Przeczytaj

Dane jest wyrażenie wymierne $\frac{P (x)}{Q (x)}$ , gdzie $P (x)$ i $Q (x)$ są pewnymi wielomianami, $Q (x)$ nie jest wielomianem zerowym. Do dziedziny wyrażeniadziedzina wyrażenia algebraicznegodziedziny wyrażenia należą wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem pierwiastków wielomianu $Q (x)$ .

Jeżeli wielomiany $P (x)$ oraz $Q (x)$ są podzielne przez pewien wielomian niezerowy $W (x)$ , to istnieją wielomiany $P_{1} (x)$ i $Q_{1} (x)$ takie, że $P (x) = P_{1} (x) \cdot W (x)$ oraz $Q (x) = Q_{1} (x) \cdot W (x)$ .

Wtedy ułamek $\frac{P (x)}{Q (x)}$ możemy skrócić przez wielomian $W (x)$ sprowadzając go do postaci $\frac{P_{1} (x)}{Q_{1} (x)}$ .

Wyrażenia $\frac{P (x)}{Q (x)}$ oraz $\frac{P_{1} (x)}{Q_{1} (x)}$ są równe dla wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem pierwiastków wielomianu $Q (x)$ (czyli pierwiastków wielomianów $Q_{1} (x)$ ).

Przykład 1

Skrócimy ułamki, podając potrzebne założenia.

RblMoiuJpoOup

początek ułamka, czterdzieści dwa x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mianownik, osiemnaście x indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Zauważmy, że ułamek można skrócić przez sześć x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego:
początek ułamka, czterdzieści dwa x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mianownik, osiemnaście x indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, przecinek
przy czym x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, .

, początek ułamka, dwadzieścia pięć a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, b indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, mianownik, czterdzieści pięć a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, b, koniec ułamka

Ten ułamek możemy skrócić przez pięć a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, b:
początek ułamka, dwadzieścia pięć a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, b indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, mianownik, czterdzieści pięć a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, b, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, pięć b indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, dziewięć a, koniec ułamka, przecinek
przy czym a, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, b, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, .

, początek ułamka, x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, y indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Po skróceniu przez x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, uzyskamy
początek ułamka, x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, y indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, mianownik, zet indeks górny, dziewiętnaście, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, przecinek
przy czym x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, y, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, zet, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, .

początek ułamka, czterdzieści dwa x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mianownik, osiemnaście x indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Zauważmy, że ułamek można skrócić przez sześć x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego:
początek ułamka, czterdzieści dwa x indeks górny, dziewięć, koniec indeksu górnego, mianownik, osiemnaście x indeks górny, trzynaście, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, siedem, mianownik, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, przecinek
przy czym x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, .

Ten ułamek możemy skrócić przez pięć a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, b:
początek ułamka, dwadzieścia pięć a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, b indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, mianownik, czterdzieści pięć a indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, b, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, pięć b indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, mianownik, dziewięć a, koniec ułamka, przecinek
przy czym a, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, b, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, .

Po skróceniu przez x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, uzyskamy
początek ułamka, x indeks górny, osiem, koniec indeksu górnego, y indeks górny, jedenaście, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, siedem, koniec indeksu górnego, zet indeks górny, dwadzieścia jeden, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, y indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, mianownik, zet indeks górny, dziewiętnaście, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, przecinek
przy czym x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, y, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, zet, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, zero, zamknięcie nawiasu, .

Przykład 2

Skrócimy wyrażenia wymierne, podając potrzebne założenia.

R10DyPt3FDjij

początek ułamka, nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, siedem, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka

Ułamek możemy skrócić przez nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu:
początek ułamka, nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, siedem, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x, minus, cztery, mianownik, x, minus, siedem, koniec ułamka,
przy czym x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, minus, dwa, średnik, siedem, zamknięcie nawiasu.

, początek ułamka, nawias, dwa x, minus, jeden indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, x, minus, dwa indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, nawias, jeden, minus, dwa x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka

Zauważmy, że początek ułamka, nawias, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias, jeden, minus, dwa x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, nawias, dwa x, minus, jeden indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, minus, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.
Ułamek możemy więc skrócić przez nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu:
początek ułamka, nawias, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, minus, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa x, minus, jeden, mianownik, minus, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa x, minus, jeden, mianownik, minus, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, minus, dwa x, mianownik, nawias, dwa, minus, x, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka,

x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu., początek ułamka, nawias, dwa x, plus, sześć, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery x, minus, osiem, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, trzy x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka

Po wyłączeniu wspólnych czynników z nawiasów w liczniku i mianowniku, uzyskamy
początek ułamka, nawias, dwa x, plus, sześć, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery x, minus, osiem, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, trzy x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, trzy nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się
równa się, początek ułamka, dwa nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, szesnaście nawias, x, minus, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, trzy nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, szesnaście nawias, x, minus, dwa indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.
Skracając ułamek przez szesnaście nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mamy
początek ułamka, dwa nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, szesnaście nawias, x, minus, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, trzy nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, szesnaście nawias, x, minus, dwa indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka,
przy założeniu, że x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, minus, trzy, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu.
Dodajmy, że wyrażenie nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu dla żadnej liczby rzeczywistej nie przyjmuje wartości zero.

Ułamek możemy skrócić przez nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu:
początek ułamka, nawias, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, x, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, siedem, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, x, minus, cztery, mianownik, x, minus, siedem, koniec ułamka,
przy czym x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, minus, dwa, średnik, siedem, zamknięcie nawiasu.

Zauważmy, że początek ułamka, nawias, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias, jeden, minus, dwa x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, nawias, dwa x, minus, jeden indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, minus, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.
Ułamek możemy więc skrócić przez nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu:
początek ułamka, nawias, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, mianownik, minus, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias, dwa x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa x, minus, jeden, mianownik, minus, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa x, minus, jeden, mianownik, minus, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, jeden, minus, dwa x, mianownik, nawias, dwa, minus, x, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka,

Po wyłączeniu wspólnych czynników z nawiasów w liczniku i mianowniku, uzyskamy
początek ułamka, nawias, dwa x, plus, sześć, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery x, minus, osiem, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, trzy x, plus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, trzy nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, dwa nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, równa się
równa się, początek ułamka, dwa nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, szesnaście nawias, x, minus, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, trzy nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, szesnaście nawias, x, minus, dwa indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka.
Skracając ułamek przez szesnaście nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mamy
początek ułamka, dwa nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, szesnaście nawias, x, minus, dwa indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, trzy nawias, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, szesnaście nawias, x, minus, dwa indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy nawias, x, minus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka,
przy założeniu, że x, należy do, liczby rzeczywiste, minus, nawias, minus, trzy, średnik, dwa, zamknięcie nawiasu.
Dodajmy, że wyrażenie nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu dla żadnej liczby rzeczywistej nie przyjmuje wartości zero.

Przy skracaniu ułamka warto:

zapisać licznik i mianownik w postaci iloczynowej;
skrócić czynniki powtarzające się zarówwno w liczniku, jak i w mianowniku;
uwzględnić założenia (mianownik nie może przyjmować wartości $0$ ).

Przykład 3

Ustalimy, jakie warunki muszą być spełnione, aby zachodziła równość wyrażeńrówność wyrażeń wymiernychrówność wyrażeń.

RqFmRhqUBcxN1

\frac{x - 5}{x - 5} = 1

Ułamek możemy skrócić przez $(x - 5)$ .
Równość zachodzi, gdy $x - 5 \neq 0$ , czyli dla $x \in ℝ ∖ 5)$ .

\frac{x^{5}}{2 x^{3}} = \frac{x^{2}}{2}

Ułamek po lewej stronie możemy skrócić przez $x^{3}$ .
Równość zachodzi, gdy $2 x^{3} \neq 0$ , czyli dla $x \in ℝ ∖ 0)$ .

\frac{2 x^{2} + 3 x}{5 x^{2} - 6 x} = \frac{2 x + 3}{5 x - 6}

Zauważmy, że w ułamku po lewej stronie możemy wyłączyć $x$ zarówno w liczniku, jak i w mianowniku: $\frac{2 x^{2} + 3 x}{5 x^{2} - 6 x} = \frac{x (2 x + 3)}{x (5 x - 6)}$ .
Następnie ułamek możemy skrócić przez $x$ .
Równość zachodzi, gdy $x (5 x - 6) \neq 0$ , czyli dla $x \in ℝ ∖ 0; \frac{6}{5})$ .

\frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 9} = \frac{x + 3}{x - 3}

Zauważmy, że korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, lewą stronę równania możemy zapisać następująco: $\frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 9} = \frac{{(x + 3)}^{2}}{(x - 3) (x + 3)}$ .
Ułamek możemy zatem skrócić przez $(x + 3)$ .
Równość zachodzi, gdy $(x + 3) (x - 3) \neq 0$ , czyli dla $x \in ℝ ∖ - 3; 3)$ .

Przykład 4

Dane jest wyrażenie wymierne $\frac{x + 2}{x - 3}$ , określone dla $x \in ℝ ∖ \{3\}$ . Ustalimy, dla jakich $x$ wartości podanego wyrażenia i ułamka $\frac{x + 2}{x - 3}$ są równe.

R13QmAMlbTBKv

\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 6 x + 9}

Po rozłożeniu licznika i mianownika na czynniki mamy
$\frac{x^{2} - x - 6}{x^{2} - 6 x + 9} = \frac{(x + 2) (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$ .
Po skróceniu przez $(x - 3)$ , uzyskamy ułamek $\frac{x + 2}{x - 3}$ .
Równość zachodzi dla $x \in ℝ ∖ 3)$ .

\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5 x + 6}

Rozłożywszy licznik i mianownik na czynniki, uzyskamy
$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5 x + 6} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)}$ .
Po skróceniu przez $(x - 2)$ , uzyskamy ułamek $\frac{x + 2}{x - 3}$ .
Równość zachodzi dla $x \in ℝ ∖ 2; 3)$ .

\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{3} - x^{2} - 9 x + 9}

Rozłóżmy licznik i mianownik na czynniki za pomocą metod poznanych przy zapisywaniu wielomianów w postaci iloczynowej:
$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{3} - x^{2} - 9 x + 9} = \frac{(x + 2) (x + 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 3) (x - 1)}$ .
Ułamek będzie równy $\frac{x + 2}{x - 3}$ po skróceniu przez $(x + 3) (x - 1)$ .
Równość zachodzi dla $x \in ℝ ∖ - 3; 1; 3)$ .

\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 4}{x^{3} - 2 x^{2} - x - 6}

Po zapisaniu licznika i mianownika w postaci iloczynowej, dostaniemy
$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 4}{x^{3} - 2 x^{2} - x - 6} = \frac{(x + 2) (x^{2} + x + 2)}{(x - 3) (x^{2} + x + 2)}$ ,
przy czym czynnik $(x^{2} + x + 2)$ jest nierozkładalny.
Po skróceniu przez $(x^{2} + x + 2)$ , uzyskamy ułamek $\frac{x + 2}{x - 3}$ .
Równość zachodzi dla $x \in ℝ ∖ 3)$ , ponieważ wielomian $(x^{2} + x + 2)$ nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Przykład 5

Skrócimy ułamek $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{4} + x^{2} + 1}$ .

Zauważmy, że ułamek jest określony dla $x \in ℝ$ , ponieważ wyrażenie w mianowniku nie przyjmuje wartości mniejszych od $1$ .
Wielomian w liczniku jest nierozkładalny ( $Δ < 0$ ), więc jeśli ułamek da się skrócić, to tylko przez wyrażenie $x^{2} + x + 1$ .

R1OTKTlmCUWbl

Sposób I

Stosując dzielenie pisemne wielomianów, podzielmy wielomian $(x^{4} + x^{2} + 1)$ przez wielomian $(x^{2} + x + 1)$ .
Uzyskamy iloraz $(x^{2} - x + 1)$ i resztę $0$ .
Zatem $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{4} + x^{2} + 1} = \frac{1}{x^{2} - x + 1}$ , $x \in ℝ$ .

, Sposób II

Wiadomo, że każdy wielomian można przedstawić w postaci iloczynu czynników nierozkładalnych stopnia co najwyżej drugiego.
Rozłóżmy więc wielomian czwartego stopnia $(x^{4} + x^{2} + 1)$ , używając wzorów skróconego mnożenia.
$x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{4} + 2 x^{2} + 1) - x^{2} =$
$= (x^{2} + 1)^{2} - x^{2} = (x^{2} + 1 + x) (x^{2} + 1 - x)$ .
Zatem $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{4} + x^{2} + 1} = \frac{x^{2} + x + 1}{(x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{1}{x^{2} - x + 1}$ ,
przy czym $x \in ℝ$ .

Ostatni przykład jest trochę trudniejszy.

Przykład 6

Skrócimy następujące wyrażenie wymierneskracanie wyrażenia wymiernegoSkrócimy następujące wyrażenie wymierne $\frac{x^{8} + 2 x^{4} - 3 x^{2} + 1}{x^{4} + \sqrt{3} x + 1}$ .

Spróbujmy zapisać licznik w postaci iloczynu. W tym celu użyjemy wzorów skróconego mnożenia
$x^{8} + 2 x^{4} - 3 x^{2} + 1 = (x^{8} + 2 x^{4} + 1) - 3 x^{2} =$
$= {(x^{4} + 1)}^{2} - {(\sqrt{3} x)}^{2} =$
$= (x^{4} + 1 + \sqrt{3} x) (x^{4} + 1 - \sqrt{3} x)$ .

Możemy zatem skrócić ułamek przez $(x^{4} + \sqrt{3} x + 1)$
$\frac{x^{8} + 2 x^{4} - 3 x^{2} + 1}{x^{4} + \sqrt{3} x + 1} = \frac{(x^{4} - \sqrt{3} x + 1) (x^{4} + \sqrt{3} x + 1)}{x^{4} + \sqrt{3} x + 1} = x^{4} - \sqrt{3} x + 1$ .

Pozostało jeszcze ustalenie założeń, czyli wykluczenie sytuacji, gdy
$x^{4} + \sqrt{3} x + 1 = 0$ .

Po raz kolejny posłużymy się wzorami skróconego mnożenia. Zauważmy, że
$x^{4} + \sqrt{3} x + 1 = (x^{4} - x^{2} + \frac{1}{4}) + (x^{2} + \sqrt{3} x + \frac{3}{4}) =$
$= {(x^{2} - \frac{1}{2})}^{2} + {(x + \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$ .

Uzyskaliśmy sumę dwóch kwadratów. Suma kwadratów liczb rzeczywistych przyjmuje wartość $0$ tylko wtedy, gdy wszystkie wyrażenia podnoszone do kwadratu przyjmują jednocześnie wartość $0$ . W naszym przypadku jest to niemożliwe - drugie wyrażenie przyjmuje wartość $0$ tylko dla $x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ , ale wtedy pierwsze wyrażenie przyjmuje wartość różną od $0$ .

Zatem $x \in ℝ$ .

Słownik

dziedzina wyrażenia algebraicznego

wszystkie liczby rzeczywiste, dla których to wyrażenie ma sens liczbowy

równość wyrażeń wymiernych

wyrażenia wymierne są równe, gdy mają tą samą dziedzinę i dla każdego argumentu z dziedziny przyjmują odpowiednio te same wartości

skracanie wyrażenia wymiernego

podzielenie licznika i mianownika przez to samo niezerowe wyrażenie
$Q_{1} (x) \cdot W (x) \neq 0$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik