Przeanalizuj przykłady przedstawiające rozwiązania trudniejszych nierówności z wartością bezwzględną. Przed ich przeczytaniem spróbuj samodzielnie wybrać sposób potrzebny do rozwiązania nierówności, spośród już poznanych. Pamiętaj, że często trzeba będzie skorzystać z więcej niż jednej metody i rozpatrzeć kilka przypadków.

Przypomnij sobie pojęcia alternatywy i koniunkcji nierówności.

Przykład 1

Rozwiąż nierówność x+2-4+13.

Przekształcamy nierówność równoważnie, a następnie opuszczamy zewnętrzny moduł, korzystając z poznanej już własności wartości bezwzględnej liczby.

Dla dowolnego a i dowolnego b>0:

ab-bab.

x+2-4+13 -1

x+2-42

-2x+2-42 +4

2x+26

Otrzymaliśmy koniunkcję dwóch nierównościkoniunkcja dwóch nierównościkoniunkcję dwóch nierówności: x+22  x+26.

Rozwiązujemy je kolejno.

  • warunek I:

    x+22

    x+2-2  x+22

    x-4  x0

    A zatem pierwszy warunek spełniają liczby x-, -40, .

  • warunek II:

    x+26

    -6x+26 -2

    -8x4

    Drugi warunek spełniają liczby x-8, 4.

Możemy zaznaczyć otrzymane zbiory rozwiązań na jednej osi liczbowej.

R1awb4b5iZ50Z

Rozwiązaniem jest iloczyn otrzymanych przedziałów, a więc ostatecznie:

x-8, -40, 4

Przykład 2

Rozwiąż nierówność 4·x+3+2x>6.

W tym przykładzie skorzystamy z algebraicznej definicji wartości bezwzględnej.

Rozpatrzymy więc dwa przypadki, gdzie ostatecznym rozwiązaniem będzie alternatywa dwóch nierównościalternatywa dwóch nierównościalternatywa dwóch nierówności

  • przypadek I:

    x+30x-3x+3=x+3

    Wtedy nierówność przyjmuje postać:

    4·x+3+2x>6

    4x+12+2x>6

    6x>-6

    x>-1

    Rozwiązaniem tego warunku są liczby spełniające układ nierówności

    x-3x>-1x-1, 

  • przypadek II:

    x+3<0x<-3x+3=-x-3

    Wtedy nierówność przyjmuje postać:

    4·-x-3+2x>6

    -4x-12+2x>6

    -2x>18

    x<-9

    Rozwiązaniem tego warunku są liczby spełniające układ nierówności

    x-3x<-9 x-, -9.

Ostatecznie:

x-, -9-1, 

Przykład 3

Rozwiąż nierówność 3x2+2x+1+2·x+110.

Przy rozwiązywaniu tej nierówności, będziemy korzystać z własności wartości bezwzględnej.

Dla dowolnego a:

a2=a

3x2+2x+1+2·x+110

3x+12+2·x+110

3·x+1+2·x+110

Otrzymaliśmy dwa takie same moduły, a więc możemy je dodać.

5·x+110

x+12

Taką nierówność już doskonale potrafisz rozwiązać.

-2x+12

-2-1x2-1

-3x1

Zapisujemy zbiór rozwiązań:

x-3, 1.

Słownik

alternatywa dwóch nierówności
alternatywa dwóch nierówności

dwie nierówności połączone spójnikiem logicznym „lub” ; jej zbiorem rozwiązań są liczby, które spełniają pierwszą lub drugą nierówność

koniunkcja dwóch nierówności
koniunkcja dwóch nierówności

dwie nierówności połączone spójnikiem logicznym „i” ; jej zbiorem rozwiązań są liczby, które spełniają jednocześnie pierwszą i drugą nierówność