Przeczytaj
Na poprzednich zajęciach wyprowadziliśmy wzory, które będą miały zastosowanie w bieżącej lekcji. Przypomnijmy je:
Dla dowolnych kątów zachodzą wzory:
,
.Dla takich kątów , że i , gdzie , zachodzi wzór:
.
W wielu zadaniach, zamiast poznanych wzorów, wykorzystuje się wzory na funkcje trygonometryczne podwojonego kąta uzależnionego od tangensa tego kąta. Teraz przedstawimy taką zależność dla .
We wzorze na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kąta lewą stronę podzielmy przez jedynkę trygonometryczną.
.
Podzielmy licznik i mianownik przez :
.
Ponieważ dzieliliśmy przez , musimy założyć, że:
czyli , gdzie .
Zatem sformułujmy twierdzenie:
Jeżeli , gdzie , to zachodzi wzór:
.
A teraz zaprezentujemy kilka przykładów wykorzystania poznanych wzorów.
Obliczymy wartość wyrażenia .
Rozwiązanie
Zauważmy, że , a zatem możemy wykorzystać wzór na cosinus podwjonego kąta :
.
Zatem .
Obliczymy , jeżeli wiadomo, że i .
Rozwiązanie
Ponieważ , więc , czyli .
Wykorzystamy wzór na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kąta w następującej postaci: .
Przekształćmy wzór do postaci:
Ponieważ , więc wzór przyjmuje postać:
.
Wobec tego możemy obliczyć wartość :
.
Wniosek
Wiedząc, jaką miarę ma ze wzorów na cosinus podwojonego kąta, łatwo obliczymy wartości i .
Obliczymy , jeżeli wiadomo, że .
Rozwiązanie
Wykorzystamy wzór na cosinus podwojonego kątacosinus podwojonego kąta: .
Zapiszmy zatem zależność:
i przekształćmy do równania:
.
Wówczas:
.
Zatem poszukiwana wartość to:
lub .
Udowodnimy, że równość jest tożsamością.
Rozwiązanie
Zapiszmy założenia:
,
.
Na początek po lewej stronie podstawimy :
Po skróceniu przez , korzystamy dwukrotnie ze wzoru cosinus podwojonego kąta:
.
Słownik
Jeżeli , gdzie , to zachodzi wzór:
.