Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos 45°=\cos \left(2·22,5°\right)=2{\cos }^{2}22,5°-1$

${\cos }^{2}22,5°=\frac{\sqrt{2}}{2}+1$.

Cosinus kąta ostrego jest dodatni, zatem:

$\cos 22,5°=\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}+1}$.

Korzystamy ze wzorów redukcyjnych:

$\sin 82,5°=\cos 7,5°$. Wykorzystujemy znajmość wartości $\cos 15°$:

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}=\cos 15°=\cos \left(2·7,5°\right)=2{\cos }^{2}7,5°-1$.

Stąd:

${\cos }^{2}7,5°=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}+1$.

Cosinus kąta ostrego jest dodatni, zatem:

$\cos 7,5°=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}+1}$.