Przeczytaj

W tej części materiału zajmiemy się rozkładem wyrażeń algebraicznych na czynniki, z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia trzeciego stopnia. Przy czym wyrażenia będą miały najczęściej postać wielomianu.

Rozkład na czynniki (faktoryzacja)rozkład na czynniki (faktoryzacja)Rozkład na czynniki (faktoryzacja) wielomianu polega na znalezieniu takich wielomianów jak najniższego stopnia, których iloczyn jest równy danemu. Przy czym znalezione wielomiany nie mogą być tego samego stopnia (lub wyższego) co dany wielomian.

Zastosowanie wzoru na sześcian sumy

Podamy teraz przykłady rozkładu na czynniki z wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy.

Przypominamy najpierw potrzebny wzór.

Wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy

a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = {(a + b)}^{3}

Przykład 1

W poniższych sumach wystarczy tylko zauważyć, który składnik odpowiada któremu ze składników lewej strony wzoru na sześcian sumy – w szczególności które wyrazy to sześciany. „Zwijamy” wtedy sumę w sześcian dwumianu, a następnie zapisujemy sześcian w postaci iloczynu (możemy też zostawić zapis w postaci sześcianu).

x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 = x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 2 + 3 \cdot 2^{2} \cdot x + 2^{3} =

= {(x + 2)}^{3} = (x + 2) (x + 2) (x + 2)

125 + 75 x + 15 x^{2} + x^{3} = 5^{3} + 3 \cdot 5^{2} \cdot x + 3 \cdot 5 \cdot x + x^{3} =

= {(5 + x)}^{3} = (5 + x) (5 + x) (5 + x)

8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 27 y^{3} =

= {(2 x)}^{3} + 3 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot 3 y + 3 \cdot 2 x \cdot {(3 y)}^{2} + {(3 y)}^{3} = {(2 x + 3 y)}^{3}

Przykład 2

Teraz, aby rozłożyć wyrażenie algebraiczne na czynniki, wyłączymy najpierw przed nawias największy wspólny czynnik, a następnie wyrażenie w nawiasie zapiszemy w postaci iloczynu (sześcianu sumy), korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy.

3 x^{3} + 9 x^{2} + 9 x + 3 = 3 \cdot (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) = 3 \cdot {(x + 1)}^{3}

\sqrt{5} x^{3} y^{3} + 6 \sqrt{5} x^{2} y^{2} + 12 \sqrt{5} x y + 8 \sqrt{5} =

= \sqrt{5} \cdot (x^{3} y^{3} + 6 x^{2} y^{2} + 12 x y + 8) = \sqrt{5} \cdot {(x y + 2)}^{3}

a^{5} + 3 a^{5} b + 3 a^{5} b^{2} + a^{5} b^{3} = a^{5} (1 + 3 b + 3 b^{2} + b^{3}) = a^{5} {(1 + b)}^{3}

Zastosowanie wzoru na sześcian różnicy

Podamy teraz przykłady rozkładu na czynniki z wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy.

Przypominamy najpierw potrzebny wzór.

Wzór skróconego mnożenia na sześcian różnicy

$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = {(a - b)}^{3}$

Podobnie, jak wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy, można stosować wzór na sześcian różnicy.

Przykład 3

W poniższych sumach wystarczy tylko zauważyć, który składnik odpowiada któremu ze składników lewej strony wzoru na sześcian różnicy – w szczególności które wyrazy to sześciany. „Zwijamy” wtedy sumę w sześcian dwumianu, a następnie zapisujemy sześcian w postaci iloczynu (możemy też zostawić zapis w postaci sześcianu).

64 - 48 a + 12 a^{2} - a^{3} = 4^{3} - 3 \cdot 4^{2} \cdot a + 3 \cdot 4 \cdot a - a^{3} = (4 - a) (4 - a) (4 - a)

x^{6} y^{3} - 9 x^{4} y^{2} + 27 x^{2} y - 27 =

= {(x^{2} y)}^{3} - 3 \cdot {(x^{2} y)}^{2} \cdot 3 + 3 \cdot x^{2} y \cdot 3^{2} - 3^{3} = {(x^{2} y - 3)}^{3}

125 - 150 x + 60 x^{2} - 8 x^{3} = 5^{3} - 3 \cdot 5^{2} \cdot 2 x + 3 \cdot 5 \cdot {(2 x)}^{2} - {(2 x)}^{3} = {(5 - 2 x)}^{3}

Przykład 4

Teraz, aby rozłożyć wyrażenie algebraiczne na czynniki, wyłączymy najpierw przed nawias największy wspólny czynnik, a następnie wyrażenie w nawiasie zapiszemy w postaci iloczynu (sześcianu różnicy), korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy.

2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x - 2 = 2 \cdot (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) =

= 2 \cdot (x^{3} - 3 \cdot x^{2} \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot x - 1^{3}) = 2 \cdot {(x - 1)}^{3}

8 a - 12 a y + 6 a y^{2} - a y^{3} = a \cdot (2^{3} - 3 \cdot 2^{2} \cdot y + 3 \cdot 2 \cdot y^{2} - y^{3}) = a \cdot {(2 - y)}^{3}

x^{4} y - 3 x^{3} y^{2} + 3 x^{2} y^{3} - x y^{4} =

= x y \cdot (x^{3} - 3 \cdot x^{2} \cdot y + 3 \cdot x \cdot y^{2} - y^{3}) = x y \cdot {(x - y)}^{3}

Nie zawsze patrząc na wyrażenie algebraiczne możemy zauważyć, że aby je zapisać w postaci iloczynu, można skorzystać z danego wzoru skróconego mnożenia, często trzeba najpierw pogrupować odpowiednio składniki.

Przykład 5

Zapiszemy w postaci iloczynu wyrażenie $A = x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x - 2$ .

Przekształcanie wyrażenia można zacząć od redukcji wyrazów podobnych.

Ale w tym przypadku nie doprowadziłoby to nas do postaci, z której można by od razu określić jakiego sposobu użyć, by wyrażenie rozłożyć na czynniki.

Pogrupujmy więc najpierw w danym wyrażeniu wyrazy.

A = x^{4} - 3 x^{3} + 3 x^{2} - x + 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x - 2

A = (x^{4} + 2 x^{3}) - (3 x^{3} + 6 x^{2}) + (3 x^{2} + 6 x) - (x + 2)

Wyłączamy wspólny czynnik w pierwszych $3$ nawiasach.

A = x^{3} (x + 2) - 3 x^{2} (x + 2) + 3 x (x + 2) - (x + 2)

Teraz wspólnym czynnikiem jest $(x + 2)$ .

A = (x + 2) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)

Zauważmy, że w drugim nawiasie mamy sześcian różnicy.

A = (x + 2) {(x - 1)}^{3}

Ostatecznie:

A = (x + 2) (x - 1) (x - 1) (x - 1)

Zastosowanie wzoru na sumę sześcianów

Często wykorzystywanym wzorem w rozkładzie na czynniki jest wzór na sumę sześcianów.

Przypomnijmy najpierw ten wzór.

Wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

Przykład 6

Zapiszemy każde z podanych wyrażeń w postaci iloczynu, stosując wzór na sumę sześcianów.

x^{3} + 216 = x^{3} - 6^{3} = (x + 6) (x^{2} - 6 x + 36)

b) Aby rozłożyć na czynniki podane wyrażenie, wyłączymy najpierw wspólny czynnik przed nawias.

3 + 81 x^{3} y^{3} = 3 \cdot (1 + 27 x^{3} y^{3}) = 3 \cdot [1^{3} + {(3 x y)}^{3}] =

= 3 \cdot (1 + 3 x y) (1 - 3 x y + 9 x^{2} y^{2})

c) W tym przypadku mamy nieco trudniejsze zadanie. Najpierw zapiszemy $68$ w postaci sumy: $68 = 64 + 4$ , następnie pogrupujemy odpowiednio wyrazy, skorzystamy ze wzoru na sumę sześcianów i wyłączymy wspólny czynnik poza nawias.

68 + 8 x^{3} + 2 x = 64 + 4 + 8 x^{3} + 2 x = (64 + 8 x^{3}) + (4 + 2 x)

68 + 8 x^{3} + 2 x = (4 + 2 x) (16 - 8 x + 4 x^{2}) + (4 + 2 x)

68 + 8 x^{3} + 2 x = (4 + 2 x) (16 - 8 x + 4 x^{2} + 1) = 2 \cdot (2 + x) (17 - 8 x + 4 x^{2})

Zastosowanie wzoru na różnicę sześcianów

Przypomnijmy najpierw ten wzór.

Wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

Przykład 7

Zapiszemy każde z podanych wyrażeń w postaci iloczynu, stosując wzór na różnicę sześcianów.

a^{3} b^{3} - 729 = (a b - 9) (a^{2} b^{2} + 9 a b + 81)

b) Aby rozłożyć na czynniki podane wyrażenie, wyłączymy najpierw wspólny czynnik przed nawias.

4 x^{3} - 500 = 4 \cdot (x^{3} - 125) = 4 \cdot (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 4 \cdot (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)

c) W tym przypadku nie można od razu skorzystać ze wzoru na różnicę sześcianów. Najpierw więc zapiszemy $130$ w postaci sumy: $130 = 125 + 5$ , następnie pogrupujemy odpowiednio wyrazy, skorzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów i wyłączymy wspólny czynnik poza nawias.

130 - 27 a^{3} - 3 a = 125 + 5 - 27 a^{3} - 3 a

130 - 27 a^{3} - 3 a = (125 - 27 a^{3}) + (5 - 3 a)

130 - 27 a^{3} - 3 a = (5 - 3 a) (25 + 15 a + 9 a^{2}) + (5 - 3 a)

130 - 27 a^{3} - 3 a = (5 - 3 a) (26 + 15 a + 9 a^{2})

Rozkład na czynniki z zastosowaniem kilku wzorów skróconego mnożenia

Jeśli chcemy rozłożyć na czynniki wyrażenie algebraiczne, z którego postaci nie możemy bezpośrednio wywnioskować, jaki sposób rozkładu zastosować, sprowadzamy to wyrażenie do najprostszej postaci. I dopiero wtedy ustalamy sposób rozkładu (jeśli ten rozkład jest możliwy).

Przykład 8

Rozłożymy na czynniki wyrażenie $B = 2 \cdot (x^{3} - 2) + {(x - 1)}^{2} + (3 - x^{3})$ .

Zapisujemy wyrażenie w prostszej postaci.

B = 2 x^{3} - 4 + 3 - x^{3} + {(x - 1)}^{2} = x^{3} - 1 + {(x - 1)}^{2}

Grupujemy wyrazy i korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów.

B = (x^{3} - 1) + {(x - 1)}^{2}

B = (x - 1) (x^{2} + x + 1) + {(x - 1)}^{2}

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

B = (x - 1) (x^{2} + x + 1 + x - 1)

B = (x - 1) (x^{2} + 2 x)

Ostatecznie:

B = x (x - 1) (x + 2)

Przykład 9

Zapiszemy w postaci iloczynu $C = x^{6} - y^{6}$ .

Zauważmy, że rozpatrywane wyrażenie można zapisać jako różnicę kwadratów.

C = {(x^{3})}^{2} - {(y^{3})}^{2}

Korzystamy więc ze wzoru na różnicę kwadratów.

C = (x^{3} + y^{3}) (x^{3} - y^{3})

Zapisujemy każde z wyrażeń w nawiasie w postaci iloczynu – korzystając ze wzoru skróconego mnożenia – odpowiednio na sumę i różnicę sześcianów.

C = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})

Słownik

rozkład na czynniki (faktoryzacja)

to zapisanie wielomianu w postaci iloczynu wielomianów jak najniższego stopnia

Wprowadzenie

Animacja