Przeczytaj

Podstawowe założenia metody rozkładania wielomianu na czynniki metodą grupowania wyrazów można opisać następującym schematem:

Ustaw wszystkie wyrazy wielomianu tak, by można było potworzyć grupy ze wspólnym czynnikiem. W razie potrzeby możesz do wielomianu dodać i odjąć potrzebne składniki – ale tak, by uzyskany po modyfikacjach wielomian równy był wielomianowi wyjściowemu. Czasem pomocne będzie zapisanie niektórych składników w postaci sumy lub różnicy kilku wyrażeń.

W każdej grupie wyłącz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, by wyrażenia w nawiasach w każdej z grup były równe.

Wyłącz nawias przed nawias, czyli wyłącz wspólne wyrażenie w nawiasie z każdej grupy przed cały wielomian, uzyskując zapis w postaci iloczynu dwóch wyrażeń.

Ten ogólny schemat stanie się jaśniejszy po przeanalizowaniu przedstawionych przykładów.

Z zasadniczego twierdzenia teorii wielomianówzasadniczego twierdzenia teorii wielomianów wiemy, że każdy wielomian stopnia większego od $2$ możemy rozłożyć na czynniki. W praktyce stosowanie metody grupowania będzie ułatwiać rozkład na czynniki tylko w niektórych przypadkach - nie zawsze uda nam się zauważyć odpowiednie pogrupowanie pozwalające wyłączyć wspólny czynnik.

Przykład 1

Zapiszemy w postaci iloczynowej wielomianpostać iloczynowa wielomianupostaci iloczynowej wielomian $W (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 9 x - 6$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że można rozdzielić wielomian na dwie grupy tak, by w każdej uzyskać w nawiasie czynnik $3 x - 2$
$W (x) = x^{2} (3 x - 2) + 3 (3 x - 2)$ .

Zatem $W (x) = (3 x - 2) (x^{2} + 3)$ i uzyskane czynniki są już nierozkładalne.

Można zauważyć inną metodę grupowania, prowadzącą oczywiście do tego samego rezultatu
$W (x) = 3 x^{3} + 9 x - 2 x^{2} - 6$ .

Tym razem wspólnym czynnikiem w obu grupach będzie $x^{2} + 3$
$W (x) = 3 x (x^{2} + 3) - 2 (x^{2} + 3)$ .

Po wyłączeniu wspólnego czynnika uzyskamy taki sam rozkład, jak poprzednio
$W (x) = (x^{2} + 3) (3 x - 2)$ .

Przykład 2

Zapiszemy w postaci iloczynowej wielomian $W (x) = x^{3} + (\sqrt{3} + 5) x^{2} + (5 \sqrt{3} - 6) x - 6 \sqrt{3}$ .

Rozwiązanie

Przekształćmy wielomian dążąc do uzyskania po pogrupowaniu wspólnego czynnika $x + \sqrt{3}$ .

$W (x) = x^{3} + x^{2} \sqrt{3} + 5 x^{2} + 5 x \sqrt{3} - 6 x - 6 \sqrt{3}$

$W (x) = x^{2} (x + \sqrt{3}) + 5 x (x + \sqrt{3}) - 6 (x + \sqrt{3})$

Uzyskujemy postać iloczynową
$W (x) = (x + \sqrt{3}) (x^{2} + 5 x - 6)$ ,
przy czym czynnik drugiego stopnia możemy jeszcze rozłożyć
$W (x) = (x + \sqrt{3}) (x + 6) (x - 1)$ .

Przykład 3

Zapiszemy w postaci iloczynowej wielomian $W (x) = 4 x^{3} - 13 x - 6$ .

Rozwiązanie

Zapiszmy składnik $- 13 x$ tak, by można było pogrupować wielomian na dwie grupy ze wspólnym czynnikiem
$W (x) = 4 x^{3} - x - 12 x - 6$ .

Zauważmy, że po wyłączeniu wspólnych czynników przed nawias dzięki użyciu wzoru skróconego mnożenia będzie możliwe zapisanie wielomianu $W (x)$ w postaci iloczynowej.

$W (x) = x (4 x^{2} - 1) - 6 (2 x + 1)$

$W (x) = x (2 x - 1) (2 x + 1) - 6 (2 x + 1)$

$W (x) = (2 x + 1) (x (2 x - 1) - 6)$

Drugi nawias możemy rozłożyć na postać iloczynową tak, jak robiliśmy to w przypadku funkcji kwadratowej
$W (x) = (2 x + 1) (2 x^{2} - x - 6)$ ,
$W (x) = (2 x + 1) (2 x + 3) (x - 2)$ .

Przykład 4

Zapiszemy w postaci iloczynowej wielomian $W (x) = 2 x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 16$ .

Rozwiązanie

Uporządkujmy wyrazy wielomianu tak, by wyłączyć czynnik $x - 2$ .

$W (x) = 2 x^{3} - 16 - 7 x^{2} + 14 x$

$W (x) = 2 (x^{3} - 8) - 7 x (x - 2)$

Wykorzystajmy wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów
$W (x) = 2 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) - 7 x (x - 2)$ ,
$W (x) = (x - 2) (2 x^{2} + 4 x + 8 - 7 x)$ .

Uzyskujemy zapis
$W (x) = (x - 2) (2 x^{2} - 3 x + 8)$ ,
przy czym czynnik drugiego stopnia w drugim nawiasie jest już nierozkładalny
( $Δ < 0$ ).

Rozkład wielomianu na czynniki może być pomocny w niektórych zadaniach związanych z podzielnością.

Przykład 5

Wykaż, że jeżeli $n$ jest liczbą całkowitą, to liczba $\frac{n^{4} - n^{3} - n^{2} + n}{6}$ również jest całkowita.

Rozwiązanie

Mamy wykazać, że licznik ułamka jest liczbą podzielną przez $6$ .

$n^{4} - n^{3} - n^{2} + n = n^{3} (n - 1) - n (n - 1) =$
$= (n - 1) (n^{3} - n) = (n - 1) n (n^{2} - 1) =$
$= (n - 1) n (n + 1) (n - 1)$ .

$n - 1$ , $n$ i $n + 1$ to trzy kolejne liczby całkowite – jest więc wśród nich liczba podzielna przez $2$ i liczba podzielna przez $3$ .

$2$ i $3$ to liczby względnie pierwsze, więc iloczyn $(n - 1) n (n + 1)$ jest podzielny przez $6$ , co oznacza, że licznik ułamka jest podzielny przez $6$ , czyli teza zachodzi.

Słownik

postać iloczynowa wielomianu

jeżeli wielomian
$W (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ stopnia $n$ ma $n$ pierwiastków $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\dots$ , $x_{n}$ , to można go zapisać w postaci iloczynowej
$W (x) = a_{n} (x - x_{1}) (x - x_{2}) \dots (x - x_{n})$

zasadnicze twierdzenie teorii wielomianów

jedyne wielomiany nierozkładalne stopnia dodatniego o współczynnikach rzeczywistych to wszystkie wielomiany pierwszego stopnia oraz wielomiany drugiego stopnia z ujemnym wyróżnikiem $Δ$
każdy wielomian stopnia większego od $2$ można zapisać w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych i niezerowej stałej
zapis w postaci iloczynu jest jednoznaczny z dokładnością do przemnożenia czynników przez stałą niezerową

Wprowadzenie

Animacja

Słownik