Wyznaczmy zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji liczbowejzbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą grafu.

RJnihrlYokkWf

Ilustracja przedstawia graf składający się z dwóch pionowo ustawionych obok siebie elips, które reprezentują zbiory liczbowe: po lewej zbiór $X$, po prawej zbiór $Y$. Oba zbiory sa niepuste. Zbiór $X$ zawiera następujące elementy: $-7;-5-1;0;2;5;7$. Zbiór $Y$ zawiera dwie grupy elementów. Jedna z grup otoczona jest dodatkową elipsą (jest to podzbiór zbioru $Y$). Elementy te są następujące: $-5;-3;1;2;4;7;9$. Poza tym podzbiorem zbiór $Y$ zawiera jeszcze trzy elementy: $0; 3; 5$. Każdy element ze zbioru $X$ ma przyporządkowany dokładnie jeden element z podzbioru zbioru $Y$ i odwrotnie: każdy element z podzbioru zbioru $Y$ ma przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru $X$. Elementy ze zbioru $Y$, które nie należą do wyszczególnionego podzbioru, czyli $0; 3; 5$ nie są przyporządkowane do żadnego elementu z $X$. Przyporządkowanie reprezentują strzałki biegnące od elementów ze zbioru $X$ do elementów ze zbioru $Y$. Efektem przyporządkowania są następujące pary liczb: $\left(-7;-5\right), \left(-5;-3\right), \left(-1;1\right), \left(0;2\right), \left(2;4\right), \left(5;7\right), \left(7;9\right)$. Graf podpisany jest poniżej następująco: $f: X\to Y$.

Rozwiązanie

Z budowy grafu wiemy, że w lewej części, oznaczonej literą $X$, umieszczone są argumenty funkcji. Zbiór argumentów nazywamy dziedziną funkcji.

Prawa część grafu, oznaczona literą $Y$, zawiera elementy  przeciwdziedziny. To właśnie wśród elementów przeciwdziedziny szukamy zbioru wartości funkcji.

W przypadku rozpatrywanej funkcji zbiór wartości funkcji stanowią liczby $\left\{-5, -3, 1, 2, 4, 7, 9\right\}$.

Możemy zapisać to symbolicznie:

$Z{W}_f=\left\{-5, -3, 1, 2, 4, 7, 9\right\}$

Analizując graf możemy zauważyć, że zbiór wartości funkcji jest podzbiorem przeciwdziedziny funkcji $f$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą tabelki.

Rozwiązanie

Tabelka zbudowana jest w ten sposób, że w pierwszym wierszu umieszczamy argumenty funkcji $f$, czyli elementy dziedziny funkcji, a w drugim wierszu odpowiadające podanym argumentom wartości funkcji.

Zbiór wartości funkcji $f$ tworzą liczby umieszczone w drugim wierszu, co możemy zapisać symbolicznie:

$Z{W}_f=\left\{0; \frac{2\sqrt{5}}{5}; 1; \sqrt{2}; 1,5; 1,7; \sqrt{3}; 2\right\}$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą zbioru par uporządkowanych.

$\left\{\left(-4, \frac{15}{16}\right), \left(-3, \frac{7}{8}\right), \left(-2, \frac{3}{4}\right), \left(-1, \frac{1}{2}\right), \left(0, 0\right), \left(1, -1\right), \left(2, -3\right), \left(3, -7\right)\right\}$

Rozwiązanie

Uporządkowaną parę liczb tworzymy w sposób następujący:

• liczba zapisana z lewej strony, zwana również poprzednikiem, jest liczbą należącą do dziedziny funkcji;

• liczba zapisana po prawej stronie, zwana również następnikiem, to odpowiadająca poprzednikowi wartość funkcji.

Aby wyznaczyć zbiór wartości funkcji, należy „zebrać” wszystkie następniki z każdej pary.

Możemy zapisać to symbolicznie:

$Z{W}_f=\left\{-7, -3, -1, 0, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{8}, \frac{15}{16}\right\}$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ przedstawionej za pomocą opisu słownego.

Funkcja f każdej liczbie naturalnej $x$, takiej, że $x\in \left\{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\right\}$ przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez $6$.

Rozwiązanie

Funkcja $f$ określona jest na zbiorze $\left\{10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\right\}$.

Obliczymy jej wartości dla wszystkich elementów.

$f\left(10\right)=4$

$f\left(11\right)=5$

$f\left(12\right)=0$

$f\left(13\right)=1$

$f\left(14\right)=2$

$f\left(15\right)=3$

$f\left(16\right)=4$

$f\left(17\right)=5$

$f\left(18\right)=0$

$f\left(19\right)=1$

$f\left(20\right)=2$

Zatem zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji liczbowejzbiór wartości funkcji $f$, to

$Z{W}_f=\left\{0, 1, 2, 3, 4, 5\right\}$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wzoru. Rozpatrzymy dwa przypadki:

a) $f\left(x\right)=\frac{x+4}{x^2+5}$, gdy $x\in \left\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\right\}$,

b) $f\left(x\right)=2^{x+1}$, gdy $x\in \mathrm{ℝ}$.

Rozwiązanie

Ad a)

Funkcja $f$ określona jest na zbiorze $\left\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\right\}$.

Obliczymy jej wartości dla poszczególnych argumentów.

$f\left(-3\right)=\frac{-3+4}{9+5}=\frac{1}{14}$

$f\left(-2\right)=\frac{-2+4}{4+5}=\frac{2}{9}$

$f\left(-1\right)=\frac{-1+4}{1+5}=\frac{1}{2}$

$f\left(0\right)=\frac{0+4}{0+5}=\frac{4}{5}$

$f\left(1\right)=\frac{1+4}{1+5}=\frac{5}{6}$

$f\left(2\right)=\frac{2+4}{4+5}=\frac{2}{3}$

$f\left(3\right)=\frac{3+4}{9+5}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$

Zatem zbiór wartości funkcji $f$ możemy zapisać symbolicznie:

$Z{W}_f=\left\{\frac{1}{14}, \frac{2}{9}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}\right\}$.

Ad b)

Funkcja $f\left(x\right)=2^{x+1}$ jest określona dla każdej liczby rzeczywistej $x$.

Wynika stąd, że jej zbiorem wartości będą wszystkie liczby rzeczywiste będące wartościami  liczbowymi wyrażenia $2^{x+1}$.

Z własności potęgowania wiemy, że gdy podstawa potęgi jest liczbą dodatnią, to wartość potęgi też jest liczbą dodatnią.

Do dziedziny funkcji należą wszystkie  liczby rzeczywiste,  zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.

Symbolicznie możemy zapisać:

$Z{W}_f={ℝ}_{+}$.

Wyznaczymy zbiór wartości funkcji $f$ opisanej za pomocą wykresu.

ROUtVz4BAmObf

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do sześciu oraz pionową osią $Y$ od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowane są trzy ukośne odcinki składające się na wykres funkcji $f$. Funkcja działa na przedziale otwartym od minus pięciu do pięciu. Pierwszy odcinek jest ograniczony z lewej strony niezamalowanym punktem $\left(-5;-1\right)$, ma prawy koniec w zamalowanym punkcie $\left(-2;2\right)$. Drugi odcinek ograniczony jest lewostronnie niezamalowanym punktem $\left(-2;1\right)$, prawy koniec odcinka znajduje się w zamalowanym punkcie $\left(\frac{3}{2};3\right)$. Trzeci odcinek jest ograniczony dwoma niezamalowanymi punktami. Z lewej strony punktem $\left(\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$, z prawej punktem $\left(5;-2\right)$.

Rozwiązanie

W celu wyznaczenia zbioru wartości funkcjizbiór wartości funkcji liczbowejzbioru wartości funkcji opisanej za pomocą wykresu postępujemy w sposób następujący:

• wyobraźmy sobie prostą równoległą do osi $X$.

• przesuwajmy ją od najniżej położonego punktu na wykresie funkcji.

• gdy prosta przetnie się z wykresem funkcji, rzutujemy ten punkt na oś $Y$.

• postępujemy tak do wyczerpania się miejsc przecięcia wykresu i prostej.

• zaznaczony na osi $Y$ przedział jest zbiorem wartości funkcji.

Korzystając z powyższego sposobu, wyznaczymy zbiór wartości funkcji podanej w treści przykładu.

Wydaje się, że najniżej położonym punktem jest punkt, którego rzędna jest równa $\left(-2\right)$.

Punkt ten jednak  nie należy do wykresu funkcji.

W związku z tym zbiór wartości funkcji będzie lewostronnie otwarty.

Najwyżej położonym punktem należącym do wykresu funkcji jest punkt, którego rzędna jest równa $3$.

Oznacza to, że zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left(-2, 3\right.⟩$.

Możemy zapisać to symbolicznie:

$Z{W}_f=\left(-2, 3\right.⟩$.

to zbiór wszystkich tych liczb, które są wartościami funkcji   dla wszystkich jej argumentów