Przeczytaj

Warto przeczytać

Drgania klocka przymocowanego do poziomej sprężyny, poruszającego się po gładkiej powierzchni (Rys. 1. A), drgania ciężarka zawieszonego na sprężynie (Rys. 1. B) i wahadła matematycznegowahadła matematycznego (Rys. 1. C) przy niewielkich oporach i małych wychyleniach są drganiami harmonicznymi.

Rr71GqABdl4z9

Rys. 1. Na poziomej powierzchni leży klocek przyczepiony do prawego końca sprężyny. Lewy koniec sprężyny umocowany jest do pionowej ściany. Pod klockiem narysowano poziomy odcinek, zakończony z obu stron strzałkami, pokazujący kierunek ruchu drgającego klocka. Rys. 1b. Kulka przyczepiona jest do dolnego końca sprężyny, której górny koniec umocowany jest do sufitu. Obok kulki narysowano pionowy odcinek, zakończony z obu stron strzałkami, pokazujący kierunek ruchu drgającej kulki. Rys. 1c. Kulka zawieszona jest na nici przymocowanej do sufitu. Nić odchylona jest od pionu i skierowana w dół i w prawo. Przerywaną linią zaznaczono łuk, po jakim waha się kulka, odchylona i puszczona swobodnie Pokazano też kulkę i nić w położeniu równowagi. Nić przedstawia przerywany pionowy odcinek, na którego końcu znajduje się kulka w najniższym położeniu na łuku. — Rys. 1. Poziome (A) i pionowe (B) drgania ciężarka na sprężynie i wahadła matematycznego (C).

Wykres zależności wychylenia od czasu dla drgań harmonicznych ma kształt sinusoidalny (Rys. 2.) i jest opisany równaniem:

x (t) = A sin (ω t + φ),

gdzie A – amplituda drgań, $ω$ - częstość kołowa, ( $ω$ t + $φ$ ) - faza drgań, a $φ$ - faza początkowa, czyli faza drgań dla t = 0.

Rfm9O1e0yv8V1

Rys. 2. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono czas w sekundach, oznaczony literą małe t. Na osi pionowej odłożono wychylenie w metrach, oznaczone literą małe x. Wykres ma kształt sinusoidy, która zaczyna się w punkcie przecięcia osi o współrzędnych (0;0). Sinusoida wznosi się do maksymalnej wartości wychylenia x równej 0,02 metra dla chwili czasu t równej 1 sekunda. Dalej w prawo wykres opada i przecina oś czasu w punkcie o współrzędnej dwie sekundy. Wykres opada dalej, osiągając minimalną wartość wychylenia x, równą 0,02 metra dla chwili czasu t równej dwie sekundy. Dalej w prawo wykres wznosi się i przecina oś czasu w punkcie o współrzędnej 4 sekundy. Kolejne części wykresu są powtórzeniem wykresu w zakresie od zera do czterech sekund. — Rys. 2. Wykres wychylenia od czasu w ruchu harmonicznym dla fazy początkowej równej zero. Okres drgań *T = 4*s, amplituda *A = 0,02*m.

Częstość kołowa $ω$ jest związana z okresem drgań T zależnością:

ω = \frac{2 π}{T}

Każdy układ drgający ma charakterystyczny okres drgańokres drgań (ang. period)okres drgań, zwany okresem drgań własnych, zależny od jego własności fizycznych.

Okres drgań ciężarka na sprężynie zależy od masy m ciężarka i współczynnika sprężystości sprężyny k:

T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}} .

Ciężarek o większej masie ma większą bezwładność, więc dłuższy okres drgańokres drgań (ang. period)okres drgań. Na przykład czterokrotny wzrost masy powoduje dwukrotne wydłużenie okresu drgań.

Stała sprężystości jest miarą „sztywności” sprężyny. Można to sprawdzić doświadczalnie zawieszając na dwóch sprężynach ciężarki o tej samej masie. Okaże się, że krótszy okres drgańokres drgań (ang. period)okres drgań, a większą częstotliwość ma ciężarek na sprężynie o większym współczynniku sprężystości (bardziej sztywnej).

Wahadło matematyczneWahadło matematyczne to punktowa masa, zawieszona na długiej, nieważkiej i nierozciągliwej nici. Jest to model wahadła, którego dobrym przybliżeniem jest zawieszona na nici kulka. Okres drgańokres drgań (ang. period)Okres drgań wahadła matematycznegowahadła matematycznego przy małych kątach odchylenia od pionu nie zależy od masy wahadła i wynosi:

T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}

gdzie l – długość nici, g – przyspieszenie ziemskie.

W danym miejscu na Ziemi okres drgańokres drgań (ang. period)okres drgań wahadła matematycznegowahadła matematycznego zależy tylko od jego długości. Wahadła o tej samej długości, umieszczone w różnych szerokościach geograficznych, mają różne okresy drgań. Jest to spowodowane różną wartością przyspieszenia ziemskiego. Przyspieszenie grawitacyjne wynika z istnienia siły grawitacji, działającej na każde ciało obdarzone masą. Jest ona odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości ciała od środka Ziemi. Niewielkie spłaszczenie Ziemi na biegunach powoduje, że przyspieszenie grawitacyjne na biegunach jest trochę większe niż na równiku. Ziemia ponadto wiruje wokół własnej osi, zatem na ciało znajdujące się na równiku działa siła bezwładności odśrodkowa, zwrócona przeciwnie do siły grawitacji. Wpływa to także na nieznaczne zmniejszenie przyspieszenia ziemskiego na równiku. Pomiar okresu drgań wahadła matematycznego jest jedną z metod pomiaru przyspieszenia ziemskiego.

Przykład 1.

Przyspieszenie ziemskie na biegunie gIndeks dolny b = 9,83332 m/sIndeks górny 2 jest większe od przyspieszenia ziemskiego na równiku gIndeks dolny r = 9,78030 m/sIndeks górny 2. Dwa wahadła matematycznewahadła matematyczne o tej samej długości l = 1 m umieszczono na biegunie i na równiku. O ile różnią się okresy drgańokres drgań (ang. period)okresy drgań tych wahadeł?

Rozwiązanie:

T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}

T_{r} - T_{b} =

2 π \sqrt{\frac{l}{g_{r}}} - 2 π \sqrt{\frac{l}{g_{b}}} = 2 π \sqrt{l} (\frac{1}{\sqrt{g_{r}}} - \frac{1}{\sqrt{g_{b}}})

Wstawiając wartości liczbowe otrzymujemy

$T_{r} - T_{b} = 2 \cdot 3, 14 (\frac{1}{\sqrt{9, 78030}} - \frac{1}{\sqrt{9, 83332}}) = 6, 28 \cdot (0, 3197 - 0, 3189) = 0, 005 s$

Okres drgańokres drgań (ang. period)Okres drgań wahadła matematycznego o długości 1m umieszczonego na równiku jest o około 0,005s dłuższy niż okres drgańokres drgań (ang. period)okres drgań tego samego wahadła umieszczonego na biegunie.

Przykład 2. Doświadczenie

Mamy do dyspozycji statyw, ciężarek o masie 0,5 kg, sprężynę oraz stoper. W jaki sposób wyznaczyć współczynnik sprężystości sprężyny oraz jej wydłużenie w położeniu równowagi?

Rozwiązanie:

Zawieśmy ciężarek na sprężynie i wyznaczmy okres drgańokres drgań (ang. period)okres drgań tego układu. Na przykład: zmierzmy trzykrotnie czas 10 drgań, obliczmy średnią arytmetyczną, a potem okres T.

Załóżmy, że zmierzony okres drgańokres drgań (ang. period)okres drgań ciężarka o masie m = 0,5 kg, zawieszonego na sprężynie, jest równy T = 1 s. Obliczamy współczynnik sprężystości tej sprężyny korzystając z zależności na okres drgańokres drgań (ang. period)okres drgań:

T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}

T^{2} = 4 π^{2} \frac{m}{k}

k = \frac{4 π^{2} m}{T^{2}}

Po wstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:

k = \frac{4 \cdot {(3, 14)}^{2} \cdot 0, 5 k g}{{(1 s)}^{2}} \approx 19, 7 \frac{kg}{s^{2}} \approx 19, 7 \frac{N}{m}

R12g7s13ZNyng

Rys. 3. Kulka przyczepiona jest do dolnego końca sprężyny, której górny koniec umocowany jest do sufitu. Narysowano wektory sił działających na kulkę. Wektor siły ciężkości skierowany jest pionowo w dół, a jego wartość oznaczona jest literą wielkie Q. Wektor siły sprężystości skierowany jest pionowo w górę, a jego wartość oznaczona jest literą wielkie F z indeksem dolnym małe s. — Rys. 3. Siły działające na sprężynę i ciężarek.

Obliczamy wydłużenie sprężyny ∆l w położeniu równowagi (w stosunku do jej długości bez obciążenia).

W położeniu równowagi (Rys. 3.) siła ciężkości Q = mg jest równoważona przez siłę sprężystości FIndeks dolny s =k∆l, czyli:

m g = k Δ l

Wydłużenie sprężyny

Δ l = \frac{mg}{k}

Δ l = \frac{0, 5 k g \cdot 9, 81 m / s^{2}}{19, 7 N / m} \approx 0, 25 m

Odp. Współczynnik sprężystości sprężyny jest równy ok. 19,7 N/m, a jej wydłużenie w położeniu równowagi wynosi ok. 0,25 m.

Słowniczek

okres drgań (ang. period)

czas jednego pełnego drgania.

oscylator harmoniczny (ang. harmonic oscillator)

ciało poruszające się ruchem harmonicznym.

wahadło matematyczne (ang. mathematical pendulum)

model wahadła w postaci punktowej masy zawieszonej na nieważkiej i nierozciągliwej nici.

wahadło sprężynowe (ang. spring pendulum)

ciężarek zawieszony na sprężynie.

izochronizm (ang. isochronism)

(od greckiego isos – równy i chronos – czas) to własność drgań polegająca na niezależności okresu drgań od amplitudy.

Wprowadzenie

Film samouczek

Warto przeczytać

Słowniczek