Rozwiąż nierówność $\left|\left|x+2\right|-4\right|+1\le 3$.

Przekształcamy nierówność równoważnie, a następnie opuszczamy zewnętrzny moduł, korzystając z poznanej już własności wartości bezwzględnej liczby.

Dla dowolnego $a\in \mathrm{ℝ}$i dowolnego $b>0$:

$\left|\left|x+2\right|-4\right|+1\le 3 \left|-1\right.$

$\left|\left|x+2\right|-4\right|\le 2$

$-2\le \left|x+2\right|-4\le 2 \left|+4\right.$

$2\le \left|x+2\right|\le 6$

Otrzymaliśmy koniunkcję dwóch nierównościkoniunkcja dwóch nierównościkoniunkcję dwóch nierówności: $\left|x+2\right|\ge 2 \wedge \left|x+2\right|\le 6$.

Rozwiązujemy je kolejno.

• warunek $\text{I}$:

  $\left|x+2\right|\ge 2$

  $x+2\le -2 \vee x+2\ge 2$

  $x\le -4 \vee x\ge 0$

  A zatem pierwszy warunek spełniają liczby $x\in \left(-\infty , -4\right.⟩\cup \left.⟨0, \infty \right)$.

• warunek $\text{II}$:

  $\left|x+2\right|\le 6$

  $-6\le x+2\le 6 \left|-2\right.$

  $-8\le x\le 4$

  Drugi warunek spełniają liczby $x\in ⟨-8, 4⟩$.

Możemy zaznaczyć otrzymane zbiory rozwiązań na jednej osi liczbowej.

R1awb4b5iZ50Z

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus dziesięciu do pięciu. Na osi zaznaczono dwa zbiory będące warunkami. Warunek pierwszy to zbiór składa się z dwóch przedziałów: prawostronnie domkniętego od minus nieskończoności do minus czterech oraz z lewostronnie domkniętego od zera do plus nieskończoności. Warunek drugi to zbiór domknięty od minus ośmiu do czterech. Kolorem wyróżniono części wspólne zbiorów, czyli przedział domknięty od minus ośmiu do minus czterech oraz przedział domknięty od zera do czterech.

Rozwiązaniem jest iloczyn otrzymanych przedziałów, a więc ostatecznie:

$x\in ⟨-8, -4⟩\cup ⟨0, 4⟩$

Rozwiąż nierówność $4·\left|x+3\right|+2x>6$.

W tym przykładzie skorzystamy z algebraicznej definicji wartości bezwzględnej.

Rozpatrzymy więc dwa przypadki, gdzie ostatecznym rozwiązaniem będzie alternatywa dwóch nierównościalternatywa dwóch nierównościalternatywa dwóch nierówności

• przypadek $\text{I}$:

  $x+3\ge 0\iff x\ge -3\Rightarrow \left|x+3\right|=x+3$

  Wtedy nierówność przyjmuje postać:

  $4·\left(x+3\right)+2x>6$

  $4x+12+2x>6$

  $6x>-6$

  $x>-1$

  Rozwiązaniem tego warunku są liczby spełniające układ nierówności

  $\left\{\begin{array}{c}x\ge -3\\ x>-1\end{array}\right.\Rightarrow x\in \left(-1, \infty \right)$

• przypadek $\text{II}$:

  $x+3<0\iff x<-3\Rightarrow \left|x+3\right|=-x-3$

  Wtedy nierówność przyjmuje postać:

  $4·\left(-x-3\right)+2x>6$

  $-4x-12+2x>6$

  $-2x>18$

  $x<-9$

  Rozwiązaniem tego warunku są liczby spełniające układ nierówności

  $\left\{\begin{array}{c}x\le -3\\ x<-9 \end{array}\right.\Rightarrow x\in \left(-\infty , -9\right)$.

Ostatecznie:

$x\in \left(-\infty , -9\right)\cup \left(-1, \infty \right)$

Rozwiąż nierówność $3\sqrt{x^2+2x+1}+2·\left|x+1\right|\le 10$.

Przy rozwiązywaniu tej nierówności, będziemy korzystać z własności wartości bezwzględnej.

Dla dowolnego $a\in \mathrm{ℝ}$:

$3\sqrt{x^2+2x+1}+2·\left|x+1\right|\le 10$

$3\sqrt{{\left(x+1\right)}^2}+2·\left|x+1\right|\le 10$

$3·\left|x+1\right|+2·\left|x+1\right|\le 10$

Otrzymaliśmy dwa takie same moduły, a więc możemy je dodać.

$5·\left|x+1\right|\le 10$

$\left|x+1\right|\le 2$

Taką nierówność już doskonale potrafisz rozwiązać.

$-2\le x+1\le 2$

$-2-1\le x\le 2-1$

$-3\le x\le 1$

Zapisujemy zbiór rozwiązań:

$x\in ⟨-3, 1⟩$.

dwie nierówności połączone spójnikiem logicznym „lub” $\left(\vee \right)$; jej zbiorem rozwiązań są liczby, które spełniają pierwszą lub drugą nierówność

dwie nierówności połączone spójnikiem logicznym „i” $\left(\wedge \right)$; jej zbiorem rozwiązań są liczby, które spełniają jednocześnie pierwszą i drugą nierówność