Wyznaczymy wzór funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej z wykorzystaniem postaci ogólnej, jeżeli jej wykresem jest parabola przedstawiona na poniższym rysunku.

R1G6lGTKARxGA

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus jeden do siedmiu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o ramionach skierowanych w górę. Wykres funkcji znajduje się w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych i nie posiada miejsc zerowych. Na wykresie funkcji zaznaczono dwa charakterystyczne punkty o współrzędnych $\left(-1;4\right)$, oraz $\left(1;2\right)$.

Dana jest postać ogólna tej funkcji $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$.

Z powyższego wykresu odczytujemy, że punkt przecięcia wykresu funkcji z osią rzędnych   to  punkt o współrzędnych $W=\left(0,1\right)$.

Zatem po podstawieniu do postaci ogólnej otrzymujemy, że $c=1$.

Wzór  funkcji zapisujemy w postaci: $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+1$.

Znajdujemy współrzędne dwóch punktów, które należą do wykresu funkcji. Są to np. $\left(1,2\right)$ i $\left(-1,4\right)$.

Podstawiamy współrzędne tych punktów do wzoru $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+1$.

Otrzymujemy: $f\left(1\right)=a\cdot 1^2+b\cdot 1+1=2$

$f\left(-1\right)=a\cdot {\left(-1\right)}^2+b\cdot \left(-1\right)+1=4$.

Tworzymy układ równań: $\left\{\begin{array}{l}a+b+1=2\\ a-b+1=4\end{array}\right.$.

Przekształcamy układ do postaci $\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\ a-b=3\end{array}\right.$.

Po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy: $a=2$ i $b=-1$.

Zatem szukany wzór funkcji jest postaci $f\left(x\right)=2x^2-x+1$.

Wyznaczymy wzór funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej z wykorzystaniem postaci iloczynowej, jeżeli jej wykresem jest parabola przedstawiona na poniższym rysunku.

R64LerPENMjXA

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią Y od minus dwóch do siedmiu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o ramionach skierowanych w dół. Wykres przecina oś X w punkcie $x=-3$, oraz $x=2$. Wierzchołek paraboli znajduje się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Na wykresie funkcji zaznaczono charakterystyczny punkt o współrzędnych $\left(-1;4\right)$.

Z wykresu możemy odczytać miejsca zerowe tej funkcji. Są nimi liczby $\left(-3\right)$ oraz $2$.

Ponieważ funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe, więc możemy wykorzystać jej postać iloczynową $f\left(x\right)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$.

Po podstawieniu do postaci iloczynowej miejsc zerowych otrzymujemy, że $f\left(x\right)=a\left(x+3\right)\left(x-2\right)$

Z wykresu odczytujemy współrzędne punktu, który należy do paraboli, która jest wykresem tej funkcji: $\left(1,4\right)$.

Podstawiamy współrzędne odczytanego punktu do postaci iloczynowej i otrzymujemy równanie $4=a\left(1+3\right)\left(1-2\right)$, co po rozwiązaniu daje $a=-1$.

Wzór szukanej funkcji jest postaci $f\left(x\right)=-\left(x+3\right)\left(x-2\right)$.

Postać ogólna tej funkcji wyraża się wzorem $f\left(x\right)=-x^2-x+6$.

Wyznaczymy wzór funkcji kwadratowejfunkcja kwadratowafunkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, jeżeli jej wykresem jest parabola przedstawiona na poniższym rysunku.

RUdDZpHHUDOqY

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do siedmiu, oraz z pionową osią Y od minus czterech do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o ramionach skierowanych w dół. Wykres znajduje się w pierwszej, oraz czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych $\left(3;4\right)$. Na wykresie funkcji zaznaczono charakterystyczny punkt o współrzędnych $\left(1;-4\right)$.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej wyraża się wzorem $f\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2+q$.

Odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji: $W=\left(3,4\right)$.

Otrzymujemy, że $p=3$ oraz $q=4$.

Po podstawieniu do postaci kanonicznej otrzymujemy, że $f\left(x\right)=a{\left(x-3\right)}^2+4$.

Do wykresu podanej funkcji należy punkt $\left(1,-4\right)$.

Podstawiamy współrzędne tego punktu do wzoru funkcji i mamy, że $-4=a·{\left(1-3\right)}^2+4$.

Zatem $a=-2$.

Wzór szukanej funkcji w postaci kanonicznej jest postaci $f\left(x\right)=-2{\left(x-3\right)}^2+4$.

Wiadomo, że do wykresu funkcji kwadratowej należą punkty $\left(2,4\right)$ oraz $\left(6,4\right)$. Wykres tej funkcji przecina oś $Y$ w punkcie $\left(0,22\right)$. Wyznaczymy wzór tej funkcji w postaci ogólnej.

Ponieważ dla $x=2$ oraz dla  $x=6$ funkcja kwadratowa przyjmuje te same wartości, zatem wartość pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji wynosi $p=\frac{2+6}{2}=4$.

Do rozwiązania wykorzystamy postać ogólną $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$.

Jeśli $p=4$, to $\frac{-b}{2a}=4$, czyli $b=-8a$.

Ponieważ punkt przecięcia z osią $Y$ wynosi $\left(0,22\right)$, zatem wartość współczynnika $c=22$.

Funkcja przyjmuje postać $f\left(x\right)=a{x}^2-8ax+22$.

Po podstawieniu współrzędnych punktu $\left(2,4\right)$ otrzymujemy równanie $4=a·2^2-8a·2+22$.

Z równania mamy, że $a=\frac{3}{2}$, więc $b=-12$.

Otrzymujemy, że funkcja wyraża się wzorem $f\left(x\right)=\frac{3}{2}{x}^2-12x+22$.

Wyznaczymy wzór funkcji kwadratowej, wiedząc że do jej wykresu należą punkty $A\left(-2,0\right)$, $B\left(1,3\right)$, $C\left(2,-4\right)$.

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór funkcji kwadratowej i podstawiamy do niego współrzędne poszczególnych punktów.

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

$A\left(-2,0\right)$ stąd $0=a·{\left(-2\right)}^2+b·\left(-2\right)+c$

$B\left(1,3\right)$ stąd $3=a·1^2+b·1+c$

$C\left(2,-4\right)$ stąd $-4=a·2^2+b·2+c$

Otrzymujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:

$\left\{\begin{array}{l}4a-2b+c=0\\ a+b+c=3\\ 4a+2b+c=-4\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}c=2b-4a\\ a+b+2b-4a=3\\ 4a+2b+2b-4a=-4\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}c=2b-4a\\ -3a+3b=3\\ 4b=-4\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}c=2b-4a\\ -3a+3b=3\\ b=-1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}c=2b-4a\\ -3a+3·\left(-1\right)=3\\ b=-1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}c=2b-4a\\ -3a=6\\ b=-1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}c=2b-4a\\ a=-2\\ b=-1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}c=2·\left(-1\right)-4·\left(-2\right)\\ a=-2\\ b=-1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}c=6\\ a=-2\\ b=-1\end{array}\right.$

Wzór funkcji kwadratowej ma postać $f\left(x\right)=-2x^2-x+6$.

funkcja, której wzór  można zapisać w postaci $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$, gdzie $a$, $b$, $c\in \mathrm{ℝ}$ oraz $a\ne 0$