Przeczytaj

Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$ , zwaną ilorazem ciągu.

Jeżeli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q \neq 0$ , to dla każdej liczby naturalnej $n \in ℕ_{+}$

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1} .

Weźmy pod uwagę wyrazy $a_{n - 1}$ i $a_{n + 1}$ tego ciągu.

Wtedy:

a_{n - 1} = a_{1} \cdot q^{n - 2},

a_{n + 1} = a_{1} \cdot q^{n} .

Rozważmy iloczyn tych wyrazów i skorzystajmy z własności iloczynu potęg o tych samych podstawach.

a_{n - 1} \cdot a_{n + 1} = a_{1} \cdot q^{n - 2} \cdot a_{1} \cdot q^{n} = a_{1}^{2} \cdot q^{2 n - 2}

Teraz skorzystamy z własności potęgowania potęgi.

a_{n - 1} \cdot a_{n + 1} = {(a_{1} \cdot q^{n - 1})}^{2}

Zauważmy, że $a_{1} \cdot q^{n - 1} = a_{n}$ . Zatem:

$a_{n - 1} \cdot a_{n + 1} = {(a_{n})}^{2}$ dla $n > 1$ .

Uzyskaną równość najczęściej zapisujemy w postaci:

a_{n}^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1} .

Możemy więc powiedzieć:

w ciągu geometrycznym kwadrat każdego wyrazu, oprócz pierwszego (i ostatniego, jeśli ciąg jest skończony), jest równy iloczynowi wyrazów sąsiednich.

Natomiast, jeśli spełniona jest równość $a_{n}^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}$ , gdzie $n > 1$ dla wyrazów (zakładamy, że wyrazy sa różne od zera) ciągu $(a_{n})$ , to ciąg ten jest ciągiem geometrycznym.

Gdyż równość tę możemy przekształcić do postaci:

$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ , gdzie $n > 1$ .

Z powyższego zapisu możemy wnioskować, że ilorazy kolejnych wyrazów ciągu $(a_{n})$ są równe, a to oznacza, że jest to ciąg geometryczny.

Rozważania doprowadziły nas do sformułowania zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego

Ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat każdego wyrazu, oprócz wyrazu pierwszego (i ostatniego, w przypadku ciągu skończonego), jest iloczynem dwóch wyrazów sąsiednich – poprzedniego i następnego

a_{n}^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1},

gdzie:
$n > 1$ i $n \in ℕ$ .

Zauważmy, że jeśli wyrazy ciągu $(a_{n})$ są dodatnie, to $a_{n} = \sqrt{a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}}$ .

Wniosek:

W ciągu geometrycznym $(a_{n})$ o wyrazach dodatnich każdy wyraz, oprócz wyrazu pierwszego (i ostatniego, jeżeli ciąg jest skończony), jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich – poprzedniego i następnego.

Przykład 1

Liczby $4$ , $x$ , $9$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wyznaczymy $x$ .

Liczba $x$ jest środkowym wyrazem ciągu, zatem:

$x^{2} = 4 \cdot 9$

$x^{2} = 36$

$x = 6$ lub $x = - 6$

Odpowiedź:

Szukana liczba jest równa $- 6$ lub $- 6$ .

Przykład 2

Liczby $- 5$ , $x$ , $y$ , $40$ są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Znajdziemy liczby $x$ , $y$ .

Zapisujemy równania, wynikające ze związku między kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

$\{\begin{cases} x^{2} = - 5 y \\ 40 x = y^{2} \end{cases}$

Zauważmy, że $x \neq 0$ i $y \neq 0$ . Możemy więc podzielić stronami równania układu.

$\frac{x}{40} = \frac{- 5}{y}$

Wyznaczamy $x$ i wstawiamy do drugiego równania układu.

$x = \frac{- 200}{y}$

$y^{2} = 40 \cdot (\frac{- 200}{y})$

Wyznaczamy $y$ .

$y^{3} = - 8000$

$y = - 20$

Wyznaczamy $x$ .

$x = \frac{- 200}{- 20} = 10$

Odpowiedź:

Szukane liczby to $x = 10$ , $y = - 20$ .

Jeżeli wyrazy ciągu geometrycznego są dodatnie, to wniosek dotyczący zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, można uogólnić. Zapiszemy to uogólnienie również w postaci wniosku.

Wniosek:

Jeżeli wyrazy ciągu geometrycznego $(a_{n})$ są dodatnie, to:

a_{n} = \sqrt{a_{n - k} \cdot a_{n + k}},

gdzie:
$k < n$ , $k \in ℕ_{+}$ , $n \in ℕ_{+}$ .

Przykład 3

Liczby $2$ , $x$ , $y$ , $z$ , $8$ w tej kolejności tworzą ciąg geometryczny $(a_{n})$ o wyrazach dodatnich. Znajdziemy wzór ogólny ciągu i sumę wszystkich wyrazów ciągu.

Zauważmy, że wyraz y znajduje się w tej samej odległości od $2$ i $8$ . Skorzystamy zatem z wniosku zapisanego przed przykładem.

$y = \sqrt{2 \cdot 8}$

$y = 4$

Wyznaczamy wyrazy $x$ oraz $z$ .

$x = \sqrt{2 y} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$

$z = \sqrt{8 y} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$

Obliczymy iloraz ciągu.

$q = \frac{x}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = 2 \cdot {(\sqrt{2})}^{n - 1}$

Obliczamy sumę wszystkich wyrazów ciągu.

$S = 2 + 2 \sqrt{2} + 4 + 4 \sqrt{2} + 8 = 14 + 6 \sqrt{2}$

Odpowiedź:

Wzór ogólny ciągu to $a_{n} = 2 \cdot {(\sqrt{2})}^{n - 1}$ , a suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa $14 + 6 \sqrt{2}$ .

W następnych przykładach pokażemy, jak można wykorzystać w zadaniach zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznegozależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, ale również zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

Przykład 4

Między liczby $- 2$ i $25$ należy wpisać takie dwie liczby, aby trzy pierwsze utworzyły ciąg arytmetyczny, a trzy ostatnie – ciąg geometryczny.

Oznaczmy:
$x$ , $y$ – liczby, które wstawiamy między liczby $- 2$ i $25$ .

Otrzymujemy:

$(- 2, x, y)$ – ciąg arytmetyczny,

$(x, y, 25)$ – ciąg geometryczny.

Z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego wynika, że:

$x = \frac{- 2 + y}{2}$

Z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego wynika, że:

$y^{2} = 25 x$

Zapisujemy uzyskany układ równań:

$\{\begin{cases} x = \frac{- 2 + y}{2} \\ y^{2} = 25 x \end{cases}$

Podstawiamy do drugiego z równań w miejsce $x$ wyrażenie z pierwszego równania.

$\{\begin{cases} x = \frac{- 2 + y}{2} \\ y^{2} = 25 \cdot \frac{- 2 + y}{2} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{- 2 + y}{2} \\ 2 y^{2} - 25 y + 50 = 0 \end{cases}$

Drugie z równań układu jest równaniem kwadratowym z jedną niewiadomą. Rozwiążemy najpierw to równanie.

$2 y^{2} - 25 y + 50 = 0$

$∆ = 225$

$y = \frac{25 - 15}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ lub $y = \frac{25 + 15}{4} = 10$

Powracamy do układu równań.

$\{\begin{cases} x = \frac{- 2 + y}{2} \\ y = \frac{5}{2} \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} x = \frac{- 2 + y}{2} \\ y = 10 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{1}{4} \\ y = \frac{5}{2} \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} x = 4 \\ y = 10 \end{cases}$

Odpowiedź:

Warunki zadania spełniają dwie pary liczb: $\frac{1}{4}$ , $\frac{5}{2}$ oraz $4$ , $10$ .

Przykład 5

Liczby dodatnie $x$ , $y$ , $z$ , w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny. Liczby dodatnie $x$ , $w$ , $z$ , w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny. Wykażemy, że $x + y + z \geq x + w + z$ .

Nierówność $x + y + z \geq x + w + z$ jest równoważna nierówności $y \geq w$ . Wystarczy więc udowodnić, że $y \geq w$ .

Dla dowolnych liczb rzeczywistych, a więc i dla liczb $x$ , $z$ prawdziwa jest nierówność

${(x - z)}^{2} \geq 0$

Zapisujemy lewą stronę nierówności w postaci sumy.

$x^{2} - 2 x z + z^{2} \geq 0$

Do obu stron nierówności dodajemy $4 x z$ .

$x^{2} - 2 x z + z^{2} + 4 x z \geq 4 x z$

Lewą stronę nierówności zapisujemy w postaci kwadratu sumy dwóch wyrażeń.

${(x + z)}^{2} \geq 4 x z$

Przekształcamy nierówność równoważnie, korzystając z tego, że liczby $x$ i $z$ są dodatnie.

$x + z \geq 2 \sqrt{x z}$

Dzielimy obie strony nierówności przez $2$ .

$\frac{x + z}{2} \geq \sqrt{x z}$

Z zależności między kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego $(x, y, z)$ wynika, że $y = \frac{x + z}{2}$ .

Z zależności między kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego $(x, w, z)$ wynika, że $w = \sqrt{x z}$ .

Czyli:

$y \geq w$

Udowodniliśmy więc, że $y \geq w$ , co kończy dowód.

Zauważmy jeszcze, że $x + y + z = x + w + z$ , gdy ciągi są stałe.

Słownik

zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego

ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat każdego wyrazu, oprócz wyrazu pierwszego (i ostatniego, w przypadku ciągu skończonego), jest iloczynem dwóch wyrazów sąsiednich – poprzedniego i następnego

a_{n}^{2} = a_{n - 1} \cdot a_{n + 1},

gdzie:
$n > 1$ i $n \in ℕ$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik