Przeczytaj
Poniżej prześledzimy sposób rozwiązania kilku zadań optymalizacyjnych. Schemat postępowania jest zawsze taki sam – korzystając z danych zadania uzależniamy jedną niewiadomą od drugiej a następnie rozważamy funkcję jednej zmiennej. W tym materiale rozważamy tylko zadania, które można rozwiązać korzystając z własności funkcji kwadratowej.
Hodowca koni zamierza zbudować ogrodzenie ograniczające dwa jednakowe prostokątne boksy (patrz rysunek). Właściciel koni zakupił materiały pozwalające zbudować ogrodzenie o łącznej długości i chce, aby powierzchnia boksów była możliwie największa. Wyznaczymy wymiary każdego boksu.
Rozwiązanie:
Oznaczmy:
Zapiszmy równanie wynikające z długości ogrodzenia boksów . Wyznaczymy jedną zmienną . Pole dwóch prostokątów wynosi
Długości boków muszą być liczbami dodatnimi, więc dziedziną funkcji jest zbiór
Naszkicujemy wykres tej funkcji. Jest to funkcja kwadratowafunkcja kwadratowa, współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny, więc ramiona paraboli skierowane są w dół.
Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli , jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych, zatem . Zauważmy, że należy do dziedziny funkcji, zatem funkcja przyjmuje największą wartość w wierzchołku paraboli. Wyznaczymy .
Odpowiedź:
Wymiary każdego boksu wynoszą .
Drewnianą listwę o długości i szerokości należy pociąć na takie cztery części, aby po ich sklejeniu (zobacz rysunek) otrzymać ramę, w którą można oprawić obraz. Wyznaczymy maksymalne pole powierzchni obrazu, który może być oprawiony w tak zbudowaną ramę.
Rozwiązanie:
Oznaczmy:
Znając długość listwy możemy zapisać równanie . Wyznaczmy jedną zmienną . Pole obrazu
Podstawiając za otrzymujemy funkcję wyrażającą pole obrazu
Biorąc pod uwagę, że długości boków muszą być liczbami dodatnimi, wyznaczamy dziedzinę funkcji .
Naszkicujemy wykres funkcji, współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny, więc ramiona paraboli skierowane są w dół.
Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli , jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych, zatem . Zauważmy, że należy do dziedziny funkcji, zatem funkcja przyjmuje największą wartość w wierzchołku paraboli. Wyznaczymy . Maksymalne pole powierzchni obrazu wynosi
.
Z kawałka blachy w kształcie trapezu równoramiennego o polu i podstawach długości i należy wyciąć prostokąt o maksymalnym polu (zobacz rysunek). Wyznaczymy wymiary wyciętego prostokąta.
Rozwiązanie:
Oznaczmy:
Z polecenia wiemy, że oraz . Ze wzoru na pole trapezu wyznaczymy jego wysokość.
Podstawiamy , stąd . W związku z tym, że oraz trapez jest równoramienny to . Przyjmując, że mamy . Trójkąt oraz są podobnepodobne, cecha bkb. Zapisujemy
Wyznaczając otrzymujemy
Następnie wyznaczamy pole prostokąta jako funkcję zmiennej . Skoro , to
Biorąc pod uwagę, że długości boków muszą być dodatnie określamy, że dziedziną jest zbiór
Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, której wykres pokrywa się z wykresem funkcji , jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych, zatem . Zauważmy, że należy do dziedziny funkcji, zatem funkcja przyjmuje największą wartość w wierzchołku paraboli. Wyznaczymy .
Odpowiedź:
Wymiary wyciętego prostokąta to .
Obwód okna przedstawionego na rysunku wynosi . Wyznaczymy miary odcinków i (patrz rysunek), aby przez okno wpadało jak najwięcej światła.
Rozwiązanie:
Zapiszmy równanie wynikające z obwodu okna . Wyznaczymy jedną ze zmiennych np. otrzymujemy . Przez okno będzie wpadać jak najwięcej światło gdy jego pole powierzchni będzie maksymalne. Okno składa się z dwóch figur: z prostokąta oraz z trójkąta równobocznegotrójkąta równobocznego.
Podstawiając za otrzymujemy
Przekształcając funkcję, otrzymujemy funkcję zmiennej wyrażającej pole powierzchni okna
Biorąc pod uwagę, że długości boków muszą być dodatnie, określamy, że dziedziną jest zbiór
Wyznaczymy wierzchołek paraboli ze wzoru . Otrzymujemy
Następnie usuwamy niewymierność z mianownika
Mnożymy ułamki i upraszczamy
Następnie wyznaczymy .
Odpowiedź:
Miary oraz .
Słownik
funkcja określona wzorem:
gdzie współczynniki , , są ustalonymi liczbami przy czym
dwa trójkąty których odpowiednie kąty są równe, a odpowiednie boki proporcjonalne; trójkąty są podobne gdy zachodzi którykolwiek z poniższych równoważnych warunków:
cecha bbb (bok–bok–bok) – stosunki długości odpowiednich par boków są równe,
cecha bkb (bok–kąt–bok) – stosunku długości dwóch par boków są równe i miary kątów między tymi bokami są równe,
cecha kkk (kąt–kąt–kąt) – zachowane są miary odpowiednich kątów
trójkąt, którego wszystkie boki mają tę samą długość