Aby dowiedzieć się – co to jest centyl, poznamy najpierw równie dziwne pojęcie – mianowicie kwantyl.

Kwantyl – co to takiego?

Kwantyle to wartości cechy badanej zbiorowości, które dzielą uporządkowaną zbiorowość statystyczną na określone, równe części pod względem liczby jednostek statystycznych.

Kwantyl oznaczamy literą $Q$.

Kwantylem rzędu $q$, gdzie $\left(0<q<1\right)$ nazywamy taką liczbę $Q$, że $q·100\%$ elementów danej zbiorowości statystycznej ma wartość nie większą od $Q$.

Niektóre kwantyle mają swoje nazwy, np.: kwantylem rzędu $\frac{1}{2}$ jest mediana, kwantyle rzędu $\frac{1}{4}$ i $\frac{3}{4}$ nazywają się odpowiednio kwantylem dolnym i kwantylem górnym.

Przykład 1

W poniższym szeregu uporządkowanym, składającym się z $7$ elementów, element czwarty, czyli $5$ , jest elementem środkowym, zatem kwantylem rzędu $\frac{1}{2}$ (po prawej i po lewej stronie liczby $5$ znajduje się tyle samo elementów).

Zapisujemy: $Q_{\frac{1}{2}}=5$.

R1elI5WxCyUxF

Ilustracja przedstawia szereg uporządkowany składający się z siedmiu liczb: jeden, trzy, cztery, pięć, siedem, osiem i dziewięć. Liczby jeden, trzy i cztery są zgrupowane klamrą i oznaczone jako trzy liczby. Cyfra 5, która jest środkową liczbą, jest wyróżniona, i oznaczona jako kwantyl rzędu jedna druga. Liczby siedem, osiem i dziewięć są zgrupowane klamra i oznaczone jako 3 liczby.

Jeśli liczba danych jest parzysta, to kwantyl rzędu $\frac{1}{2}$ będzie średnią arytmetyczną dwóch elementów środkowych.

Przykład 2

Uporządkowany szereg statystyczny $1$, $2$, $4$, $8$, $10$, $20$ składa się z parzystej liczby elementów.

Kwantylem rzędu $\frac{1}{2}$ (medianą) będzie więc średnia arytmetyczna liczb $4$ i $8$.

R1CY6SRXdWL3t

Ilustracja przedstawia szereg uporządkowany składający się z sześciu liczb: jeden, dwa, cztery, osiem, dziesięć i dwadzieścia. Liczby jeden i dwa są zgrupowane klamrą i oznaczone jako dwie liczby. Liczby cztery i osiem, które są środkowe są wyróżnione i zebrane klamrą. Klamra jest oznaczona jako cztery dodać osiem, podzielone przez dwa równa się sześć. Wynik sześć wskazany jest jako kwantyl rzędu jedna druga. Liczby dziesięć i dwadzieścia są zebrane klamra i oznaczone jako dwie liczby.

Odpowiedź:

$Q_{\frac{1}{2}}=6$

Kwantyle rzędu $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{3}{4}$ zwane są kwartylami.

Kwantyle rzędu $\frac{1}{5}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{4}{5}$ to kwintyle, itd.

Kwantyle rzędu $\frac{1}{10}$, $\frac{2}{10}$, ..., $\frac{9}{10}$ to decyle.

Kwartyl rzędu $\frac{1}{4}$ dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że $0,25 \left(25\%\right)$ jednostek tej zbiorowości ma wartości mniejsze lub równe wartości tego kwartyla, a $0,75 \left(75\%\right)$ jednostek ma wartości większe od tego kwartyla lub mu równe.

Przykład 3

Dziesięciu uczniów zapytano: Ile razy dziennie myjesz ręce?

Oto zebrane dane: $1$, $1$, $4$, $5$, $6$, $8$, $10$, $12$, $14$, $20$.

Wyznaczamy kwantyl rzędu $\frac{1}{4}$ i kwantyl rzędu $\frac{3}{4}$ tych danych.

Dzielimy szereg na pół (liczby są już ustawione rosnąco) i w każdej „połówce” wyznaczamy wartość środkową.

R6s6I3RD5Fnch

Ilustracja przedstawia szereg uporządkowany składający się z dziesięciu liczb: jeden, jeden, cztery, pięć, sześć, osiem, dziesięć, dwanaście, czternaście i dwadzieścia. Liczba cztery oznaczona jest jako kwantyl rzędu jedna czwarta. Pomiędzy liczbami sześć i osiem znajduje się pionowa linia oddzielająca, oznaczająca połowę, czyli kwantyl rzędu jedna druga. Liczba dwanaście oznaczona jest jako kwantyl rzędu trzy czwarte.

Interpretacja wyników:

• $0,25 \left(25\%\right)$ wszystkich osób myje ręce co najwyżej $4$ razy dziennie, a $0,75 \left(75\%\right)$ wszystkich osób myje ręce co najmniej $4$ razy dziennie,

• $0,75$ wszystkich osób myje ręce co najwyżej $12$ razy dziennie, a $0,25$ co najmniej $12$ razy.

Odpowiedź:

$Q_{\frac{1}{4}}=4$, $Q_{\frac{3}{4}}=12$

Centyl – co to takiego?

Wiemy już, że kwantyle pomagają w ustaleniu miejsca interesującego nas wyniku w uporządkowanym szeregu statystycznym. Jednym z rodzajów kwantyli są centyle.

Centyle to kwantyle rzędu $\frac{1}{100}$, $\frac{2}{100}$, $\frac{3}{100}$, ..., $\frac{99}{100}$. Zamiast centyl rzędu np. $\frac{3}{100}$ mówimy często – $3$ centyl.

CentylcentylCentyl to jedna z miar przeciętnych. Charakteryzuje zbiorowość statystyczną niezależnie od różnic występujących między jednostkami tej zbiorowości. Ponieważ centyl dzieli zbiorowość na $100$ równych części, można więc dla każdego numeru obserwacji określić procent zbiorowości znajdującej się powyżej lub poniżej tej obserwacji.

Przykład 4

Darek jest trzecią najwyższą osobą w grupie $10$ osób. Oznacza to, że $70\%$ osób jest nie wyższych od Darka.

R1TsWrQ8OZxOS

Ilustracja przedstawia dziesięć postaci człowieka różniących się wielkością, uszeregowanych od najmniejszej do największej. Pierwsze siedem postaci jest zgrupowanych klamrą, oznaczoną jako siedemdziesiąt procent. Ósma z nich jest wyróżniona, opisana jako Darek.

Jeśli Darek ma $170 \mathrm{cm}$ wzrostu, to wartość $70$ centyla w tej grupie jest równa $170 \mathrm{cm}$.

Pokażemy teraz, jak interpretować centylcentylcentyl w przypadku danych zgrupowanych.

Przykład 6

Na konkurs plastyczny nadesłano wiele prac, ale tylko $5\%$ prac otrzymało najwyższą ocenę – Z (zachwycająca), ocenę S (super) otrzymało $20\%$ prac, ocenę W (wybitna) – aż $60\%$ i wreszcie P (przeciętna) otrzymało $15\%$ prac. Obliczymy, na którym centylu znalazła się praca Agaty, która otrzymała ocenę S.

R9icuDd312qb7

Ilustracja przedstawia poziomy odcinek podzielony na cztery mniejsze odcinki o różnej długości, odpowiadającej oznaczeniom: pierwszy oznaczony jako P piętnaście procent , drugi oznaczony jako W sześćdziesiąt procent, trzeci S oznaczony jako 20 procent, oraz ostatni czwarty oznaczony jako Z pięć procent. Odcinek trzeci S oznaczony jako 20% jest dodatkowo oznaczony pionową przerywaną linią w połowie odcinka.

Wiemy, że oceny gorsze otrzymało na pewno $15\%+60\%=75\%$ wszystkich prac.

Nie wiemy jednak dokładnie ile punktów otrzymała praca Agaty, ani nawet jaka była skala punktów dla każdej oceny. Zatem możemy tylko oszacować, w którym centylu znalazła się praca Agaty. W tym celu – postępujemy podobnie, jak szukając mediany – bierzemy tylko „połowę” wartości określającej procent ocen S.

Wynika z tego, że $75\%+10\%=85\%$, czyli praca Agaty znalazła się mniej więcej na $85$ centylu.

Oznacza to, że około $85\%$ prac zostało ocenionych nie wyżej niż praca Agaty, a tylko około $15\%$ prac zostało ocenionych nie niżej.

Siatka centylowa

Siatka centylowa jest jedną z metod obiektywnej oceny rozwoju fizycznego dzieci. Lekarze pediatrzy kontrolują rozwój dziecka, porównując przebieg wzrostu, przybór masy ciała, przyrost obwodu głowy na tle danej populacji.

Dane umieszczane są w układzie współrzędnych – na osi poziomej zaznaczony jest wiek dziecka, na osi pionowej – dany parametr.

Na siatce zaznaczonych jest kilka krzywych – najwyżej położona jest linia $97$ centyla – oznacza ona, że u $97\%$ dzieci z danej populacji dany parametr ma nie większą wartość. Pięćdziesiąty centyl oznacza, że u połowy dzieci parametr przyjmuje wartości nie większe, a u drugiej połowy nie mniejsze.

Jako normę przyjmuje się obszar między $3$ a $97$ centylem. Ważne jest, aby krzywa rozwoju dziecka utrzymywała się na tym samym centylu.

Przykładowa siatka centylowa wysokości ciała dziewcząt.

R1VrdbmPl3Plq

Ilustracja przedstawia dwie siatki centylowe wysokości ciała dziewcząt - na każdej siatce znajdują się rosnące wykresy odpowiadające wzrostom osiąganym przez dziewczynki w wieku od jeden do osiemnastu lat. Pozioma oś X wyznacza kolejne lata w rozwoju dziewczynek. W punkcie przecięcia z lewą osią pionową ma wartość 1. Lewa oś pionowa przedstawia wzrost w centymetrach, od siedemdziesiąt do sto osiemdziesiąt. Wykresy wzrostu mają charakter rosnący wraz ze wzrostem wieku w latach. Stanowią grupę zbliżonych wykresów, odróżniających się puntem rozpoczęcia i punktem zakończenia. Zaczynają się na lewej osi pionowej oznaczającej wzrost w centymetrach na wartościach wzrostu od 70 do 80 centymetrów, a kończą na prawej pionowej osi oznaczającej centyle, na wysokościach oznaczonych jako trzeci centyl – jest to wysokość oznaczona na lewej pionowej osi jako sto pięćdziesiąt cztery centymetry, dziesiąty centyl jest to wysokość oznaczona na lewej pionowej osi jako sto pięćdziesiąt osiem centymetrów, dwudziesty piaty centyl - jest to wysokość oznaczona na lewej pionowej osi jako sto sześćdziesiąt dwa centymetry, pięćdziesiąty centyl - jest to wysokość oznaczona na lewej pionowej osi jako sto sześćdziesiąt sześć centymetrów, siedemdziesiąty piaty centyl - jest to wysokość oznaczona na lewej pionowej osi jako sto sześćdziesiąt dziewięć centymetrów, dziewięćdziesiąty centyl - jest to wysokość oznaczona na lewej pionowej osi jako sto siedemdziesiąt dwa centymetry, dziewięćdziesiąty siódmy centyl - jest to wysokość oznaczona na lewej pionowej osi jako sto siedemdziesiąt sześć centymetrów. W lewym dolnym rogu każdej z dwóch siatek centylowych jest analogiczny wykres wzrostu, ze skalą poziomą oznaczającą wiek w miesiącach od jeden do dwanaście, oraz wzrost od pięćdziesięciu do osiemdziesięciu centymetrów. Wykresy wzrostu również kończą się na prawej osi oznaczającej centyle – centyle trzeci, dziesiąty, dwudziesty piąty, pięćdziesiąty, siedemdziesiąty piąty, dziewięćdziesiąty i dziewięćdziesiąty trzeci kończą się oznaczają wzrost na poziomach od siedemdziesięciu do osiemdziesięciu centymetrów. Obie siatki centylowe przedstawiają te same wykresy. Druga siatka centylowa ma dodatkowo wyznaczony obszar odpowiadający wiekowi pięciu lat przy wzroście stu pięciu centymetrów, oraz obszar odpowiadający wiekowi trzynastu lat i wzrostowi sto sześćdziesiąt centymetrów.

Na podstawie siatki możemy stwierdzić na przykład, że $10$ centyl jest równy $105 \mathrm{cm}$ dla dziewcząt w wieku $5$ lat. Oznacza to, że wzrost $10\%$ dziewczynek w wieku $5$ lat nie przekracza $105 \mathrm{cm}$. Natomiast połowa dziewcząt wieku $13$ lat jest nie wyższa niż $160 \mathrm{cm}$.

Słownik