Wśród rozwiązań równania $x+y=4$ są pary liczb $\left(-2,6\right)$, $\left(0,4\right)$, $\left(1,3\right)$, $\left(2,2\right)$.

Możemy je zaznaczyć w układzie współrzędnych.

R1Yi4EDtUxA81

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie zaznaczone są cztery następujące punkty: $A=\left(-2;6\right), B=\left(0;4\right), C=\left(1;3\right), D=\left(2;2\right)$.

Zauważmy, że wszystkie punkty leżą na jednej prostej. Wiemy, że takie równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Współrzędne punktów leżących na tej prostej, to pary liczb, które są rozwiązaniami tego równania.

R1KcvxMD4e0GH

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie zaznaczone są cztery następujące punkty: $A=\left(-2;6\right), B=\left(0;4\right), C=\left(1;3\right), D=\left(2;2\right)$, przy czym tutaj wyróżnione punkty opisane są jedynie literami.

Wykresem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi $x$ i $y$ nazywamy zbiór wszystkich punktów, których współrzędne $\left(x,y\right)$ spełniają to równanie.

Wykresem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest prosta.

Mówimy, że prosta jest ilustracją graficzną równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Zauważmy, że jeśli współczynnik $b\ne 0$, to równanie $ax+by+c=0$ możemy zapisać w postaci:

$ax+by+c=0$

$by=-ax-c|:b$

$y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$

Jest to równanie opisujące funkcję liniową. Jak wiesz, wykresem funkcji liniowej jest prosta.

Istnieje nieskończenie wiele równań równoważnych, które opisują jedną prostą.

Możemy to zauważyć, przekształcając równanie do postaci będącej równaniem funkcji liniowej.

Narysujmy wykres równaniawykres równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymiwykres równania $y=2x-1$.

RqfFQtbIsKvHC

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta, którą opisuje wzór $y=2x-1$. Prosta ta przechodzi między innymi przez punkty o wpółrzędnych $\left(0;-1\right)$ oraz $\left(1;1\right)$

Tę samą prostą możemy opisać na przykład za pomocą równań:

• $2x-y-1=0$

• $4x-2y=2$

• $x-\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}$

Gdyż przekształcając te równania równoważnie, otrzymujemy:

• $2x-y-1=0$

  $-y=-2x+1|:\left(-1\right)$

  $y=2x-1$

• $4x-2y=2$

  $-2y=-4x+2|:\left(-2\right)$

  $y=2x-1$

• $x-\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}$

  $-\frac{1}{2}y=-x+\frac{1}{2}|·\left(-2\right)$

  $y=2x-1$

Narysujmy wykres równania $5x+3y=8$.

Ponieważ wykresem jest prosta, to wystarczy znaleźć dwie pary liczb, które spełniają to równanie

$\left(1\right)$$5x+3y=8$.

Przyjmijmy $x=1$. Podstawiając tę wartość do równania $\left(1\right)$ możemy obliczyć wartość $y$.

$5·1+3y=8$

$3y=8-5$

$y=1$

Niech teraz $x=4$. Ponownie podstawiając do równania $\left(1\right)$, otrzymujemy:

$5·4+3y=8$

$y=-4$

Wiemy więc, że pary $\left(1,1\right)$ oraz $\left(4,-4\right)$ spełniają równanie $\left(1\right)$.

A więc prosta, która jest ilustracją graficzną równaniailustracja graficzna równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymiilustracją graficzną równania przechodzi przez te punkty.

R1KMF4XrpRH81

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta, przechodząca przez wyróżnione punkty: $A=\left(1;1\right), B=\left(4;-4\right)$.

Narysujmy wykres równania

$0x-2y+6=0$

Ponieważ $0x=0$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$, więc przekształcając to równanie do najprostszej postaci otrzymujemy

$-2y+6=0$

$-2y=-6|:\left(-2\right)$

$y=3 \wedge x\in \mathrm{ℝ}$

Rozwiązaniami są więc wszystkie pary liczb, mające postać $\left(x,3\right)$, gdzie $x\in \mathrm{ℝ}$.

Wiesz już, że taką samą postać ma funkcja liniowa stała.

R1WCdkO0Swu99

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest pozioma prosta opisana wzorem $y=3$.

Narysujmy wykres równania

$-2x-0y+6=0$

Ponieważ $0y=0$ dla każdej liczby rzeczywistej $y$, więc przekształcając to równanie do najprostszej postaci otrzymujemy

$-2x+6=0$

$-2x=-6|:\left(-2\right)$

$x=3 \wedge y\in \mathrm{ℝ}$

Rozwiązaniami są więc wszystkie pary liczb, mające postać $\left(3,y\right)$, gdzie $y\in \mathrm{ℝ}$.

RkOMohSpdXWJn

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowana jest pionowa prosta opisana wzorem $x=3$.

Zobaczmy, jak będzie wyglądał wykres równania z dwiema niewiadomymi z wartością bezwzględną.

Narysujmy wykres równania $\left(2\right)$$\left|x\right|+\left|y\right|=3$.

Aby narysować wykres tego równania musimy rozważyć cztery przypadki.

Wynikają one z definicji wartości bezwzględnej, która pojawiała się w równaniu.

I przypadek – I ćwiartka układu współrzędnych

$\left\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$ wtedy $\left\{\begin{array}{c}\left|x\right|=x\\ \left|y\right|=y\end{array}\right.$ i równanie $\left(2\right)$ przyjmuje postać $x+y=3$

Wybieramy pary liczb nieujemnych, które spełniają to równanie.

$\left(0,3\right)$, $\left(3,0\right)$

II przypadek – II ćwiartka układu współrzędnych

$\left\{\begin{array}{c}x<0\\ y\ge 0\end{array}\right.$ wtedy $\left\{\begin{array}{c}\left|x\right|=-x\\ \left|y\right|=y \end{array}\right.$ i równanie $\left(2\right)$ przyjmuje postać $-x+y=3$

Wybieramy pary, które spełniają to równanie.

$\left(-1,2\right)$, $\left(-3,0\right)$

III przypadek – III ćwiartka układu współrzędnych

$\left\{\begin{array}{c}x<0\\ y<0\end{array}\right.$ wtedy $\left\{\begin{array}{c}\left|x\right|=-x \\ \left|y\right|=-y \end{array}\right.$ i równanie $\left(2\right)$ przyjmuje postać $-x-y=3$

Wybieramy pary, które spełniają to równanie.

$\left(-1,-2\right)$, $\left(-2,-1\right)$

IV przypadek – IV ćwiartka układu współrzędnych

$\left\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ y<0\end{array}\right.$ wtedy $\left\{\begin{array}{l}\left|x\right|=x\\ \left|y\right|=-y\end{array}\right.$ i równanie $\left(2\right)$ przyjmuje postać $x-y=3$

Wybieramy pary, które spełniają to równanie.

$\left(0,-3\right)$, $\left(1,-2\right)$

Rysujemy wykres każdego z równań w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych.

RWc8ygvcSuhag

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji w kształcie rombu o wierzchołkach: $\left(-3;0\right), \left(0;-3\right), \left(3;0\right), \left(0;3\right)$. Na wykresie wyróżniono osiem punktów o następujących współrzędnych: $\left(-3;0\right), \left(-2;-1\right), \left(-1;-2\right), \left(0;-3\right), \left(1;-2\right), \left(3;0\right), \left(0;3\right), \left(-1;2\right)$.

A zatem ilustracją graficzną równania jest wykres.

R1I80tasJ4aCL

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus czterech do czterech oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji w kształcie rombu o wierzchołkach: $\left(-3;0\right), \left(0;-3\right), \left(3;0\right), \left(0;3\right)$.

zbiór wszystkich punktów, których współrzędne $\left(x,y\right)$ spełniają to równanie

prosta, będąca wykresem tego równania