• przekrój płaszczyzną zawierającą przekątne podstaw

  R1aRVOmdfdVPy

  Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono h. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyzna jest prostokątem. Boki prostokąta stanowią przekątne podstaw graniastosłupa, oraz przeciwległe krawędzie boczne bryły.

  

  Przekrojem jest prostokąt o bokach długości przekątnej podstawy graniastosłupa i krawędzi bocznej.

  RXJlG0ojM0y27

  Na ilustracji przedstawiono prostokąt o bokach długości $a\sqrt{2}$ i h.

  

• przekrój płaszczyzną przechodzącą przez przez przekątne przeciwległych ścian bocznych.

  R1PnVaWXydYFz

  Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono h. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyzna jest prostokątem. Boki prostokąta stanowią krawędzie podstaw graniastosłupa, oraz przekątne przeciwległych ścian bocznych graniastosłupa.

  

Przekrojem jest prostokąt, ponieważ jego dwa boki są równoległymi krawędziami podstawy graniastosłupa, a kolejne dwa równoległymi przekątnymi ścian bocznych oraz kąt pomiędzy krawędzią podstawy graniastosłupa, a przekątną ściany bocznej jest prosty.

R5jjrmgE3dC8b

Na ilustracji przedstawiono kwadrat o bokach długości a oraz $\sqrt{a^2+h^2}$.

• przekrój płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środki dwóch krawędzi bocznych.

  RtqhfoyVaunPn

  Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono h. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyznę stanowi prostokąt, którego jedna para boków jest równa długości krawędzi podstawy, natomiast drugą parę boków stanowią odcinki, których długość jest równa długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i jedna druga h.

  

  Przekrojem jest prostokąt, którego jedna para boków jest równa długości krawędzi podstawy graniastosłupa, a drugą parę boków stanowią odcinki, których długość jest równa długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $a$ i $\frac{1}{2}h$.

  R1Dr2uNcOlzdO

  Na ilustracji przedstawiono prostokąt o bokach długości a oraz $\sqrt{a^2+{\left(\frac{1}{2}h\right)}^2}$.

  

3. Przekroje graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, będące pięciokątami:

• przekrój płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i przecinającą trzy krawędzie boczne.

  RCee5XrB4MrfD

  Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono h. Zaznaczono punkty w połowie długości dwóch sąsiednich krawędzi podstawy, punkty na tych samych wysokościach dwóch przeciwległych krawędzi bocznych oraz punkt na jednej krawędzi bocznej. Punkty połączono i powstał wielokąt stanowiący płaszczyznę przekroju graniastosłupa.

  

  Przekrojem jest pięciokąt o jednym z boków długości $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

RNta57waPxQEe

Na ilustracji przedstawiono pięciokąt o bokach długości $\frac{a\sqrt{2}}{2}$, x, x, z oraz z.

4. Przekroje graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, będące sześciokątami:

• przekrój płaszczyzną przechodzącą przez dwie krawędzie dolnej i górnej podstawy oraz dwie krawędzie boczne.

  RKlQNLKnOq7d3

  Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono h. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyznę stanowi sześciokąt. Boki sześciokąta stanowią odcinki łączące dwa punkty znajdujące się na sąsiednich krawędziach dolnej oraz górnej podstawy, oraz odcinki łączące punkty na podstawach, z punktami na dwóch przeciwległych krawędziach bocznych.

  

  Przekrojem jest sześciokąt.

  R7OPPXQOdE49n

  Na ilustracji przedstawiono sześciokąt.

  

Przykład 1

Obliczymy długości boków przekroju graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z rysunku, wiedząc o tym, że płaszczyzna przekroju przechodzi przez środki krawędzi bocznych.

R96zJZdhTV5JO

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Długości krawędzi podstawy wynoszą osiem, natomiast długość krawędzi bocznej wynosi $3\sqrt{10}$. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyznę stanowi prostokąt, którego jedna para boków jest równa długości krawędzi podstawy, natomiast drugą parę boków stanowią odcinki, których długość jest równa długości przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 8 i $\frac{3\sqrt{10}}{2}$.

Rozwiązanie:

Przekrój przedstawiony na rysunku jest prostokątem o jednym boku, będącym krawędzią podstawy graniastosłupa. Do wyznaczenia długości drugiego boku korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

R3os3s1b0IkSK

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości osiem i $\frac{3\sqrt{10}}{2}$. Długość przeciwprostokątnej oznaczono literą x.

Zatem:

${\left(\frac{3}{2}\sqrt{10}\right)}^2+8^2=x^2$

$x^2=\frac{90}{4}+64=\frac{346}{4}$

$x=\sqrt{\frac{346}{4}}=\frac{\sqrt{346}}{2}$

Wobec tego przedstawiony przekrój graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest prostokątem o bokach $8$ i $\frac{\sqrt{346}}{2}$.

Przykład 2

Wyznaczymy długości boków przekroju graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z rysunku, jeżeli wiadomo, że płaszczyzna przekroju jest nachylona do płaszczyzny podstawy graniastosłupa pod kątem $60°$, a pole podstawy graniastosłupa wynosi $18$.

R1CkLZVBUaJv4

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono h. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyzna jest prostokątem. Boki prostokąta stanowią krawędzie podstaw graniastosłupa, oraz przekątne przeciwległych ścian bocznych graniastosłupa. Zaznaczono kąt nachylenia 60 stopni przekątnej ściany bocznej do krawędzi a.

Rozwiązanie:

Narysowany przekrój graniastosłupa jest prostokątem o bokach równych długości krawędzi podstawy oraz przekątnej ściany bocznej graniastosłupa.

Ponieważ pole podstawy graniastosłupa jest równe $18$, zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$a^2=18$

$a=3\sqrt{2}$

Do wyznaczenia długości przekątnej ściany bocznej graniastosłupa rozpatrujemy trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku.

Rz85urZuvCBVx

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i h, oraz przeciwprostokątnej długości x. Kąt naprzeciw przyprostokątnej h wynosi 60 stopni.

Wobec tego $x=2·a=2·3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$.

Zatem omawiany przekrój jest prostokątem o bokach $3\sqrt{2}$ i $6\sqrt{2}$.

Przykład 3

Obliczymy długość wysokości w trójkącie, będącym przekrojem graniastosłupa prawidłowego czworokątnego przedstawionego na rysunku, jeżeli wiadomo, że krawędź podstawy ma długość $4\sqrt{2}$, a pole powierzchni całkowitej graniastosłupa wynosi $64+160\sqrt{2}$.

RgSHkRVMsLJ0q

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Krawędzie podstawy mają długość $4\sqrt{2}$ , natomiast krawędź boczną oznaczono literą h. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyznę stanowi trójkąt równoramienny ograniczony dwoma przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka oraz przekątną podstawy.

Rozwiązanie:

Zaznaczmy na rysunku szukaną wysokość przekroju graniastosłupa prawidłowego czworokątnego i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

Rdju54b3enjJr

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Krawędzie podstawy mają długość $4\sqrt{2}$ , natomiast krawędź boczną oznaczono literą h. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyznę stanowi trójkąt równoramienny ograniczony dwoma przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka oraz przekątną podstawy. Zielonym kolorem zaznaczono wysokość trójkąta, oznaczoną literą y, natomiast długości ramion oznaczono literą x.

Zauważmy, że narysowany przekrój jest trójkątem równoramiennym.

Niech $a$ będzie długością krawędzi podstawy graniastosłupa.

Wobec tego $a=4\sqrt{2}$.

Ponieważ pole powierzchni całkowitej graniastosłupa z rysunku jest równe $64+160\sqrt{2}$, zatem do wyznaczenia wartości $h$ rozwiązujemy równanie:

$64+160\sqrt{2}=2·{\left(4\sqrt{2}\right)}^2+4·4\sqrt{2}·h$

$64+160\sqrt{2}=64+16\sqrt{2}h$

$160\sqrt{2}=16\sqrt{2}h$

$h=\frac{160\sqrt{2}}{16\sqrt{2}}=10$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, do wyznaczenia długości $x$, będącej przekątną ściany bocznej graniastosłupa, rozwiązujemy równanie:

$x^2=a^2+h^2$

$x^2={\left(4\sqrt{2}\right)}^2+{10}^2$

$x^2=32+100=132$

$x=\sqrt{132}=2\sqrt{33}$

Do wyznaczenia wysokości $y$ rozpatrujemy trójkąt prostokątny, jak na poniższym rysunku i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

R1DJc0kPAnCeE

Na ilustracji przedstawiono trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ oraz y. Długość przeciwprostokątnej oznaczono literą x.

Zatem:

${\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+y^2=x^2$

${\left(\frac{4\sqrt{2}·\sqrt{2}}{2}\right)}^2+y^2={\left(2\sqrt{33}\right)}^2$

$16+y^2=132$

$y^2=116$

$y=2\sqrt{29}$

Wysokość omawianego przekroju ma długość $2\sqrt{29}$.

Przykład 4

Krawędź podstawy graniastosłupa ma długość $2\sqrt{3}$, a krawędź boczna $6$. Obliczymy obwód i pole powierzchni przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i środek krawędzi bocznej.

Rozwiązanie:

Narysujmy graniastosłup prawidłowy czworokątny, omawiany przekrój i wprowadźmy oznaczenia, jak na poniższym rysunku.

Ro1cgno99I7x1

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono h. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyznę stanowi trójkąt równoramienny. Podstawa trójkąta jest przekątną podstawy graniastosłupa, natomiast ramiona są przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych a i jedna druga h. Długości ramion trójkąta oznaczono literą x, natomiast długość podstawy literą d.

Z treści zadania wiadomo, że $a=2\sqrt{3}$ oraz $h=6$.

Otrzymany przekrój jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości $d$ i ramionach długości $x$.

Zauważmy, że $d=a\sqrt{2}=2\sqrt{3}·\sqrt{2}=2\sqrt{6}$.

Do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

$x^2=a^2+{\left(\frac{1}{2}h\right)}^2$

$x^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2+3^2$

$x=\sqrt{21}$

Zatem obwód trójkąta wynosi:

$L=2\sqrt{6}+2\sqrt{21}=2·\left(\sqrt{6}+\sqrt{21}\right)$.

Do wyznaczenia wartości pola powierzchni przekroju użyjemy wzoru Herona, za pomocą którego oblicza się pole trójkąta, gdy dane są długości jego trzech boków: $a, b, c$.

$P=\sqrt{p·\left(p-a\right)·\left(p-b\right)·\left(p-c\right)}$, gdzie $p=\frac{a+b+c}{2}$

Wobec tego:

$p=\frac{2·\left(\sqrt{6}+\sqrt{21}\right)}{2}=\sqrt{6}+\sqrt{21}$

$P=\sqrt{\left(\sqrt{6}+\sqrt{21}\right)·\left(\sqrt{6}+\sqrt{21}-2\sqrt{6}\right)·\left(\sqrt{6}+\sqrt{21}-\sqrt{21}\right)·\left(\sqrt{6}+\sqrt{21}-\sqrt{21}\right)}$

$=\sqrt{\left(\sqrt{6}+\sqrt{21}\right)·\left(\sqrt{21}-\sqrt{6}\right)·\sqrt{6}·\sqrt{6}}=\sqrt{15·6}=3\sqrt{10}$

Przykład 5

Graniastosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną zawierającą przekątne jego podstaw. Obliczymy sinus kąta nachylenia przekątnej tego przekroju do płaszczyzny podstawy graniastosłupa, jeżeli wiadomo, że długości przekątnej podstawy, krawędzi bocznej oraz przekątnej graniastosłupa są w podanej kolejności kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $2$.

Rozwiązanie:

Narysujmy graniastosłup prawidłowy czworokątny, odpowiedni przekrój oraz kąt nachylenia i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RkaDBIQ3tSkgW

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono h. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyzna jest prostokątem. Boki prostokąta stanowią przekątne podstaw graniastosłupa, oraz przeciwległe krawędzie boczne bryły. Zielonym kolorem zaznaczono przekątną prostokąta, a zarazem przekątną graniastosłupa i oznaczono ją literą d. Długość boku stanowiącego przekątną podstawy oznaczono literą x. Powstał trójkąt prostokątny o przyprostokątnych x, h oraz przeciwprostokątnej d. Kąt między przekątną d, a płaszczyzną podstawy oznaczono alfa.

Ponieważ długości przekątnej podstawy, krawędzi bocznej oraz przekątnej graniastosłupa są w podanej kolejności kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $2$, to:

$h=x+2$

$d=x+4$

Wobec tego, korzystając z twierdzenia Pitagorasa do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$x^2+{\left(x+2\right)}^2={\left(x+4\right)}^2$

$x^2+x^2+4x+4=x^2+8x+16$

$x^2-4x-12=0$

$∆={\left(-4\right)}^2-4·\left(-12\right)=64$

$x_1=\frac{4-8}{2}=-2<0$

$x_2=\frac{4+8}{2}=6>0$

Zatem $h=8$ oraz $d=10$.

Jeżeli zastosujemy definicję funkcji trygonometrycznej sinus, to:

$\sin \alpha =\frac{h}{d}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$.

Przykład 6

Graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości $a$ i wysokości trzy razy dłuższej od krawędzi podstawy przecięto płaszczyzną, przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do podstawy pod kątem$\alpha \in \left(0°,90°\right.⟩$. Określimy, jaką figurą jest przekrój graniastołupa prawidłowego czworokątnego, w zależności od kąta nachylenia płaszczyzny przekroju.

Rozwiązanie:

Mamy następujące przypadki:

I. jeżeli $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\left|BD\right|}{\left|SB\right|}\le \frac{3a}{{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}}=3\sqrt{2}$, to $\alpha \in \left(0°,77°\right.⟩$, przekrojem graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest trójkąt równoramienny.

RTB8lfrJaf07x

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Trzy kolejne wierzchołki podstawy oznaczono A, B, C. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono 3a. Na krawędzi bocznej wychodzącej z wierzchołka B, zaznaczono punkt D. Miejsce przecięcia przekątnych podstawy oznaczono punktem S. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyzna jest trójkątem równoramiennym $ACD$. Z wierzchołka D opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie S. $\angle DSB$ oznaczono alfa.

II. jeżeli $\mathrm{tg}\alpha >3\sqrt{2}$, to $\alpha \in \left(77°,90°\right.⟩$, przekrojem graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest trapez równoramienny.

R145YSlYE9dGG

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie kwadratu. Trzy kolejne wierzchołki podstawy oznaczono A, B, C. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono 3a. Na krawędzi podstawy górnej, równoległej do $AB$ zaznaczono punkt E oraz na krawędzi równoległej bo $BC$ zaznaczono punkt F. Miejsce przecięcia przekątnych podstawy graniastosłupa oznaczono punktem S. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyzna jest trapezem równoramiennym $ACEF$. Na górnej podstawie $EF$ trapezu zaznaczono punkt D. Z punktu D opuszczono wysokość trapezu, której spodek leży w punkcie S. Z punktu D opuszczono także wysokość graniastosłupa, której spodek leży w punkcie H, na przekątnej $SB$. $\angle DSH$ oznaczono alfa.

III. jeżeli $\alpha =90°$, to przekrojem graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest prostokąt.

R1dkdlpWSzZsm

Na ilustracji przedstawiono graniastosłup o podstawie kwadratu. Trzy kolejne wierzchołki podstawy oznaczono A, B, C. Długości krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono 3a. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek E, natomiast nad wierzchołkiem C wierzchołek F. Zaznaczono przekrój graniastosłupa, którego płaszczyzna jest prostokątem $ACEF$ Miejsce przecięcia przekątnych podstawy graniastosłupa oznaczono punktem S. Na odcinku łączącym wierzchołki E i F, zaznaczono punkt D, który linią przerywaną połączono z punktem S. $\angle DSB$ oznaczono alfa.

Słownik