Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Zbiór wartości funkcji liczbowej, to zbiór wszystkich tych  liczb, które można otrzymać w wyniku obliczenia wartości funkcji dla wszystkich jej argumentów.

Wiemy, że funkcję możemy opisać różnymi sposobami. Przeanalizujemy sposoby wyznaczania zbioru wartości funkcji, gdy jest ona opisana za pomocą grafu, tabelki, zbioru par uporządkowanych, wzoru, wykresu lub jest opisana słownie.

Przykład 1

Wyznaczmy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji liczbowejzbiór wartości funkcji f opisanej za pomocą grafu.

RJnihrlYokkWf

Rozwiązanie

Z budowy grafu wiemy, że w lewej części, oznaczonej literą X, umieszczone są argumenty funkcji. Zbiór argumentów nazywamy dziedziną funkcji.

Prawa część grafu, oznaczona literą Y, zawiera elementy  przeciwdziedziny. To właśnie wśród elementów przeciwdziedziny szukamy zbioru wartości funkcji.

W przypadku rozpatrywanej funkcji zbiór wartości funkcji stanowią liczby -5, -3, 1, 2, 4, 7, 9.

Możemy zapisać to symbolicznie:

ZWf=-5, -3, 1, 2, 4, 7, 9

Analizując graf możemy zauważyć, że zbiór wartości funkcji jest podzbiorem przeciwdziedziny funkcji f.

Przykład 2

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji f opisanej za pomocą tabelki.

x

-2

-115

-1

0

14

0,89

1

2

fx

0

255

1

2

1,5

1,7

3

2

Rozwiązanie

Tabelka zbudowana jest w ten sposób, że w pierwszym wierszu umieszczamy argumenty funkcji f, czyli elementy dziedziny funkcji, a w drugim wierszu odpowiadające podanym argumentom wartości funkcji.

Zbiór wartości funkcji f tworzą liczby umieszczone w drugim wierszu, co możemy zapisać symbolicznie:

ZWf=0; 255; 1; 2; 1,5; 1,7; 3; 2

Przykład 3

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji f opisanej za pomocą zbioru par uporządkowanych

-4, 1516, -3, 78, -2, 34, -1, 12, 0, 0, 1, -1, 2, -3, 3, -7

Rozwiązanie

Uporządkowaną parę liczb tworzymy w sposób następujący:

  • liczba zapisana z lewej strony, zwana również poprzednikiem, jest liczbą należącą do dziedziny funkcji;

  • liczba zapisana po prawej stronie, zwana również następnikiem, to odpowiadająca poprzednikowi wartość funkcji.

Aby wyznaczyć zbiór wartości funkcji należy „zebrać” wszystkie następniki z każdej pary.

Możemy zapisać to symbolicznie:

ZWf=-7, -3, -1, 0, 12, 34,  78, 1516

Przykład 4

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji f przedstawionej za pomocą opisu słownego.

Funkcja f każdej liczbie naturalnej x, takiej, że x10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez 6.

Rozwiązanie

Funkcja f określona jest na zbiorze 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Obliczymy jej wartości dla wszystkich elementów.

f10=4

f11=5

f12=0

f13=1

f14=2

f15=3

f16=4

f17=5

f18=0

f19=1

f20=2

Zatem zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji f, to

ZWf=0, 1, 2, 3, 4, 5

Przykład 5

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji f opisanej za pomocą wzoru. Rozpatrzymy dwa przypadki:

a) fx=x+4x2+5, gdy x-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,

b) fx=2x+1, gdy x.

Rozwiązanie

Ad. a)

Funkcja f określona jest na zbiorze -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Obliczymy jej wartości dla poszczególnych argumentów.

f-3=-3+49+5=114

f-2=-2+44+5=29

f-1=-1+41+5=12

f0=0+40+5=45

f1=1+41+5=56

f2=2+44+5=23

f3=3+49+5=714=12

Zatem zbiór wartości funkcji f możemy zapisać symbolicznie:

ZWf=114, 29, 12, 23, 45, 56

Ad. b)

Funkcja fx=2x+1 jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x.

Wynika stąd, że jej zbiorem wartości będą wszystkie liczby rzeczywiste będące wartościami  liczbowymi wyrażenia 2x+1.

Z własności potęgowania wiemy, że gdy podstawa potęgi jest liczbą dodatnią, to wartość potęgi też jest liczbą dodatnią.

Do dziedziny funkcji należą wszystkie  liczby rzeczywiste,  zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.

Symbolicznie możemy zapisać:

ZWf=+

Przykład 6

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji f opisanej za pomocą wykresu.

ROUtVz4BAmObf

Rozwiązanie

W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcji opisanej za pomocą wykresu postępujemy w sposób następujący:

  • wyobraźmy sobie prostą równoległą do osi X.

  • przesuwajmy ją od najniżej położonego punktu na wykresie funkcji.

  • gdy prosta przetnie się z wykresem funkcji, rzutujemy ten punkt na oś Y.

  • postępujemy tak do wyczerpania się miejsc przecięcia wykresu i prostej.

  • zaznaczony na osi Y przedział jest zbiorem wartości funkcji.

Korzystając z powyższego sposobu, wyznaczymy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji podanej w treści przykładu.

Wydaje się, że najniżej położonym punktem jest punkt, którego rzędna jest równa -2.

Punkt ten jednak  nie należy do wykresu funkcji.

W związku z tym zbiór wartości funkcji będzie lewostronnie otwarty.

Najwyżej położonym punktem należącym do wykresu funkcji jest punkt, którego rzędna jest równa 3.

Oznacza to, że zbiorem wartości funkcji f jest przedział -2, 3.

Możemy zapisać to symbolicznie:

ZWf=-2, 3

Pokazaliśmy sposoby wyznaczania zbioru wartości funkcji w zależności od sposobu opisu funkcji.

Ważne!
  • Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą grafu, zbiór wartości funkcji odczytujemy  najczęściej  z prawej części grafu.

  • Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą tabelki, to zbiór wartości funkcji zapisany jest w jej drugim wierszu.

  • Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych, to do zbioru wartości funkcji należą te elementy z każdej pary, które są zapisane na drugim miejscu.

  • Jeżeli funkcja przedstawiona jest za pomocą opisu słownego, a jej dziedzina jest zbiorem kilkuelementowym, to wykorzystując warunki podane w treści opisu, obliczamy wartości funkcji dla podanych argumentów.

  • Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą wzoru i ma dziedzinę skończoną, to zbiór wartości funkcji wyznaczamy obliczając wartości funkcji dla każdego z argumentów.

  • Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą wzoru i jej dziedzina jest zbiorem nieskończonym, to zbiór wartości tak określonej funkcji wyznaczamy korzystając z własności działań zapisanych we wzorze.

  • Jeżeli funkcja opisana jest za pomocą wykresu, to zbiór wartości tej funkcji wyznaczamy rzutując prostopadle punkty należące do wykresu na oś Y.

Słownik

zbiór wartości funkcji liczbowej
zbiór wartości funkcji liczbowej

to zbiór wszystkich tych liczb, które są wartościami funkcji   dla wszystkich jej argumentów