WielościanwielościanWielościan foremny o $8$ ścianach w kształcie przystających  trójkątów równobocznych. Ośmiościan foremny posiada $12$ krawędzi, $6$ wierzchołków i $3$ przekątne.

R1CKb7PRzlHhS

Na ilustracji przedstawiono wielościan foremny o ośmiu ścianach w kształcie identycznych trójkątów. Ma 6 wierzchołków, 12 krawędzi. Ośmiościan wyglądem przypomina dwa sklejone ze sobą ostrosłupy prawidłowe czworokątne sklejone podstawami ze sobą.

Narysujemy taki przekrój ośmiościanu foremnego, który jest:

1. trójkątem równobocznym,

2. kwadratem,

3. rombem,

4. trapezem równoramiennym.

Rozwiązanie

1. Trójkąt równoboczny otrzymamy, gdy płaszczyzna przejdzie przez wierzchołki dowolnej ściany. Jest to szczególny przypadek przekroju, dlatego trójkąt równoboczny będziemy raczej traktować jako ścianę ośmiościanu.

R1DnAzkTBe4dR

Na ilustracji przedstawiono ośmiościan foremny $ABCDEF$, którego górny wierzchołek oznaczono literą E, natomiast dolny literą F. Kolorem różowym zacieniowano ścianę $BEC$ bryły.

2. Jeśli płaszczyznę  poprowadzimy, na przykład, przez wierzchołki $A$, $B$, $C$, $D$ lub równolegle do takiej płaszczyzny, w przekroju otrzymamy kwadrat.

R1UCOPIvakNo8

Na ilustracji przedstawiono ośmiościan foremny $ABCDEF$, którego górny wierzchołek oznaczono literą E, natomiast dolny literą F. Kolorem różowym zacieniowano płaszczyznę w kształcie kwadratu, ograniczoną wierzchołkami A, B, C i D.

3. Przekrój będzie miał kształt rombu, gdy płaszczyzna przejdzie przez dwa przeciwległe wierzchołki ośmiościanu, na przykład $E$ i $F$.

R1845HtC8terC

Na ilustracji przedstawiono ośmiościan foremny $ABCDEF$, którego górny wierzchołek oznaczono literą E, natomiast dolny literą F. Kolorem różowym zacieniowano płaszczyznę w kształcie rombu, ograniczoną wierzchołkami E, F, oraz punktami leżącymi na środku przeciwległych krawędziach $AB$ i $CD$.

4. Trapez równoramienny otrzymamy, gdy płaszczyzna przejdzie przez wierzchołki $C$ i $D$ oraz przetnie krawędzie $BE$ i $AE$.

R784oyWrfukmB

Na ilustracji przedstawiono ośmiościan foremny $ABCDEF$, którego górny wierzchołek oznaczono literą E, natomiast dolny literą F. Kolorem różowym zacieniowano płaszczyznę w kształcie trapezu równoramiennego, ograniczoną wierzchołkami C, D, oraz punktami leżącymi na krawędziach $AE$ i $BE$.

Ośmiościan $ABCDEF$ o krawędzi $a$ przecięto płaszczyzną równoległą do płaszczyzn trójkątów $BCE$ i $AFD$ oraz przechodzącą przez środki pozostałych krawędzi. Obliczymy pole otrzymanego w ten sposób przekroju.

Rozwiązanie

Zacznijmy od narysowania rysunku:

RzawXfK07Jjya

Na ilustracji przedstawiono ośmiościan foremny $ABCDEF$, którego górny wierzchołek oznaczono literą E, natomiast dolny literą F. Kolorem różowym zacieniowano płaszczyznę w kształcie sześciokąta foremnego, ograniczonego punktami leżącymi na krawędziach $AE$, $ED$, $AB$, $DC$, $BF$, $CF$.

Zauważmy, że przekrój jest sześciokątem foremnym. Długość boku przekroju jest połową długości krawędzi ośmiościanu. Zatem pole przekroju wynosi:

$P=6·\frac{{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{8}$.

Przekrój ośmiościanu foremnego płaszczyzną, która przechodzi przez jego dwa przeciwległe wierzchołki oraz środki dwóch przeciwległych krawędzi jest rombem o polu równym $36\sqrt{2} {\mathrm{cm}}^2$. Obliczymy sumę długości wszystkich krawędzi tego ośmiościanu.

Rozwiązanie

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

RN1tvVRVeY6tO

Na ilustracji przedstawiono ośmiościan foremny $ABCDEF$, którego górny wierzchołek oznaczono literą E, natomiast dolny literą F. Na krawędzi $AB$ zaznaczono punkt G, oraz na przeciwległej krawędzi $CD$ punkt H. Kolorem różowym zacieniowano płaszczyznę w kształcie rombu, ograniczoną wierzchołkami E, F, oraz punktami G i H. Zaznaczono przekątne $GH$, oraz $EF$ powstałego rombu, które przecinają się pod kątem prostym.

Oznaczmy jako $a$ długość krawędzi ośmiościanu. Wówczas $\left|GH\right|=a$. Bok rombu jest wysokością trójkąta równobocznego , więc $\left|EH\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Oznaczmy drugą przekątną rombu jako $f$. Ze wzoru na pole rombu mamy:

$\frac{af}{2}=36\sqrt{2}$

$af=72\sqrt{2}$

$f=\frac{72\sqrt{2}}{a}$.

Przekątne rombu podzieliły go na trójkąty prostokątne, zatem zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa mamy:

${\left(\frac{1}{2}f\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2$

$\frac{1}{4}{f}^2+\frac{1}{4}{a}^2=\frac{3}{4}{a}^2$

$f^2=2a^2$

${\left(\frac{72\sqrt{2}}{a}\right)}^2=2a^2$

$\frac{10368}{a^2}=2a^2$

$10368=2a^4$

$5184=a^4$

$a=6\sqrt{2}\mathrm{cm}$.

Zatem suma długości krawędzi ośmiościanu wynosi:

$12·6\sqrt{2}=72\sqrt{2}\mathrm{cm}$.

W ośmiościan wpisano kulę o promieniu $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Obliczymy, ile razy większa jest objętość kuli opisanej na wielościanie od objętości kuli wpisanej w ośmiościan.

Rozwiązanie

Wiadomo, że promień kuli wpisanej w ośmiościan o krawędzi długości $a$ wyraża się wzorem $r=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.

Obliczymy $a$:

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$

$3\sqrt{3}=a\sqrt{6}$

$a=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Zatem promień kuli opisanej na ośmiościanie ma długość:

$R=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}·\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}$.

Obliczymy objętości naszych kul:

$V_{\mathrm{kuli} \text{wpisanej}}=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi ·{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^3=\frac{\pi \sqrt{3}}{2}$,

$V_{\text{kuli opisanej}}=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi ·{\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{9}{2}\pi$,

$\frac{V_{\text{kuli opisanej}}}{V_{\text{kuli wpisanej}}}=\frac{\frac{9}{2}\pi }{\frac{\pi \sqrt{3}}{2}}=3\sqrt{3}$.

Objętość kuli opisanej na wielościanie jest $3\sqrt{3}$ razy większa od objętości kuli wpisanej.

Pole powierzchni kuli opisanej na ośmiościanie wynosi $P$. Obliczmy sumę długości krawędzi naszego ośmiościanu.

Rozwiązanie

Niech $R$ - długość promienia okręgu opisanego na ośmiościanie, $a$ - długość krawędzi ośmiościanu.

Wówczas mamy $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ponadto:

$4\pi R^2=P$

$R^2=\frac{P}{4\pi }$

$R=\sqrt{\frac{P}{4\pi }}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{P}{\pi }}$.

Obliczmy długość krawędzi wielościanu:

$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{P}{\pi }}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$a=\sqrt{\frac{P}{2\pi }}$.

Zatem suma długości krawędzi ośmiościanu wynosi:

$12·\sqrt{\frac{P}{2\pi }}=\sqrt{\frac{72P}{\pi }}=6\sqrt{\frac{2P}{\pi }}$.

Wyznacz sumę długości krawędzi ośmiościanu, jeśli jego przekrojem jest trapez równoramienny o polu równym $12\sqrt{2}$, w którym stosunek długości podstaw wynosi $1:2$ oraz wiadomo, że dłuższa podstawa pokrywa się z krawędzią ośmiościanu.

Rozwiązanie

Z treści zadania wiadomo, że przekrojem ośmiościanu jest trapez równoramienny, w którym stosunek długości podstaw wynosi $1:2$ oraz dłuższa podstawa tego trapezu jest krawędzią ośmiościanu, zatem krótsza podstawa to odcinek łączący środki dwóch krawędzi przeciwległej ściany. Oznaczmy długość krawędzi ośmiościanu przez $2a$ a długość ramienia przekroju przez $b$.

RP1gVgBGGqph9

Na ilustracji przedstawiono ośmiościan foremny $ABCDEF$, którego górny wierzchołek oznaczono literą E, natomiast dolny literą F. Kolorem różowym zacieniowano płaszczyznę w kształcie trapezu równoramiennego, ograniczoną wierzchołkami C, D, oraz punktami leżącymi na krawędziach $AE$ i $BE$. Długość dłuższej podstawy trapezu, czyli krawędzi $DC$ oznaczono $2a$, długość krótszej podstawy oznaczono literą a, natomiast długość ramienia oznaczono literą b.

Zauważmy, że ramię tego trapezu łączy wierzchołek trójkąta równobocznego ze środkiem przeciwległego boku, zatem $b=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

RlAvtdf5VSPSR

Na ilustracji przedstawiono trapez równoramienny $MNDC$. Długość krótszej podstawy $MN$, oznaczono a. Z wierzchołków M, N opuszczono wysokości, do podstawy $DC$. Spodek wysokości opuszczonej z wierzchołka N, znajduje się w punkcie O. Zaznaczono trójkąt prostokątny $MOC$, o przyprostokątnych równych $\frac{1}{2}a$, h, oraz przeciwprostokątnej równej $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczmy długość wysokości trapezu: $h=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Zatem: $12\sqrt{2}=\frac{a+2a}{2}·\frac{a\sqrt{2}}{2}$ co daje: $48=3a^2$, stąd: $a=4$. Krawędź ośmiościanu ma więc długość $8$, a suma długości wszystkich krawędzi wynosi: $12·8=96$.

bryła geometryczna, ograniczona przez tak zwaną powierzchnię wielościenną, czyli powierzchnię utworzoną z wielokątów o rozłącznych wnętrzach i każdym boku wspólnym dla dwóch wielokątów; każdy wielościan utworzony jest ze ścian – wielokątów, które razem tworzą powierzchnię wielościanu
Źródło: www.wikipedia.pl