Przeczytaj

Zbiór rozwiązań niektórych nierówności liniowych możemy przedstawić za pomocą przedziału liczbowego nieograniczonego.

Najpierw przypomnimy sobie definicje przedziałów nieograniczonychprzedział nieograniczonyprzedziałów nieograniczonych.

Niech $a$ będzie dowolną liczbą rzeczywistą:

Zbiór liczb $x$ spełniających nierówność $x > a$ nazywamy przedziałem nieograniczonym lewostronnie otwartym. Taki przedział oznaczamy $(a, \infty)$ .
Zbiór liczb $x$ spełniających nierówność $x \geq a$ nazywamy przedziałem nieograniczonym lewostronnie domkniętym. Taki przedział oznaczamy $⟨a, \infty)$ .
Zbiór liczb $x$ spełniających nierówność $x < a$ nazywamy przedziałem nieograniczonym prawostronnie otwartym. Taki przedział oznaczamy $(- \infty, a)$ .
Zbiór liczb $x$ spełniających nierówność $x \leq a$ nazywamy przedziałem nieograniczonym prawostronnie domkniętym. Taki przedział oznaczamy $(- \infty, a⟩$ .

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność $3 \cdot (x - 1) - 2 x > \frac{1}{2} \cdot (x - 3)$ metodą nierówności równoważnych.

Następnie zapiszemy zbiór rozwiązań nierówności w postaci przedziału liczbowego.

3 \cdot (x - 1) - 2 x > \frac{1}{2} \cdot (x - 3)

3 x - 3 - 2 x > \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}

x - 3 > \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}

x - \frac{1}{2} x > - \frac{3}{2} + 3

\frac{1}{2} x > \frac{3}{2} | \cdot 2

x > 3

Na osi liczbowej liczbę $3$ oznaczamy pustym kółeczkiem. Zbiór rozwiązań nierówności składa się z wszystkich liczb, które są większe od $3$ .

R1SJlt8r5gH9R

Ilustracja przedstawia oś x na której oznaczono zbiór od trzy do plus nieskończoności, przy czym punkt trzy jest niezamalowany.

Zbiór rozwiązań nierówności zapisujemy za pomocą przedziału liczbowego lewostronnie otwartego $(3, \infty)$ . Zapis $x \in (3, \infty)$ oznacza, że liczba $x$ należy do tego przedziału, np.: $5 \in (3, \infty)$ .

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność $\frac{1}{2} \cdot {(2 x - 5)}^{2} \leq {(3 - x)}^{2} + (x - 1) (x + 1)$ . Zapiszemy zbiór rozwiązań nierówności w postaci przedziału liczbowego.

\frac{1}{2} \cdot {(2 x - 5)}^{2} \leq {(3 - x)}^{2} + (x - 1) (x + 1)

\frac{1}{2} \cdot (4 x^{2} - 20 x + 25) \leq 9 - 6 x + x^{2} + x^{2} - 1

\frac{1}{2} \cdot (4 x^{2} - 20 x + 25) \leq 8 - 6 x + 2 x^{2} | \cdot 2

4 x^{2} - 20 x + 25 \leq 16 - 12 x + 4 x^{2}

- 20 x + 25 \leq 16 - 12 x

- 20 x + 12 x \leq 16 - 25

- 8 x \leq - 9

x \geq \frac{9}{8}

x \geq 1 \frac{1}{8}

R1Xx8b8Fp6D8V

Ilustracja przedstawia oś x na której oznaczono zbiór od jeden i jedna ósma do plus nieskończoności, punkt jeden i jedna ósma jest zaznaczony zamalowaną kropką.

Na osi liczbowej liczbę $1 \frac{1}{8}$ oznaczamy zamalowanym kółeczkiem. Zbiór rozwiązań nierówności składa się z wszystkich liczb, które są większe lub równe $1 \frac{1}{8}$ .

Zbiór rozwiązań nierówności zapisujemy za pomocą przedziału liczbowego lewostronnie domkniętego $⟨1 \frac{1}{8}, \infty)$ . Zapis $x \in ⟨1 \frac{1}{8}, \infty)$ oznacza, że liczba $x$ należy do tego przedziału, np.: $2 \in ⟨1 \frac{1}{8}, \infty)$ .

Przykład 3

Wiadomo, że rozwiązaniem nierówności $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) - x > 3 + x^{3}$ jest przedział $(- \infty, a⟩$ . Wybierzemy największą liczbę całkowitą $a$ , która spełnia podaną nierówność.

Najpierw rozwiążemy nierówność:

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) - x > 3 + x^{3}$

Zauważmy, że po lewej stronie nierówności występuje wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów.

$x^{3} - 27 - x > 3 + x^{3}$

$- x > 30$

$x < - 30$

Rozwiązaniem nierówności jest przedział nieograniczony prawostronnie otwarty $(- \infty, - 30)$ .

Zatem największą liczbą całkowitą $a$ , która spełnia tą nierówność jest liczba $(- 31)$ .

Przykład 4

Uzasadnimy, że zbiorem rozwiązań nierówności $\sqrt[3]{- 81 x^{6}} + \sqrt[4]{256 x^{8}} \geq 0$ dla dowolnego $x$ jest przedział $(- \infty, \infty)$ .

Rozwiążemy nierówność:

$\sqrt[3]{- 81 x^{6}} + \sqrt[4]{256 x^{8}} \geq 0$

$- 3 x^{2} + 4 x^{2} \geq 0$

$x^{2} \geq 0$

Każda liczba podniesiona do kwadratu jest zawsze liczbą nieujemną.

Zatem rozwiązaniem nierówności jest przedział $(- \infty, \infty)$ .

Słownik

przedział nieograniczony

przedział postaci $(- \infty, a)$ , $(- \infty, a ⟩$ , $(a, \infty)$ , $⟨ a, \infty)$

Wprowadzenie

Infografika

Słownik