Narysujemy wykresy funkcji $f\left(x\right)=2\left|x+4\right|-1$ oraz $g\left(x\right)=-3\left|x-2\right|+5$ oraz wyznaczymy równania ich osi symetrii.

Rozwiązanie:

Narysujemy wykresy obydwu funkcji:

R1ZCVMwohNpmt

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus siedmiu do pięciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do siedmiu. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji $f\left(x\right)$, oraz czerwony wykres funkcji $g\left(x\right)$. Wykres funkcji niebieskiej składa się z dwóch ukośnych półprostych. Od lewej mamy ukośną biegnącą od minus nieskończoności, przez punkt $\left(-6;3\right)$ o końcu w punkcie $\left(-4;-1\right)$. Druga półprosta biegnie od punktu $\left(-4;-1\right)$, przez punkt $\left(0;7\right)$ do plus nieskończoności. Linią przerywaną zaznaczono oś symetrii wykresu, którą opisuje równanie x, równa się, minus cztery. Czerwony wykres funkcji stanowi przesunięcie wykresu niebieskiego. Wykres funkcji $g\left(x\right)$ składa się z dwóch ukośnych półprostych. Od lewej mamy ukośną biegnącą od minus nieskończoności, przez punkt $\left(0;-1\right)$ o końcu w punkcie $\left(2;5\right)$. Druga półprosta biegnie od punktu $\left(2;5\right)$, przez punkt $\left(5;-4\right)$ do plus nieskończoności. Linią przerywaną zaznaczono oś symetrii wykresu funkcji, którą opisuje równanie x, równa się, dwa.

Ponieważ wykres funkcji $f$ powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $h\left(x\right)=2\left|x\right|$ o wektor $\left[-4, -1\right]$, to również oś symetrii wykresu funkcji $h$ została przesunięta o taki sam wektor. Równanie osi symetrii funkcji $f$ ma postać: $x=-4$.

Ponieważ wykres funkcji $g$ powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji $k\left(x\right)=-3\left|x\right|$ o wektor $\left[2, 5\right]$, to również oś symetrii wykresu funkcji $g$ została przesunięta w taki sam sposób. Równanie osi symetrii funkcji $g$ ma postać: $x=2$.

Wyznaczymy oś symetrii paraboli o równaniu $y=x^2-4x+5$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że $a=1$ i $b=-4$, zatem $p=-\frac{-4}{2·1}=2$ i stąd równanie osi symetrii ma postać: $x=2$.

Wyznaczymy oś symetrii paraboli będącej obrazem wykresu funkcji $f\left(x\right)=-\frac{1}{8}{x}^2$ w przesunięciu o wektor $\left[4, 1\right]$.

Rozwiązanie:

Po przesunięciu wykresu funkcji $f\left(x\right)=-\frac{1}{8}{x}^2$ o wektor $\left[4, 1\right]$, otrzymujemy funkcję daną wzorem: $f\left(x\right)=-\frac{1}{8}{\left(x-4\right)}^2+1$. Zatem równanie osi symetrii ma postać: $x=4$.

Wyznaczymy oś symetrii paraboli o równaniu $y=\frac{1}{6}\left(x-2+\sqrt{2}\right)\left(x+4-3\sqrt{2}\right)$.

Rozwiązanie:

Jest to postać iloczynowa, zatem $p=\frac{2-\sqrt{2}+3\sqrt{2}-4}{2}=\sqrt{2}-1$, stąd równanie osi symetrii to: $x=\sqrt{2}-1$.

Wyznaczymy osie symetrii wykresu funkcji: $f\left(x\right)=\frac{x-1}{x+2}$.

Rozwiązanie:

Wzór funkcji przekształcamy do postaci kanonicznejpostać kanoniczna funkcji homograficznejpostaci kanonicznej następująco:

$f\left(x\right)=\frac{\left(x+2\right)-3}{x+2}$

$f\left(x\right)=1+\frac{-3}{x+2}$

Oznacza to, że wykresem danej funkcji jest hiperbola o równaniu $xy=-3$ przesunięta o wektor o współrzędnych $\left[-2, 1\right]$.

Wierzchołkami hiperboli o równaniu: $xy=-3$ są punkty:

$A_1=\left(-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right)$ i $A_2=\left(\sqrt{3}, -\sqrt{3}\right)$.

Hiperbola przesunięta ma więc wierzchołki:

$B_1=\left(-\sqrt{3}-2, \sqrt{3}+1\right)$ i $B_2=\left(\sqrt{3}-2, -\sqrt{3}+1\right)$.

Na jednej z osi symetrii leżą punkty $B_1$ i $B_2$, zaś druga oś symetrii jest prostą prostopadłą do prostej $B_1{B}_2$, na której leży środek odcinka $B_1{B}_2$.

Zaczniemy od wyznaczenia prostej $B_1{B}_2$:

$a_{B_1{B}_2}=\frac{-\sqrt{3}+1-\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-2+\sqrt{3}+2}=-1$.

Zauważmy, że prosta ta jest równoległa do prostej o równaniu $y=-x$. Podstawiając współrzędne punktu $B_1$ mamy:

$y=-x+b$,

$\sqrt{3}+1=-\left(-\surd 3-2\right)+b$,

$\sqrt{3}+1=\sqrt{3}+2+b$,

$b=-1$,

$y=-x-1$.

Wyznaczymy drugą oś symetrii. Środkiem odcinka $B_1{B}_2$ jest punkt $\left(-2, 1\right)$, zaś współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej jest równy $1$. Jest to prosta równoległa do prostej $y=x$. Zatem:

$y=x+b$,

$1=-2+b$,

$b=3$,

$y=x+3$.

Interpretacja graficzna została przedstawiona poniżej:

RpuVUyQ0aBeLS

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus ośmiu do sześciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji $y=\frac{x-1}{x+2}$, oraz czerwony wykres funkcji $y=\frac{-3}{x}$. Czerwony wykres funkcji stanowi hiperbola, której gałęzie znajdują się w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Przebiega przez punkty $\left(-3;1\right)$, $\left(-1;3\right)$ oraz $\left(1;-3\right)$ i $\left(3;-1\right)$. Liniami przerywanymi zaznaczono osie symetrii opisane wzorem $y=x$ oraz $y=-x$. Niebieski wykres funkcji stanowi przesunięcie wykresu czerwonego. Wierzchołkami wykresu są punkty $B_1=\left(-\sqrt{3}-2,\sqrt{3}+1\right)$ i $B_2=\left(\sqrt{3}-2,-\sqrt{3}+1\right)$. Osie symetrii opisują równania $y=x+3$ oraz $y=-x-1$.

Na podstawie wykresów funkcji trygonometrycznych wyznaczymy równania ich osi symetrii.

Rozwiązanie:

Narysujemy najpierw wykres funkcji $f\left(x\right)=\sin x$.

RlJT0sAjbjv28

Na ilustracji przedstawiono wykres funkcji $y=\sin x$ z poziomą osią $X$ od $-2\mathrm{\pi }$ do $2\mathrm{\pi }$, z podziałką co $\mathrm{\pi }$. Okresem podstawowym funkcji jest $\mathrm{T}=2\mathrm{\pi }$. Maksymalna wartość funkcji to jeden, natomiast minimalna to minus jeden. Pionowymi liniami przerywanymi zaznaczono osie symetrii wykresu opisane następującymi wzorami $\mathrm{x}=-\frac{3}{2}\mathrm{\pi }$, $\mathrm{x}=-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$, $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$, $\mathrm{x}=\frac{3}{2}\mathrm{\pi }$.

Zauważmy, że osie symetrii wykresu mają równania postaci: $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$; $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Równania te dotyczą również każdej funkcji postaci $f\left(x\right)=a·\sin x$; $a\ne 0$.

Wyznaczymy teraz wykresy funkcji cosinus:

RxwaSvTNua8Yk

Na ilustracji przedstawiono wykres funkcji $\mathrm{y}=\mathrm{cosx}$ z poziomą osią $X$ od $-\mathrm{\pi }$ do $2\mathrm{\pi }$, z podziałką co $\mathrm{\pi }$. Pionowymi liniami przerywanymi zaznaczono osie symetrii wykresu opisane następującymi wzorami $\mathrm{x}=-\mathrm{\pi }$, $\mathrm{x}=0$, $\mathrm{x}=\mathrm{\pi }$ oraz $\mathrm{x}=2\mathrm{\pi }$.

Zauważmy, że osie symetrii wykresu mają równania postaci: $x=\pi +k\pi$; $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Równania te dotyczą również każdej funkcji postaci $f\left(x\right)=a·\cos x$; $a\ne 0$.

Przyjrzyjmy się teraz funkcji $f\left(x\right)=\mathrm{tg}x$.

R12yvEGxsT4Yn

Na ilustracji przedstawiono wykres funkcji $\mathrm{y}=\mathrm{tanx}$ z poziomą osią $X$ od $-2\mathrm{\pi }$ do $2\mathrm{\pi }$. Okresem podstawowym funkcji tangens jest $\mathrm{T}=\mathrm{\pi }$ natomiast zbiorem wartości funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste. Zaznaczono pionowe linie przerywane opisane wzorami $\mathrm{x}=-\frac{3}{2}\mathrm{\pi }$, $\mathrm{x}=-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$, $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$, $\mathrm{x}=\frac{3}{2}\mathrm{\pi }$. Linie nie są osiami symetrii wykresu.

Jej wykres nie ma osi symetrii.

Niech $f\left(x\right)=2x^2-8x$. Wyznaczymy równanie osi symetrii wykresu funkcji $y=\left|f\left(x\right)\right|$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}2x^2-8x& \text{dla} x\in \left(-\infty , 0\right.⟩\cup \left.⟨4, \infty \right)\\ -2x^2+8x& \text{dla} x\in \left(0, 4\right)\end{array}\right.$

Wierzchołkiem paraboli o równaniu $y=-2x^2+8x$ jest punkt $W=\left(2, 8\right)$, zatem oś symetriioś symetriioś symetrii wykresu funkcji $f$ ma równanie $x=2$.

Narysujemy wykres tej funkcji:

RL9fzihTau82j

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do siedmiu, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do ośmiu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji, składający się z krzywych biegnący w następujący sposób. Od minus nieskończoności, wykres biegnie niemal pionowo w dół. W punkcie $\left(0;0\right)$ odbija od osi $X$, następnie biegnie w górę do punktu $\left(2;8\right)$, gdzie ponownie odbija w dół. W punkcie $\left(4;0\right)$ odbija od osi $X$ i biegnie niemal pionowo w górę do plus nieskończoności. Linią przerywaną zaznaczono oś symetrii wykresu funkcji, opisaną wzorem x, równa się, dwa.

Wyznaczymy równanie osi symetrii wykresu funkcji $f\left(x\right)=x^2+2\left|x\right|-1$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że:

$x^2+2\left|x\right|-1=\left\{\begin{array}{ll}{x}^2+2x-1& \text{dla }x\ge 0\\ x^2-2x-1& \text{dla }x<0\end{array}\right.$

Parabole $y=x^2+2x-1$ oraz $y=x^2-2x-1$ są symetryczne względem prostej o równaniu $x=a$, gdzie $a$ jest odciętą punktu ich przecięcia. Wyznaczamy $a$:

$a^2+2a-1=a^2-2a-1$

$4a=0$

$a=0$

Równanie osi symetrii ma więc postać: $x=0$.

Wykres funkcji $f$ i jego oś symetrii przedstawia poniższy rysunek:

R1Y2WgZWX42RB

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do siedmiu, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do ośmiu. Na płaszczyźnie narysowano wykresy dwóch funkcji. Kolorem niebieskim narysowano wykres funkcji opisanej wzorem $y=x^2-2x-1$, natomiast kolorem zielonym narysowano wykres funkcji $y=x^2+2\left|x\right|-1$. Niebieski wykres funkcji biegnie w następujący sposób. Od minus nieskończoności, przez punkt $\left(-3;2\right)$, przebija pod oś $X$, do punktu $\left(-1;-2\right)$. W punkcie $\left(-1;-2\right)$ odbija w górę, następnie w punkcie $\left(0;-1\right)$ ponownie w dół. W punkcie $\left(1;-2\right)$ odbija w górę i biegnie do plus nieskończoności przez punkt $\left(3;2\right)$. Zielony wykres funkcji biegnie od minus nieskończoności przez punkt $\left(-1;2\right)$. W punkcie $\left(0;1\right)$ odbija w górę i biegnie do plus nieskończoności przez punkt $\left(1;2\right)$.

prosta, względem której ta figura jest do siebie osiowosymetryczna

funkcja postaci: