Dane są wielomiany $F\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ oraz liczba całkowita dodatnia $n$.

• potęga o wykładniku całkowitym dodatnim

  ${\left(\frac{F\left(x\right)}{P\left(x\right)}\right)}^n=\underset{n-\text{krotnie}}{\underbrace{\frac{F\left(x\right)}{P\left(x\right)}·\frac{F\left(x\right)}{P\left(x\right)}·\dots ·\frac{F\left(x\right)}{P\left(x\right)}}}$;

  $P\left(x\right)\ne 0$

• potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

  ${\left(\frac{F\left(x\right)}{P\left(x\right)}\right)}^{-n}={\left(\frac{P\left(x\right)}{F\left(x\right)}\right)}^n$;

  $\left\{\begin{array}{l}F\left(x\right)\ne 0\\ P\left(x\right)\ne 0\end{array}\right.$

• potęga o wykładniku $0$

  ${\left(\frac{F\left(x\right)}{P\left(x\right)}\right)}^0=1$;

  $\left\{\begin{array}{l}F\left(x\right)\ne 0\\ P\left(x\right)\ne 0\end{array}\right.$

• dodatkowo potęga o wykładniku $\frac{1}{2}$

  ${\left(\frac{F\left(x\right)}{P\left(x\right)}\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{F\left(x\right)}{P\left(x\right)}}$;

  $\left\{\begin{array}{l}\frac{F\left(x\right)}{P\left(x\right)}⩾0\\ P\left(x\right)\ne 0\end{array}\right.$

Obliczmy ${\left(\frac{1}{2x+2}+\frac{2}{x^2-1}\right)}^3$.

• Na początek obliczmy sumę ułamkóww nawiasie.

• ${\left(\frac{1}{2x+2}+\frac{2}{x^2-1}\right)}^3={\left(\frac{1}{2\left(x+1\right)}+\frac{2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\right)}^3=$

  $={\left(\frac{x-1}{2\left(x+1\right)\left(x-1\right)}+\frac{4}{2\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\right)}^3=$

  $={\left(\frac{x+3}{2\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\right)}^3=$

  $=\frac{{\left(x+3\right)}^3}{8{\left(x-1\right)}^3{\left(x+1\right)}^3}$

• $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-1;1\right\}$

Obliczmy ${\left(x-\frac{4-x}{x^2+2}\right)}^{-2}$.

• Zacznijmy od obliczenia różnicy wyrażeńwyrażenie algebraicznewyrażeń w nawiasie. Sprowadźmy je do wspólnego mianownika.

• ${\left(x-\frac{4-x}{x^2+2}\right)}^{-2}=$

  $={\left(\frac{x^3+2x}{x^2+2}-\frac{4-x}{x^2+2}\right)}^{-2}=$

  $={\left(\frac{x^3+3x-4}{x^2+2}\right)}^{-2}=$

  $={\left(\frac{x^2+2}{x^3+3x-4}\right)}^2=$

  $={\left(\frac{x^2+2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+4\right)}\right)}^2=$

  $=\frac{{\left(x^2+2\right)}^2}{{\left(x-1\right)}^2{\left(x^2+x+4\right)}^2}$

• $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{1\right\}$

Obliczmy ${\left(\frac{2x+5}{2x-5}-\frac{2x-5}{2x+5}\right)}^{-1}$.

• Podniesienie wyrażenia do potęgi o wykładniku $\left(-1\right)$ oznacza wyznaczenie odwrotności tego wyrażenia.

• ${\left(\frac{2x+5}{2x-5}-\frac{2x-5}{2x+5}\right)}^{-1}=$

  $={\left(\frac{{\left(2x+5\right)}^2}{\left(2x+5\right)\left(2x-5\right)}-\frac{{\left(2x-5\right)}^2}{\left(2x+5\right)\left(2x-5\right)}\right)}^{-1}=$

  $={\left(\frac{{\left(2x+5\right)}^2-{\left(2x-5\right)}^2}{\left(2x+5\right)\left(2x-5\right)}\right)}^{-1}=$

  $={\left(\frac{\left(2x+5-2x+5\right)\left(2x+5+2x-5\right)}{\left(2x+5\right)\left(2x-5\right)}\right)}^{-1}=$

  $={\left(\frac{40x}{\left(2x+5\right)\left(2x-5\right)}\right)}^{-1}=$

  $=\frac{\left(2x+5\right)\left(2x-5\right)}{40x}$

• $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\frac{5}{2};0;\frac{5}{2}\right\}$

Obliczmy ${\left(\frac{x^3-9x}{x^3-3x^2+9x-27}·\frac{2x^2+18}{x^2+3x}\right)}^5$.

• Zanim zaczniemy skracać ułamki ustalmy dziedzinę tego wyrażenia: $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-3;0;3\right\}$

• Następnie wykonajmy mnożenie ułamków, pamiętając przy tym o skracaniu.

• ${\left(\frac{x^3-9x}{x^3-3x^2+9x-27}·\frac{2x^2+18}{x^2+3x}\right)}^5=$

  $={\left(\frac{x\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{\left(x^2+9\right)\left(x-3\right)}·\frac{2\left(x^2+9\right)}{x\left(x+3\right)}\right)}^5=$

  $={\left(\frac{\bcancel{x}\bcancel{\left(x+3\right)}\bcancel{\left(x-3\right)}}{\bcancel{\left(x^2+9\right)}\bcancel{\left(x-3\right)}}·\frac{2\bcancel{\left(x^2+9\right)}}{\bcancel{x}\bcancel{\left(x+3\right)}}\right)}^5=$

  $=2^5=32$

Zauważmy, że dziedziną ostatniego wyrażenia jest zbiór liczb rzeczywistych. Dlatego warto pamiętać, by wyznaczać dziedzinę wyrażenia zanim zaczniemy skracać.

Obliczmy ${\left(\frac{x^2+8x+16}{2x^3-4x^2-48x}:\frac{x^2+4x}{2x-12}\right)}^{\frac{1}{2}}$.

• Mamy obliczyć pierwiastek kwadratowy z wyrażenia zapisanego w formie dzielenia ułamków. Zacznijmy od wykonania dzielenia i zapisania jego wyniku w najprostszej postaci.

• ${\left(\frac{x^2+8x+16}{2x^3-4x^2-48x}:\frac{x^2+4x}{2x-12}\right)}^{\frac{1}{2}}=$

  $=\sqrt{\frac{x^2+8x+16}{2x^3-4x^2-48x}·\frac{2x-12}{x^2+4x}}=$

  $=\sqrt{\frac{{\left(x+4\right)}^2}{2x\left(x+4\right)\left(x-6\right)}·\frac{2\left(x-6\right)}{x\left(x+4\right)}}=$

  $=\sqrt{\frac{\bcancel{\left(x+4\right)}\bcancel{{}^2}}{\bcancel{2}x\bcancel{\left(x+4\right)}\bcancel{\left(x-6\right)}}·\frac{\bcancel{2}\bcancel{\left(x-6\right)}}{x\bcancel{\left(x+4\right)}}}=$

  $=\sqrt{\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{\left|x\right|}$

• Pamiętajmy, że $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$.

• $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-4;0;6\right\}$.

  Określając dziedzinędziedzina wyrażenia algebraicznegodziedzinę, uwzględniliśmy mianowniki wszystkich ułamków występujących w działaniu. Wyrażenie pod pierwiastkiem uprościło się do postaci $\frac{1}{x^2}$, czyli nigdy nie przyjmuje wartości ujemnych.

wyrażenie, które można zapisać w postaci ilorazu wielomianów

wyznaczenie dziedziny to określenie dla każdej zmiennej występującej w wyrażeniu warunków, po których spełnieniu wyrażenie przyjmuje jakąś wartość