Przeczytaj
Podamy teraz możliwości zastosowania klasycznej definicji prawdopodobieństwa, na przykładzie zadań „o rzutach”, „o losowaniu” i „o liczbach”. W materiale zawarte są zadania o niewielkim stopniu trudności, jako zadania wprowadzające w tematykę związaną z wykorzystaniem modelu prawdopodobieństwa klasycznego.
Na początek przypomnienie definicji, z której będziemy korzystać.
Niech będzie skończonym zbiorem wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych.
Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia nazywamy liczbę:
W klasycznym schemacie obliczania prawdopodobieństwa zakłada się, że:
zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych jest zbiorem skończonym,
wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.
Korzystając z tych założeń (nie powtarzając ich za każdym razem) będziemy rozwiązywać wszystkie zadania w tym materiale.
Zadania „o rzutach”
Najczęściej spotykaną klasą zadań z rachunku prawdopodobieństwa są zadania związane z rzutami kostką do gry lub monetą. Przyjmujemy przy tym, że kostka do gry jest symetrycznym sześcianem (tzn. tak zbudowanym, że szansa otrzymania każdego układu oczek jest taka sama). Podobnie, zakładamy, że moneta wykorzystywana w doświadczeniach jest symetryczna.
Rzucamy dwa razy kostką do gry. Obliczymy prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek będzie mniejsza od .
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na otrzymaniu sumy oczek mniejszej od .
Aby wyznaczyć moc zbioru zdarzeń elementarnych, korzystamy z reguły mnożenia.
Rozwiązanie zadania wymaga wypisania wszystkich zdarzeń sprzyjających.
Stąd:
Na podstawie klasycznej definicji prawdopodobieństwaklasycznej definicji prawdopodobieństwa:
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy oczek mniejszej od jest równe .
Rzucamy trzykrotnie monetą. Obliczymy prawdopodobieństwo, że orzeł wypadł tylko raz.
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na tym, że orzeł wypadł tylko raz.
Korzystamy z reguły mnożenia.
Wypisujemy zdarzenia sprzyjające:
Stąd:
Zatem:
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła dokładnie raz jest równe .
Rzucamy kostką i monetą. Obliczymy prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki i parzystej liczby oczek.
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na wyrzuceniu reszki i parzystej liczby oczek.
Rzucamy kostką – możliwości,
rzucamy monetą – możliwości.
Zatem:
W tym przypadku nie jest ważna kolejność, w jakiej rzucaliśmy kostką i monetą – możemy przyjąć, że rzucamy jednocześnie.
Zdarzania sprzyjające
, czyli
Szukane prawdopodobieństwo jest więc równe:
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki i parzystej liczby oczek jest równe .
Zadania o losowaniu
W zadaniach o losowaniu ważne jest dokładne przeanalizowanie treści, aby ustalić, czy ma być to losowanie ze zwracaniem, czy bez zwracania.
W losowaniu ze zwracaniem (losowaniu z powtórzeniami) wylosowany obiekt trafia z powrotem do puli przed następnym powtórzeniem losowania. Zatem dany obiekt może być wylosowany wielokrotnie. Dobre przykłady to rzut monetą lub rzut kostką.
W losowaniu bez zwracania wylosowany obiekt nie trafia z powrotem do puli, więc nie można go wylosować przy następnym losowaniu. Dobrym przykładem może być tworzenie z danych cyfr liczby o niepowtarzających się cyfrach.
W urnie znajduje się kul zielonych i białych. Losujemy kolejno, bez zwracania, trzy kule. Obliczymy prawdopodobieństwo, że za trzecim razem wylosujemy kulę zieloną.
Skoro losujemy kule bez zwracania, to znaczy, że wylosowanych kul nie wrzucamy już z powrotem, zatem liczba kul w urnie po każdym losowaniu zmniejsza się.
W urnie początkowo było kul.
Pierwszą kulę losujemy więc spośród kul, drugą spośród kul, a trzecią spośród kul.
Z reguły mnożenia wynika, że:
Oznaczmy:
– zdarzenie polegające na wylosowaniu za trzecim razem kuli zielonej.
Zdarzeniu sprzyjają zdarzenia, w których na trzecim miejscu jest kula zielona, na pierwszym dowolna z kul, a na drugim dowolna z pozostałych kul.
Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe:
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo wylosowania za trzecim razem kuli zielonej jest równe .
Z urny zwierającej kule białe i czarnych, losujemy bez zwracania kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej dwóch kul czarnych.
Z treści zadania wnioskujemy, że nie ważna jest kolejność w jakiej losujemy kule, a jedynie kolor.
Losujemy trzy spośród dziesięciu kul, stąd:
Oznaczmy:
– wylosowanie co najmniej dwóch kul czarnych.
Zdarzeniu sprzyjają zdarzenia: wylosowano trzy kule czarne, wylosowano dwie kule czarne i jedną białą.
W pierwszym przypadku trzy kule czarne losujemy spośród siedmiu czarnych.
W drugim przypadku losujemy dwie kule czarne spośród siedmiu czarnych i jedną białą spośród trzech białych.
Z reguły dodawania wynika, że:
Szukane prawdopodobieństwo jest więc równe
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej dwóch kul czarnych jest równe .
Zadania o liczbach
Rozwiązanie zadania o liczbach z reguły wymaga przeprowadzenia prostych rozumowań, prowadzących do wyznaczenia liczby zdarzeń sprzyjających danemu zdarzeniu. Często przy tym korzysta się z teorii podzielności.
Liczby , , , , , ustawiamy losowo jedna za drugą. Obliczymy prawdopodobieństwo, że suma każdych dwóch sąsiednich, ustawionych w ten sposób liczb, będzie liczbą nieparzystą.
Aby określić liczbę możliwych ustawień w szeregu sześciu podanych liczb, korzystamy ze wzoru na liczbę permutacji zbioru sześcioelementowego.
Suma dwóch liczb jest nieparzysta, jeżeli jedna z tych liczb jest parzysta, a druga nieparzysta.
Zatem liczby parzyste i nieparzyste muszą stać na przemian.
Na przykład:
, , , , , lub , , , , ,
Widać więc, że mamy dwie możliwości – ustawiając liczby można zacząć od liczby nieparzystej lub od liczby parzystej.
Są trzy liczby nieparzyste – można je ustawić na sposobów. Mamy też trzy liczby parzyste, zatem, zgodnie z regułą mnożenia, w pierwszym przypadku jest możliwości. Podobnie w drugim przypadku.
Wynika z tego, że
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo, że suma każdych dwóch sąsiednich liczb, będzie liczbą nieparzystą jest równe .
Na stole leżą karteczki, na których zapisane są liczby od do – na każdej kartce jedna liczba. Wyciagamy jednocześnie trzy karteczki. Obliczymy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia – jedna z wylosowanych liczb jest równa sumie dwóch pozostałych liczb.
Z treści zadania wynika, że mamy doczynienia z losowaniem bez zwracania, w którym nie jest ważna kolejność, w jakiej losujemy karteczki z liczbami.
Wypisujemy wszystkie zdarzenia, sprzyjające zdarzeniu (tu również nie jest ważna kolejność wypisywania liczb).
Zatem:
Obliczamy prawdopodobieństwo, korzystając ze wzoru na podobieństwo klasyczne.
Odpowiedź:
Prawdopodobieństwo, że jedna z wylosowanych liczb jest równa sumie dwóch pozostałych liczb jest równe .
Słownik
niech będzie skończonym zbiorem wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych; prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia nazywamy liczbę: