Przeczytaj
W poniższych przykładach pokażemy, jak posługiwać się pojęciem wartości bezwzględnej w zadaniach dotyczących odległości liczb na osi liczbowej.
Na osi liczbowejosi liczbowej pewna liczba jest odległa od zera o jednostki, a pewna liczba jest odległa od zera o jednostki. Jak daleko leży od ?
Zauważmy, że:
ponieważ liczba jest odległa od zera o jednostki, więc lub ,
ponieważ liczba jest odległa od zera o jednostki, więc lub .
Zatem możliwe są dwa różne przypadki.
(1) Gdy obie liczby oraz leżą na osi liczbowejosi liczbowej po tej samej stronie zera, ich odległość jest równa .
(2) Gdy liczby oraz leżą na osi liczbowejosi liczbowej po przeciwnych stronach zera, ich odległość jest równa .
Aby swobodnie formułować i rozwiązywać podobne zagadnienia, przypomnijmy definicję.
Odległością liczby od zera nazywamy wartość bezwzględną liczby i oznaczamy symbolem .
a) Liczba jest odległa od zera o sześć jednostek, a więc wartość bezwzględnawartość bezwzględna liczby jest równa .
Zatem prawdziwa jest równość .
b) Liczba jest odległa od zera o trzy jednostki, zatem wartość bezwzględnawartość bezwzględna liczby jest równa . Oznacza to, że prawdziwa jest równość .
Zauważmy, że:
jeżeli , to ,
jeżeli , to .
Przyporządkowanie punktowi jego współrzędnej na osi liczbowejna osi liczbowej jest wzajemnie jednoznaczne, więc punkty i liczby będziemy utożsamiać, pisząc np.: . Podobnie, odległość między punktami oraz , będziemy też nazywać odległością między liczbami i .
O liczbach z przykładu pierwszego można powiedzieć, że
jest rozwiązaniem równania ,
jest rozwiązaniem równania .
Bezpośrednio z definicji wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej wynikają następujące własności:
(1) , dla dowolnej liczby rzeczywistej ,
(2) , dla dowolnej liczby rzeczywistej ,
(3) wtedy i tylko wtedy, gdy .
(4) , dla dowolnej liczby rzeczywistej .
Ostatnią własność zapisujemy też w postaci równoważnej:
, dla dowolnej liczby rzeczywistej .
Wykażemy, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej prawdziwa jest równość .
Rozwiązanie
Korzystamy z własności wartości bezwzględnej.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność , więc
.
Stąd .
Ponadto dla liczba jest dodatnia, zatem prawdziwa jest równość .
Wobec tego .
W ten sposób dowód został zakończony.
Obliczymy wartości wyrażenia .
Rozwiązanie
Korzystamy z własności wartości bezwzględnej.
Ponieważ , więc , co oznacza, że .
Wobec tego .
W ten sposób pokazaliśmy również, że liczba to odległość liczby od zera na osi liczbowej.
Uwaga. Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia dostajemy
.
Zatem prawdziwa jest równość .
Pokażemy teraz, jak znajdować odległość dwóch dowolnych liczb na osi liczbowejna osi liczbowej.
Obliczymy odległość na osi liczbowejna osi liczbowej między punktami:
a) i ;
b) i .
Rozwiązanie
a) Sporządzamy rysunek i liczymy jednostki.
Szukana odległość jest więc równa .
Odległość tę można obliczyć, odejmując od większej liczby (czyli ) mniejszą liczbę (czyli ):
.
b) Sporządzamy rysunek i liczymy jednostki.
Stwierdzamy, że szukana odległość jest równa .
Zauważmy, że odległość tę można obliczyć, odejmując od większej liczby (czyli ) mniejszą liczbę (czyli ):
.
Zliczanie jednostek na narysowanej osi jest skuteczne tylko w pewnych bardzo prostych przypadkach. Jeśli jednak mamy obliczyć odległość np. między liczbami oraz , to wynik musimy zostawić w postaci symbolicznej, jako różnicę między większą z tych liczb i mniejszą z nich:
.
Posługując się rozwinięciem dziesiętnym składników otrzymanej sumy możemy zapisać:
,
czyli rozpatrywana odległość jest liczbą z przedziału .
Ogólną zasadę obliczania odległości liczb na osi opisuje poniższe twierdzenie.
Odległość dowolnych liczb rzeczywistych oraz na osi liczbowejna osi liczbowej jest równa wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej ich różnicy:
.
Dowód przeprowadzimy w trzech przypadkach.
(1) Jeśli , to zarówno odległość między i , jak i różnica są równe zeru, a więc zachodzi równość .
(2) Jeśli , to szukana odległość jest równa .
Wtedy też , a więc zachodzi równość .
(3) Jeśli , to szukana odległość jest równa .
Zauważmy, że wtedy , a więc .
Oznacza to, że zachodzi równość: .
W ten sposób dowód został zakończony.
Powyższe spostrzeżenia dotyczące odległości liczb rzeczywistych na osi liczbowej warto zapisać w następującej postaci:
Obliczymy, jaka jest odległość na osi liczbowejosi liczbowej między liczbami oraz .
Rozwiązanie
Odległość tę możemy obliczyć następująco:
,
ale też w taki sposób:
.
Zatem liczba jest odległa od liczby o jednostek.
Odległość liczby od jest równa .
Ta odległość to liczba większa od i mniejsza od : .
Liczba jest odległa od zera o jednostki. Ile jest równe ?
Rozwiązanie
sposób.
Ponieważ w odległości od zera są tylko dwie liczby: oraz , więc lub .
Stąd lub .
sposób.
Ponieważ liczba jest odległa od zera o jednostki, więc jest rozwiązaniem równania .
Z własności wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej otrzymujemy zatem, że
lub .
Stąd lub .
Odp. Liczba jest równa lub jest równa .
Uwaga. Zapisując powyższe równanie w postaci
możemy podać jeszcze inne zależności między liczbami z powyższego przykładu:
liczby oraz leżą na osi liczbowej w odległości od liczby ,
punkt jest środkiem odcinka o długości i końcach w punktach oraz .
Pokażemy teraz, jak wykorzystać umiejętność obliczania odległości między punktami na osi liczbowej do znajdowania środka odcinka o końcach w tych punktach.
Jeżeli na osi liczbowej dane są punkty i , to środkiem odcinka jest taki punkt , że:
Niech , i . Pokażemy, że punkt jest środkiem odcinka . Zakładamy, że oraz .
Skoro , to . Rozwiążemy podaną równość z wartością bezwzględną. Rozpatrzymy cztery przypadki.
- sprzeczność
- sprzeczność
Gdy , to otrzymujemy sprzeczność. Zatem punkt jest środkiem odcinka .
Obliczymy współrzędną punktu , który jest środkiem odcinka o końcach oraz .
Rozwiązanie.
Korzystając z ustaleń poczynionych powyżej obliczamy:
.
Uwaga. Ponieważ , więc końce odcinka leżą w odległości od punktu . Wynika stąd, że rozwiązaniem równania są liczby oraz .
Słownik
prosta, na której wyróżniono zwrot i punkt zwany zerowym oraz ustalono odcinek jednostkowy
Wartością bezwzględną liczby rzeczywistej nazywamy jej odległość na osi liczbowej od zera.
Wartość bezwzględną liczby oznaczamy symbolem