Przeczytaj

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Definicja: Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcję dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Układ taki przyjmuje postać:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

gdzie:
$x$ oraz $y$ – oznaczają niewiadome,
$a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ oraz $b_{2}$ – współczynniki przy niewiadomych odpowiednio $x$ oraz $y$ ,
$c_{1}$ i $c_{2}$ – nazywamy wyrazami wolnymi (zakładamy, że współcznniki przy niewiadomych odpowiednio x oraz y nie mogą być jednocześnie zerami).

Rozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Definicja: Rozwiązanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Rozwiązaniem układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy parę liczb spełniającą jednocześnie każde równanie danego układu równań.

Ważne!

Ilustracją geometryczną układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi są dwie proste.

Dwie proste na płaszczyźnie mogą mieć następujące położenie:

proste przecinają się w jednym punkcie,

proste pokrywają się,

proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych.

Przykład 1

Dany jest układ równań

${\begin{cases} 2 x - y = 0 \\ 2 x - y = - 2 \end{cases}$ .

Narysujemy wykres każdego z równań.

Dla ułatwienia przekształcamy każde z równań.

$2 x - y = 0$ i $2 x - y = - 2$

$y = 2 x$ i $y = 2 x + 2$

Wybieramy dowolny $x \in ℝ$ i korzystając z odpowiedniego równania, obliczamy $y$ .

$(0, 0)$ , $(1, 2)$ i $(0, 2)$ , $(1, 4)$

Zaznaczmy punkty w układzie współrzędnych, a następnie rysujemy wykresy tych równań.

R15NH0X9vcSJ8

Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano dwie ukośne równoległe proste. Biegnąca z lewej strony prosta opisana jest wzorem y=2x+2 i przechodzi przez dwa charakterystyczne punkty: -1;0, 0;2. Biegnąca z prawej strony prosta opisana jest wzorem y=2x i przechodzi przez początek układu współrzędnych. — Źródło: Gromar sp. z o.o, licencja: CC BY-SA 3.0.

Wykresy tych równań to proste równoległe, które nie mają wspólnych punktów.

A zatem układ równań $\{\begin{cases} 2 x - y = 0 \\ 2 x - y = 2 \end{cases}$ nie ma rozwiązań. Taki układ nazywamy układem sprzecznym.

Ważne!

Wykresy prostych $y = a_{1} x + b_{1}$ oraz $y = a_{2} x + b_{2}$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy $a_{1} = a_{2}$ .

Wykresy prostych postaci $x = c_{1}$ oraz $x = c_{2}$ są równoległe dla dowolnych $c_{1} \in ℝ$ , $c_{2} \in ℝ$ .

Sprzeczny układ równań

Definicja: Sprzeczny układ równań

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, który nie ma rozwiązania, nazywamy układem sprzecznym.

Przykład 2

Na rysunku przedstawiona jest geometryczna interpretacja układu równań liniowych.

R1Lr5ZKBllKXh

Wykresy prostych są równoległe, a więc jest to interpretacja geometryczna sprzecznego układu równań. Znajdźmy ten układ.

Odczytujemy współrzędne dwóch punktów leżących na każdej z prostych.

RL7hOhgHrrJnO

Na prostej $y = a_{1} x + b_{1}$ leżą punkty $(0, 1)$ oraz $(1, 2)$ . Postawimy ich współrzędne do wzoru i obliczmy wartości współczynników $a_{1}$ i $b_{1}$ .

$1 = a_{1} \cdot 0 + b_{1}$ i $2 = a_{1} \cdot 1 + b_{1}$

$b_{1} = 1$ i $a_{1} + 1 = 2$

$b_{1} = 1$ i $a_{1} = 1$

Równanie prostej ma więc postać $y = x + 1$ .

Na prostej $y = a_{2} x + b_{2}$ leżą punkty $(0, - 1)$ oraz $(1, 0)$ . Postawimy ich współrzędne do wzoru i obliczmy wartości współczynników $a_{2}$ i $b_{2}$ .

$- 1 = a_{2} \cdot 0 + b_{2}$ i $0 = a_{2} \cdot 1 + b_{2}$

$b_{2} = - 1$ i $a_{2} - 1 = 0$

$b_{2} = - 1$ i $a_{2} = 1$

Równanie prostej ma więc postać $y = x - 1$ .

Rysunek przedstawia więc ilustrację geometryczną sprzecznego układu równań

$\{\begin{cases} y = x + 1 \\ y = x - 1 \end{cases}$ .

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Twierdzenie: Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

jest układem sprzecznym wtedy i tylko wtedy gdy współczynniki przy niewiadomych spełniają warunek

a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0 (1)

i gdy zachodzi co najmniej jeden z warunków:

c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} \neq 0 (2)

lub

a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1} \neq 0 (3)

Przykład 3

Dany jest układ równań liniowych z dwiema niewiadomymiukład równań liniowych z dwiema niewiadomymi

$\{\begin{cases} x + 2 y = 10 \\ - 3 x - 6 y = 2 \end{cases}$ .

Sprawdzimy, czy jest to układ sprzeczny.

Odczytujemy wartości współczynników przy niewiadomych $x$ oraz $y$ i wyrazów wolnych.

$a_{1} = 1$

$b_{1} = 2$

$c_{1} = 10$

$a_{2} = - 3$

$b_{2} = - 6$

$c_{2} = 2$

Sprawdzamy czy zachodzi warunek $(1) a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0$ .

$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 1 \cdot (- 6) - 2 \cdot (- 3) = - 6 + 6 = 0$

Warunek $(1)$ jest spełniony, sprawdzamy więc, czy zachodzi warunek $(2) c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} \neq 0$ .

$c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} = 10 \cdot (- 6) - 2 \cdot 2 = - 60 - 4 \neq 0$

Warunek $(2)$ jest spełniony, a zatem ten układ jest układem sprzecznym.

Przykład 4

Sprawdzimy, czy sprzeczny jest układ równań

$\{\begin{cases} 10 x - 5 y = - 25 \\ - 2 x + 3 y = 12 \end{cases}$ .

Odczytujemy wartości współczynników przy niewiadomych $x$ oraz $y$ oraz wyrazów wolnych.

$a_{1} = 10$

$b_{1} = - 5$

$c_{1} = - 25$

$a_{2} = - 2$

$b_{2} = 3$

$c_{2} = 12$

Sprawdzamy, czy zachodzi warunek $(1) a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0$ .

$a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 10 \cdot 3 - (- 5) \cdot (- 2) = 30 - 10 \neq 0$

Warunek $(1)$ nie jest spełniony, a więc układ równań $\{\begin{cases} 10 x - 5 y = - 25 \\ - 2 x + 3 y = 12 \end{cases}$ nie jest układem sprzecznym.

(Jest to układ oznaczony – posiada dokładnie jedno rozwiązanie.)

Przykład 5

Ustalimy, jaką liczbę należy wpisać w miejsce $a$ , aby układ

$\{\begin{cases} (a - 1) x + 12 y = 25 \\ - 4 x + 3 y = 15 \end{cases}$

był układem sprzecznym.

Z twierdzenia zamieszczonego w materiale wiemy, że układ będzie sprzeczny, gdy współczynniki przy niewiadomych spełniają warunek $a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0 (1)$ i gdy zachodzi co najmniej jeden z warunków:

$c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1} \neq 0 (2)$ lub $a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1} \neq 0 (3)$ .

W tym układzie równań mamy:

$a_{1} = a - 1$

$b_{1} = 12$

$c_{1} = 25$

$a_{2} = - 4$

$b_{2} = 3$

$c_{2} = 15$

Z warunku $(1)$ możemy zapisać równanie:

$3 \cdot (a - 1) + 12 \cdot 4 = 0$

$3 a - 3 + 48 = 0$

$3 a = - 45 | : 3$

$a = - 15$

Sprawdzamy jeszcze czy zachodzi warunek $(2)$ .

$25 \cdot 3 - 12 \cdot 15 = 75 - 180 \neq 0$

Warunek $(2)$ jest spełniony, a zatem układ równań jest sprzeczny dla $a = - 15$ .

Przykład 6

Do równania $- 3 x + 5 y = 10$ dopiszmy drugie, tak aby tworzyły razem sprzeczny układ równańsprzeczny układ równańsprzeczny układ równań.

Oczywiście zadanie takie posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Najprostszym z nich jest dopisanie oczywistej sprzeczności, np.: $- 3 x + 5 y = 2$ , czy $- 3 x + 5 y = - 6$ .

Wtedy układy równań spełniające warunki zadania mają postać:

$\{\begin{cases} - 3 x + 5 y = 10 \\ - 3 x + 5 y = 2 \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} - 3 x + 5 y = 10 \\ - 3 x + 5 y = - 6 \end{cases}$ .

Możemy też pomnożyć prawą stronę równania $- 3 x + 5 y = 10$ przez liczbę inną, niż lewą stronę tego równania. Otrzymamy wtedy np.: $- 6 x + 10 y = - 10$ lub $3 x - 5 y = 20$ .

Wtedy układy równań spełniające warunki zadania mają postać:

$\{\begin{cases} - 3 x + 5 y = 10 \\ - 6 x + 10 y = - 10 \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} - 3 x + 5 y = 10 \\ 3 x - 5 y = 20 \end{cases}$ .

(Sprawdź, czy układy są sprzeczne.)

Słownik

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układ równań postaci

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

sprzeczny układ równań

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, który nie ma rozwiązania

Wprowadzenie

Aplet

Słownik