Oś symetrii figury jest to prosta, względem której ta figura jest do siebie osiowosymetryczna. Oś symetrii dzieli figurę na dwie przystające części.
By mówić o osi symetrii wykresu funkcji, trzeba sporządzić jej wykres.
Przykład 1
Wyznaczymy oś symetriioś symetrii figuryoś symetrii wykresu funkcji
Rozwiązanie:
Aby narysować wykres funkcji należy narysować najpierw wykres funkcji i przesunąć go o wektorprzesunięcie wykresu funkcji o wektorprzesunąć go o wektor
R1RVwfZ66mQZ9
Wykres funkcji ma jedną oś symetrii:
Przykład 2
Wyznaczymy oś symetrii paraboli będącej wykresem funkcji
Rozwiązanie:
Ze wzoru funkcji odczytujemy jej miejsca zerowe: ; . Odciętą wierzchołka paraboli obliczymy ze wzoru , stąd i .
Narysujemy wykres tej funkcji.
R14Vmy7Ad7hnT
Ten wykres ma oś symetrii; osią symetrii jest prosta o równaniu .
Zauważmy, że oś symetrii zawsze przechodzi przez wierzchołek paraboli i jest prostą równoległą do osi .
Przykład 3
Wyznaczymy osie symetrii wykresu funkcji
Rozwiązanie:
Narysujemy wykres tej funkcji. Zauważmy, że:
argumenty i wartości funkcji
RTyNyN7tOmYCo
Wykres tej funkcji ma dwie osie symetrii: i
Przykład 4
Sprawdzimy, czy wykres funkcji ma oś symetrii.
Rozwiązanie:
Narysujemy wykres tej funkcji. Zauważmy, że:
argumenty i wartości funkcji
RwROzgEJfhWWV
Ten wykres nie ma osi symetrii.
Narysowaliśmy już wykresy funkcji, które nie mają osi symetrii, mają jedną oś symetrii bądź dwie osie symetrii.
Przykład 5
Wyznaczymy osie symetrii wykresu funkcji
Rozwiązanie:
Zauważmy, że prosta o równaniu oraz każda prosta prostopadła do tej prostej jest jej osią symetrii.
RJN0NLJOIGzLt
Zatem wykresy funkcji liniowych mają nieskończenie wiele osi symetrii.
Przykład 6
Wyznaczymy osie symetrii wykresu funkcji
Rozwiązanie:
Narysujemy wykres tej funkcji i zaznaczymy jej osie symetrii.
RPUKJhSio1Awu
Wykres funkcji sinus ma nieskończenie wiele osi symetrii.
Przykład 7
Napiszemy równanie paraboli, na której leży punkt i której osią symetrii jest prosta o równaniu , jeśli wartość największa funkcji, której wykresem jest ta parabola wynosi .
Rozwiązanie
Skoro oś symetrii paraboli ma równanie oraz wartość największa funkcji, której wykresem jest ta parabola wynosi , to ta parabola ma wierzchołek w punkcie . Zatem parabola jest opisana równaniem:
Skoro punkt należy do tej paraboli, to:
Szukana parabola ma równanie
Przykład 8
Narysujemy wykres funkcji , która spełnia jednocześnie następujące warunki:
dziedziną jest przedział ;
zbiorem wartości jest przedział ;
jest stała dla ;
jest rosnąca w każdym z przedziałów i ;
;
;
;
miejscem zerowym jest ;
jej wykres jest symetryczny względem prostej o równaniu .
Rozwiązanie
Skoro osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta , to:
miejscem zerowym jest również ;
funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: i ;
do wykresu funkcji należy punkt ;
.
Ponadto dla wartość funkcji wynosi .
Zatem wykres funkcji mógłby wyglądać następująco:
RJ6bcjxH4U8yW
Przykład 9
Narysujemy wykres funkcji , jeśli jej wykres jest symetryczny względem prostej . Wyznaczymy współczynniki , , i .
Rozwiązanie
Narysujemy najpierw wykres tej funkcji w przedziałach oraz
R1cuvawUb5Zw0
Następnie dorysujemy wykres w pozostałych przedziałach, korzystając z jego symetrii względem prostej .
R4YXH95L6NhjP
Wyznaczymy teraz współczynniki , , i .
Skoro jej wykres jest symetryczny względem prostej , to wierzchołek obrazu paraboli jest punktem o współrzędnych , zatem równanie paraboli ma postać: .
Obrazem punktu w symetrii względem prostej o równaniu jest punkt , zatem obrazem prostej o równaniu w tej symetrii jest prosta o równaniu .
Zatem funkcja ma postać:
Słownik
oś symetrii figury
oś symetrii figury
prosta, względem której ta figura jest do siebie osiowosymetryczna
przesunięcie wykresu funkcji o wektor
przesunięcie wykresu funkcji o wektor
przesunięcie każdego punktu wykres funkcji o jednostek wzdłuż osi i o jednostek wzdłuż osi