Sporządzimy wykres funkcji $f\left(x\right)=\left[x\right]$, gdzie $\left[x\right]$ – część całkowita liczby $x$.
Część całkowita (cecha) dowolnej liczby $x$ jest to największa liczba całkowita nie większa od $x$.

Funkcja $f\left(x\right)=\left[x\right]$ – część całkowita $x$ określona jest na zbiorze liczb rzeczywistych i przyjmuje w przedziałach $\left.⟨k,k+1\right)$ dla $k\in \mathbb{Z}$ wartość $k$.

$f\left(-1\right)=\left[-1\right]=-1$

$f\left(-\frac{1}{2}\right)=\left[-\frac{1}{2}\right]=-1$

$f\left(-\frac{3}{4}\right)=\left[-\frac{3}{4}\right]=-1$

$f\left(-0,4\right)=\left[-0,4\right]=-1$

$f\left(\frac{1}{2}\right)=\left[\frac{1}{2}\right]=0$

$f\left(\frac{3}{4}\right)=\left[\frac{3}{4}\right]=0$

$f\left(1\right)=\left[1\right]=1$

$f\left(\frac{3}{2}\right)=\left[\frac{3}{2}\right]=1$

$f\left(\frac{7}{4}\right)=\left[\frac{7}{4}\right]=1$

Raae19ZMJEoAf

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 5 do pięciu oraz pionową osią od minus 2 do dwóch. Zaznaczono wykres funkcji będącej prostą poziomą o przedziałach lewostronnie zamknięty prawostronnie otwarty od minus 2 do minus jeden, lewostronnie zamknięty prawostronnie otwarty od minus jeden do zera, lewostronnie zamknięty prawostronnie otwarty od zera do jeden, lewostronnie zamknięty prawostronnie otwarty od jeden do dwóch oraz lewostronnie zamknięty prawostronnie otwarty od dwóch do trzech. Zbiór wartości funkcji to zbiór minus 2 minus 1 zero jeden oraz dwa.

Zauważmy, że wykres składa się z rozłącznych odcinków długości $1$, przy czym lewy koniec każdego odcinka należy do wykresu a prawy do niego nie należy.

DziedzinąDziedzina funkcjiDziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, zbiorem wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiorem wartości funkcji jest zbiór liczb całkowitych, funkcja przyjmuje wartość zero dla każdego argumentu z przedziału  $\left.⟨0,1\right)$.

Sporządzimy wykres funkcji $m\left(x\right)=x-\left[x\right]$.

Funkcja tej postaci nazywana jest częścią ułamkową lub mantysą. Obliczmy dla kilku argumentów, wartości funkcji.

$m\left(-1\right)=-1-\left[-1\right]=-1-\left(-1\right)=-1+1=0$

$m\left(-0,3\right)=-0,3-\left[-0,3\right]=-0,3-\left(-1\right)=-0,3+1=0,7$

$m\left(-0,1\right)=-0,1-\left[-0,1\right]=-0,1-\left(-1\right)=-0,1+1=0,9$

$m\left(0\right)=0-\left[0\right]=0-0=0$

$m\left(0,5\right)=0,5-\left[0,5\right]=0,5-0=0,5$

$m\left(1\right)=1-\left[1\right]=1-1=0$

Rrf8isvrudIaD

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 5 do pięciu oraz pionową osią od minus 1 do dwóch. Zaznaczono wykres funkcji o zbiorze wartości lewostronnie domkniętym od zera do jeden. Funkcja jest rosnąca w każdym przedziale.

DziedzinąDziedzina funkcjiDziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, zbiorem wartościZbiór wartości funkcjizbiorem wartości tej funkcji jest przedział lewostronnie domknięty $\left.⟨0,1\right)$. Funkcja jest przedziałami rosnąca, tzn. jest rosnąca w każdym przedziale $\left.⟨k,k+1\right)$, gdzie $k\in \mathbb{Z}$. Ma nieskończenie wiele miejsc zerowych $x_0=k$, gdzie $k\in \mathbb{Z}$ .

Narysujemy wykres funkcji

$f\left(x\right)=\mathrm{sgn}x=\left\{\begin{array}{ccc}1& \text{ dla }& x>0\\ 0& \text{ dla }& x=0\\ -1& \text{ dla }& x<0\end{array}\right.$.

Funkcję $f\left(x\right)=\mathrm{sgn}x$ nazywamy funkcją „znak $x$” ($\mathrm{sgn}$ jest skrótem łacińskiego słowa signum, czyli znak). Sporządzamy w tym samym układzie współrzędnych wykresy funkcji:

• w przedziale $\left(-\infty ,0\right)$ wykres funkcji $y=-1$,

• w przedziale $\left(0,\infty \right)$ rysujemy wykres funkcji $y=1$,

• dla $x=0$ funkcja przyjmuje wartość $0$.

R3S5H4zMaNCub

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 5 do pięciu oraz pionową osią od minus 2 do dwóch. Zaznaczono wykres funkcji y równe minus jeden w przedziale lewostronnie otwartym i prawostronnie otwartym od minus nieskończoności do zera, następnie punkt w początku układu współrzędnych, następnie prostą y równe jeden. W przedziale lewostronnie otwartym i prawostronnie otwartym od zera do nieskończoności.

Sporządzimy wykres funkcji określonej wzorem:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}x& \text{ dla }& x\le 1\\ 1& \text{ dla }& 1<x<3\\ -x+4& \text{ dla }& x\ge 3\end{array}\right.$,

a następnie odczytamy z wykresu: dziedzinęDziedzina funkcjidziedzinę, zbiór wartościZbiór wartości funkcjizbiór wartości, miejsca zerowe funkcji. Określimy przedziały, w których funkcja jest malejąca.

Sporządzamy w tym samym układzie współrzędnych wykresy funkcji.

$f_1\left(x\right)=x$, gdy $x\le 1$, $f_1\left(0\right)=0$, $f_1\left(1\right)=1$.

$f_2\left(x\right)=1$, gdy $1<x<3$, $f_2\left(x\right)=1$, dla każdego $x\in \left(1,3\right)$.

$f_3\left(x\right)=-x+4$, gdy $x\ge 3$, $f_3\left(3\right)=1$, $f_3\left(4\right)=0$.

RBXvQ44AebXa5

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 2 do siedmiu oraz pionową osią od minus 2 do dwóch. Zaznaczono prostą rosnącą w przedziale lewostronnie otwartym prawostronnie domkniętym od nieskończoności do jeden. Następnie funkcja jest stała w przedziale od jeden do trzech, potem maleje do nieskończoności. Zbiór wartości funkcji jest przedziałem lewostronnie otwartym i prawostronnie domkniętym od minus nieskończoności do jeden.

• dziedzina funkcjiDziedzina funkcjidziedzina funkcji: $x\in \mathrm{ℝ}$

• zbiór wartości funkcjiZbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji: $Z{W}_f=\left(-\mathrm{\infty },1\right.⟩$

• $f\left(x_0\right)=0$ dla $x_1=0$ i $x_2=4$

• funkcja jest malejąca w przedziale $x\in \left(3,+\infty \right)$

Sporządzimy wykres funkcji określonej wzorem

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-2x& \text{ dla }& x<-1\\ 2& \text{ dla }& -1\le x\le 1\\ 2x& \text{ dla }& x>1\end{array}\right.$,

a następnie odczytamy z wykresu: dziedzinęDziedzina funkcjidziedzinę, zbiór wartościZbiór wartości funkcjizbiór wartości, miejsca zerowe funkcji.

Sporządzamy w tym samym układzie współrzędnych wykresy funkcji:

• w przedziale $\left(-\infty ,-1\right)$ wykres funkcji $f_1\left(x\right)=-2x$; w tym celu obliczymy wartości $f_1\left(-2\right)=4$, $f_1\left(-3\right)=6$

• w przedziale $⟨-1,1⟩$ wykres funkcji stałej $f_2\left(x\right)=2$

• w przedziale $\left(1,\infty \right)$ rysujemy wykres funkcji $f_3\left(x\right)=2x$; w tym celu obliczymy wartości $f_3\left(2\right)=4$, $f_3\left(3\right)=6$

RZgUKPwuhiq9T

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 5 do pięciu oraz pionową osią od minus 1 do sześciu. Zaznaczono prostą malejącą w przedziale od minus nieskończoności do minus jeden. Następnie prosta jest stała w przedziale od minus jeden do jeden, potem rośnie do nieskończoności. Zbiór wartości funkcji to przedział lewostronnie domknięty prawostronnie otwarty od dwóch do nieskończoności.

• dziedzina funkcjiDziedzina funkcjidziedzina funkcji: $x\in \mathrm{ℝ}$

• zbiór wartości funkcjiZbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji: $Z{W}_f=\left.⟨2,+\mathrm{\infty }\right)$

• funkcja nie ma miejsc zerowych

Na podstawie wykresu funkcji $f\left(x\right)$ określimy wzór funkcji.

RuZtrWFxe4Rcz

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus 2 do siedmiu oraz pionową osią od minus 3 do trzech. Zaznaczono prostą y równe minus trzy w przedziale od minus nieskończoności do minus jeden, następnie funkcja rośnie w przedziale od minus jeden do dwóch, ponownie prosta jest stała y równe trzy do nieskończoności.

Szukamy wzoru funkcji w przedziałach:

• w przedziale $\left(-\infty ,-1\right)$ funkcja przyjmuje jedną wartość równą $\left(–3\right)$: $y=-3$,

• w przedziale $\left.⟨-1,1\right)$ wykres funkcji jest prostą,która zawiera punkt $\left(0,-1\right)$, więc $b=-1$ i równanie tej prostej możemy zapisać jako: $y=ax–1$; odczytujemy z wykresu współrzędne kolejnego punktu: $A=\left(-1,-3\right)$ i podstawiamy do równania prostej: 
  $-3=a\cdot \left(-1\right)-1$
  $-3=-a-1$
  $-a=-2$,
  stąd $a=2$ i $y=2x-1$,

• w przedziale $\left.⟨1,\infty \right)$ funkcja przyjmuje jedną wartość równą $3$: $y=3$.

Szukany wzór funkcji jest następujący:

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-3& \text{ dla }& x<-1\\ 2x-1& \text{ dla }& -1\le x<1\\ 3& \text{ dla }& x\ge 1\end{array}\right.$.

zbiór wszystkich wartości zmiennej niezależnej, dla których funkcja $f$ jest określona

zbiór wszystkich $y$, dla których istnieje taki argument $x$ należący do dziedziny funkcji $f$, że $f\left(x\right)=y$.