Przeczytaj
W prostokącie o polu równym jeden bok jest o dłuższy od drugiego boku. Zapiszemy zależność, która pozwoli obliczyć długości boków tego prostokąta.
Oznaczymy:
– długość krótszego boku prostokąta.
Wtedy będzie długością dłuższego boku tego prostokąta.
Pole prostokąta możemy zapisać jako iloczyn .
Wiemy też, że pole prostokąta jest równe .
Możemy zatem zapisać .
W ten sposób zapisaliśmy równanie ze zmienną x.
Dany jest trójkąt prostokątny o polu równym . Przyprostokątne tego trójkąta różnią się o .
Zapiszemy równanie, na podstawie którego można obliczyć długość krótszej przyprostokątnej tego trójkąta.
Niech:
– długość krótszej przyprostokątnej,
– długość dłuższej przyprostokątnej.
Zatem możemy zapisać równanie opisujące pole trójkąta. Równanie pozwoli na obliczenie długości krótszej przyprostokątnej tego trójkąta.
Suma cyfr szukanej liczby dwucyfrowej jest równa . Jeżeli tę szukaną liczbę pomnożymy przez liczbę, która powstała przez zamianę cyfry jedności i dziesiątek szukanej liczby, to otrzymamy .
Zapiszemy równanie, które pozwoli obliczyć cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności szukanej liczby.
Niech:
– oznacza cyfrę jedności szukanej liczby dwucyfrowej (cyfra ta musi być mniejsza od liczby siedem, ale większa od zera),
– oznacza cyfrę dziesiątek szukanej liczby dwucyfrowej.
Szukaną liczbę możemy zapisać jako .
Liczba, która powstała przez zamianę cyfry dziesiątek i jedności szukanej liczby to:
Iloczyn tych liczb to:
Zatem równanie ma postać
W powyższych przykładach pokazaliśmy, jak analizując treść zadania doprowadzić do zapisania szukanej zależności za pomocą równania kwadratowego. Jest to często najtrudniejszy element analizy zadania.
Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą – jest to równanie postaci , gdzie , i są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz .
Postać gdy nazywamy postacią ogólną równania kwadratowego.
Równania, w których wszystkie współczynniki trójmianu kwadratowego są różne od , nazywamy równaniami kwadratowymi zupełnymi.
Równania, w których współczynniki trójmianu kwadratowego lub są równe , nazywamy równaniami kwadratowymi niezupełnymi.
Sprawdzimy, czy równanie , po zapisaniu w najprostszej postaci, będzie równaniem kwadratowym niezupełnym.
Przekształcimy równoważnie równanie.
Zatem otrzymaliśmy równanie kwadratowe z jedną niewiadomąrównanie kwadratowe z jedną niewiadomą, w którym , postaci .
Jest to równanie kwadratowe niezupełne.
Sprawdzimy, czy równanie , po sprowadzeniu do postaci ogólnej, będzie równaniem kwadratowym niezupełnym.
Przekształcimy równoważnie równanie.
Zatem otrzymaliśmy równanie kwadratowe, w którym , postaci gdzie .
Jest to równanie kwadratowe niezupełne.
Słownik
równanie postaci , gdzie , i są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz