Przeczytaj

Sześcian jest graniastosłupem, którego wszystkie ściany boczne są przystającymi kwadratami. Siatka sześcianu składa się z sześciu kwadratów. Oczywiście nie każdy układ połączonych ze sobą sześciu kwadratów stanowi siatkę sześcianu.

Mamy $11$ różnych siatek sześcianu.

R1AA5xCIOjFan

Na ilustracji przedstawiono 11 różnych siatek sześcianu. Każda składa się z 6 przystających do siebie kwadratów. Pierwsza siatka wygląda w następujący sposób. Poziomo znajdują się cztery pola a, b, c oraz d. Nad polem a znajduje się pole e, oraz poniżej pola a, znajduje się pole f. Siatka druga. Poziomo znajdują się cztery pola a, b, c, oraz d. Nad polem b znajduje się pole e, oraz pod polem b, znajduje się pole f. Siatka trzecia. Trzy pola w poziomie, a, b, oraz c. Poniżej pola c, znajduje się pole d. Po prawej stronie pola d, znajdują się kolejno pole e, oraz f. Siatka czwarta. Poziomo znajdują się dwa pola, a, oraz b. Poniżej pola b, znajduje się pole c. Po prawej stronie pola c, znajduje się pole d. Poniżej pola d, znajduje się pole e. Po prawej stronie pola e, znajduje się pole f. Siatka piąta. Poziomo znajdują się 4 pola a, b, c, d. Powyżej pola a, znajduje się pole e. Poniżej pola b, znajduje się pole f. Siatka szósta. Poziomo znajdują się 4 pola a, b, c, d. Nad polem a, znajduje się pole e. Poniżej pola c, znajduje się pole f. Siatka siódma. Poziomo znajdują się 4 pola, a, b, c, d. Nad polem a, znajduje się pole e. Poniżej pola d, znajduje się pole f. Siatka ósma. Poziomo znajdują się 4 pola, a, b, c, d. Nad polem b, znajduje się pole e. Pod polem c, znajduje się pole f. Siatka dziewiąta. Poziomo znajdują się dwa pola, a, b. Pod polem b, znajduje się pole c. Po prawej stronie pola c, znajduje się pole d, oraz e. Poniżej pola e, znajduje się pole f. Siatka dziesiąta. Poziomo znajdują się dwa pola, a oraz b. Pod polem b, znajduje się pole c. Po prawej stronie pola c, znajduje się pole d, oraz e. Pod polem d, znajduje się pole f. Siatka jedenasta. Poziomo znajdują się dwa pola, a oraz b. Pod polem b, znajduje się pole c. Po prawej stronie pola c, znajduje się pole d, e. Pod polem c, znajduje się pole f. Po prawej stronie jedenastej siatki znajduje się niebieski sześcian.

Przykład 1

Spójrz na siatkę sześcianu:

RPRe1QPFFQgW7

Na ilustracji przedstawiono siatkę sześcianu. Poziomo, od lewej znajdują się kolejne pola kwadratów. Pole niebieskie, pole żółte, oraz błękitne. Nad polem żółtym znajduje się pole zielone. Pod polem błękitnym znajduje się pole różowe. Po prawej stronie pola różowego znajduje się pole bordowe.

Z której z poniższych siatek zbudujemy taki sam sześcian jak z siatki powyżej?

RPIv92JAwI6vC

Na ilustracji przedstawiono 4 siatki sześcianu. Siatkę A, B, C, oraz D. Siatka A wygląda następująco. Poziomo, od lewej znajdują się kolejno cztery pola. Pole niebieskie, pole żółte, błękitne, oraz bordowe. Nad polem żółtym znajduje się pole zielone. Pod polem błękitnym, znajduje się pole różowe. Siatka B. Poziomo, od lewej znajdują się trzy pola. Pole niebieskie, żółte oraz błękitne. Nad polem żółtym znajduje się pole zielone. Pod polem żółtym znajduje się pole różowe. Pod polem różowym, znajduje się pole bordowe. Siatka C. Poziomo znajdują się dwa pola, zielone oraz różowe. Pod polem różowym znajduje się pole żółte. Po prawej stronie pola żółtego znajduje się pole błękitne. Pod polem żółtym znajduje się pole niebieskie. Pod polem niebieskim, znajduje się pole bordowe. Siatka D. Poziomo znajdują się dwa pola, bordowe oraz żółte. Pod polem żółtym, znajduje się pole zielone. Po prawej stronie pola zielonego znajduje się pole niebieskie. Pod polem niebieskim znajduje się pole różowe. Po prawej stronie pola różowego, znajduje się pole błękitne.

Przeanalizujmy układ ścian, które zbudują sześciansześciansześcian i to jakie ściany otaczają ścianę w danym kolorze i z których stron. Poprzez zwykłą obserwację zauważamy, że układ ścian w siatce $A$ i $B$ będzie taki sam jak w powyższej siatce. W siatce $C$ ściana zielona i różowa są obok siebie, a w wyjściowej siatce są to przeciwległe ściany, w siatce $D$ – podobne wnioski wyciągamy dla ściany żółtej i bordowej. A zatem z siatek $C$ i $D$ nie zbudujemy takiego samego sześcianu, jak z powyższej siatki.

Przykład 2

Wróćmy do pytania zadanego we Wprowadzeniu:

Czy podane siatki są siatkami tradycyjnej kostki do gry?

RtzS8mqcPpME7

Na ilustracji przedstawiono 5 siatek kostek do gry. Siatka pierwsza wygląda następująco. Poziomo od lewej, kolejno znajdują się. Pole z trzema oczkami, pole z jednym oczkiem, pole z czteroma oczkami, oraz pole z sześcioma oczkami. Nad polem z jednym oczkiem znajduje się pole z czteroma oczkami. Pod polem z sześcioma oczkami, znajduje się pole z dwoma oczkami. Siatka numer dwa. Kolejno, od lewej. Pole z czteroma oczkami, pięcioma, oraz trzema oczkami. Pod polem z trzema oczkami znajduje się pole z dwoma oczkami. Po jego prawej stronie, znajdują się kolejno pole z sześcioma oczkami, oraz jednym. Siatka numer trzy. Poziomo, kolejno od lewej. Pole z dwoma oczkami oraz pole z czteroma oczkami. Pod polem z czteroma oczkami, znajduje się pole z jednym oczkiem. Po prawej stronie pola z jednym oczkiem, znajduje się pole z pięcioma, oraz sześcioma oczkami. Pod polem z jednym oczkiem, znajduje się pole z trzema oczkami. Siatka numer cztery. Poziomo, kolejno od lewej. Pole z jednym oczkiem, czteroma oczkami, sześcioma, oraz trzema. Nad polem z trzema oczkami znajduje się pole z pięcioma oczkami. Pod polem z trzema oczkami, znajduje się pole z dwoma oczkami. Siatka numer pięć. Kolejno, od lewej. Pole z jednym oczkiem, oraz pole z czteroma oczkami. Pod polem z czteroma oczkami znajduje się pole z sześcioma oczkami. Po prawej stronie pola z sześcioma oczkami znajduje się pole z pięcioma oczkami. Pod polem z pięcioma oczkami znajduje się pole z trzema oczkami. Po prawej stronie pola z trzema oczkami, znajduje się pole z dwoma oczkami.

Przypomnijmy, że na klasycznej kostce do gry suma oczek na przeciwległych ścianach wynosi $7$ .

Ten warunek spełniają siatki $1$ , $3$ i $4$ .

Tak jak w przypadku każdego wielościanu, mając siatkę sześcianu możemy policzyć długości odcinków, pole powierzchni oraz objętość sześcianu.

Przykład 3

Dla sześcianu, którego siatka została przedstawiona poniżej (jedna kratka to jedna jednostka) podamy długość krawędzi, przekątnej ściany bocznej i przekątnej sześcianu.

R15jXfUTPfLPM

Na układzie współrzędnych o odcinku jednostkowym równym jeden, przedstawiono siatkę sześcianu. Siatkę zbudowano łącząc kolejno wymienione punkty. 2, 10, 0, 8</math, 2, 6, 4, 8</math, 6, 6, 4, 4</math, 2, 2, 4, 0, 6, 2, 8, 4, 10, 6, 8, 8, oraz punkt 6, 2</math, 8, 0, 10, 2, 8, 4.

Na rysunku powyżej widać, że przekątna ściany ma długość $p = 4$ .

Mamy więc $a \sqrt{2} = 4$ .

Stąd krawędź sześcianu ma długość $a = 2 \sqrt{2}$ .

Wiemy, że przekątna sześcianuprzekątna sześcianuprzekątna sześcianu ma długość $d = a \sqrt{3}$ , a zatem $d = 2 \sqrt{6}$ .

Przykład 4

Naszkicujemy siatkę sześcianu, którego pole powierzchni wynosi $12$ .

Korzystając ze wzoru na pole powierzchni mamy $12 = 6 a^{2}$ .

Stąd $a = \sqrt{2}$ .

Skonstruujemy najpierw odcinek długości $\sqrt{2}$ – jest to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnej długości $1$ .

Następnie konstruujemy kwadraty o boku długości $\sqrt{2}$ i łączymy je w jedną z $11$ siatek sześcianu.

R1OBKwVMfLiqS

Na ilustracji przedstawiono siatkę zbudowaną z kwadratów o boku długości jeden i przekątnej równej 2. Na tej siatce skonstruowano kwadraty o boku długości 2 i połączono je w taki sposób, aby utworzyły siatkę sześcianu. Wygląda ona następująco. Poziomo znajdują się obok siebie dwa kwadraty, a oraz b. Pod kwadratem b, znajduje się kwadrat c. Po prawej stronie kwadratu c, znajduje się kwadrat d. Pod kwadratem d, znajduje się kwadrat e. Po prawej stronie kwadratu e, znajduje się kwadrat f.

Słownik

sześcian

graniastosłup, którego wszystkie ściany są przystającymi kwadratami

przekątna sześcianu

odcinek łączący wierzchołki sześcianu, które nie leżą na tej samej ścianie

Wprowadzenie

Aplet

Słownik