Oś symetrii figury jest to prosta, względem której ta figura jest do siebie osiowosymetryczna. Oś symetrii dzieli figurę na dwie przystające części.

Wyznaczymy oś symetriioś symetrii figuryoś symetrii wykresu funkcji $f\left(x\right)=\left|x-4\right|+3$

Rozwiązanie:

Aby narysować wykres funkcji $f$ należy narysować najpierw wykres funkcji $f\left(x\right)=\left|x\right|$ i przesunąć go o wektorprzesunięcie wykresu funkcji o wektorprzesunąć go o wektor $\overrightarrow{u}=\left[4;3\right]$

R1RVwfZ66mQZ9

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim wykres funkcji wyrażonej wzorem $y=\left|x-4\right|+3$ Przez punkt $\left(3,4\right)$ będący wierzchołkiem funkcji przebiega przerywana prosta oznaczona wzorem $x=4$ jest ona osią symetrii wykresu funkcji.

Wykres funkcji $f$ ma jedną oś symetrii: $x=4$

Wyznaczymy oś symetrii paraboli będącej wykresem funkcji$f\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x+1\right)$

Rozwiązanie:

Ze wzoru funkcji odczytujemy jej miejsca zerowe: $x_1=-2$; $x_2=-1$. Odciętą wierzchołka paraboli obliczymy ze wzoru $p=\frac{x_1+x_2}{2}$, stąd $p=-1,5$ i $q=\left(-1,5+2\right)\left(-1,5+1\right)=-0,25$.

Narysujemy wykres tej funkcji.

R14Vmy7Ad7hnT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim wykres funkcji kwadratowej w postaci paraboli wyrażonej wzorem $y=\left(x+2\right)\left(x+1\right)$ Przez wierzchołek paraboli przebiega oś symetrii zaznaczona przerywaną linią. Wzór funkcji osi symetrii to $x=-1,5$

Ten wykres ma oś symetrii; osią symetrii jest prosta o równaniu $x=-1,5$.

Zauważmy, że oś symetrii zawsze przechodzi przez wierzchołek paraboli i jest prostą równoległą do osi $Y$.

Wyznaczymy osie symetrii wykresu funkcji $f\left(x\right)=\frac{-4}{x}$

Rozwiązanie:

Narysujemy wykres tej funkcji. Zauważmy, że:

RTyNyN7tOmYCo

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych, na którym zaznaczono wykres funkcji homograficznej wyrażonej wzorem $y=\frac{-4}{x}$ znajduję się ona na drugiej oraz czwartej ćwiartce układu współrzędnych. Przez pierwsza oraz trzecią ćwiartkę przebiega pierwsza oś symetrii oznaczona wzorem $y=x$ Przez ćwiartkę drugą oraz czwartą przebiega druga oś symetrii wyrażona wzorem $y=-x$

Wykres tej funkcji ma dwie osie symetrii: $y=x$ i $y=-x$

Sprawdzimy, czy wykres funkcji $f\left(x\right)={\log }_2\left(x\right)$ ma oś symetrii.

Rozwiązanie:

Narysujemy wykres tej funkcji. Zauważmy, że:

RwROzgEJfhWWV

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych zaznaczono na nim wykres funkcji logarytmicznej wyrażonej wzorem $y=\log 2\left(x\right)$ . Wykres przebiega przez pierwszą oraz czwartą ćwiartkę układu oraz ma miejsce zerowe w punkcie 1 na osi odciętych.

Ten wykres nie ma osi symetrii.

Wyznaczymy osie symetrii wykresu funkcji $f\left(x\right)=x+2$

Rozwiązanie:

Zauważmy, że prosta o równaniu $f\left(x\right)=x+2$ oraz każda prosta prostopadła do tej prostej jest jej osią symetrii.

RJN0NLJOIGzLt

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z zaznaczonym wykresem funkcji liniowej wyrażonej wzorem $y=x+2$ Ma ona miejsce zerowe w punkcie minus dwa na osi odciętych oraz wyraz wolny w punkcie dwa na osi rzędnych. Przez prostą przebiegają cztery osie symetrii od p indeks dolny 1 koniec indeksu do p indeks dolny 4 koniec indeksu. Tworzą one z prostą kąt 90 stopni.

Zatem wykresy funkcji liniowych mają nieskończenie wiele osi symetrii.

Wyznaczymy osie symetrii wykresu funkcji $f\left(x\right)=\sin x$

Rozwiązanie:

Narysujemy wykres tej funkcji i zaznaczymy jej osie symetrii.

RPUKJhSio1Awu

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z zaznaczoną sinusoidą o wzorze $y=\sin \left(x\right)$ przez wykres przebiegają osie symetrii o wzorach $x=-\frac{3}{2}\mathrm{\pi }$ przecinek $x=-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ przecinek $x=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ oraz $x=\frac{3}{2}\mathrm{\pi }$.

Wykres funkcji sinus ma nieskończenie wiele osi symetrii.

Napiszemy równanie paraboli, na której leży punkt $A=\left(0,1\right)$ i której osią symetrii jest prosta o równaniu $x=\frac{3}{2}$, jeśli wartość największa funkcji, której wykresem jest ta parabola wynosi $\frac{13}{4}$.

Rozwiązanie

Skoro oś symetrii paraboli ma równanie $x=\frac{3}{2}$ oraz wartość największa funkcji, której wykresem jest ta parabola wynosi $\frac{13}{4}$, to ta parabola ma wierzchołek w punkcie $\left(\frac{3}{2},\frac{13}{4}\right)$. Zatem parabola jest opisana równaniem:

$y=a{\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{13}{4}$

Skoro punkt $A=\left(0,1\right)$ należy do tej paraboli, to:

$1=a{\left(0-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{13}{4}$

$-\frac{9}{4}=a·\frac{9}{4}$

$a=-1$

Szukana parabola ma równanie

$y=-1{\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{13}{4}$

Narysujemy wykres funkcji $f$, która spełnia jednocześnie następujące warunki:

• dziedziną jest przedział $⟨-5;9⟩$;

• zbiorem wartości jest przedział $⟨0;4⟩$;

• $f$ jest stała dla $x\in ⟨-1;5⟩$;

• $f$ jest rosnąca w każdym z przedziałów $⟨-4;-1⟩$ i $⟨8;9⟩$;

• $f\left(-2\right)=2$;

• $f\left(4\right)=4$;

• $f\left(9\right)=3$;

• miejscem zerowym jest $x=8$;

• jej wykres jest symetryczny względem prostej o równaniu $x=2$.

Rozwiązanie

Skoro osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta $x=2$, to:

• miejscem zerowym jest również $x=-4$;

• funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów: $⟨-5;4⟩$ i $⟨5;8⟩$;

• do wykresu funkcji należy punkt $\left(6;2\right)$;

• $f\left(-5\right)=3$.

Ponadto dla $x\in ⟨-1;5⟩$ wartość funkcji wynosi $4$.

Zatem wykres funkcji $f$ mógłby wyglądać następująco:

RJ6bcjxH4U8yW

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z zaznaczonym wykresem funkcji. Wykres ma miejsce zerowe w punkcie minus cztery. Funkcja jest malejąca w każdym z przedziałów i Do wykresu funkcji należy punkt $\left(6;2\right)$. Oraz. $f(-5)=3$. Przez wykres przebiega oś symetrii wyrażona prostą $x=2$.

Narysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{(x+5)}^2-2& x\in (-\mathrm{\infty };-3)\\ ax+b& x\in ⟨-3;-1⟩\\ \frac{3}{2}x+\frac{1}{2}& x\in (-1;1⟩\\ {(x-p)}^2+q& x\in (1;\mathrm{\infty })\end{array}$, jeśli jej wykres jest symetryczny względem prostej $x=-1$. Wyznaczymy współczynniki $a$, $b$, $p$ i $q$.

Rozwiązanie

Narysujemy najpierw wykres tej funkcji w przedziałach $\left(-\infty ;-3\right)$ oraz $\left(-1;1\right.⟩$

R1cuvawUb5Zw0

Ilustracja przedstawia wykres funkcji. W przedziale $\left(-\infty ;-3\right)$ jest ona funkcją kwadratową o wierzchołku w punkcie $\left(-5;-2\right)$. W przedziale $(-1;1>$ jest ona funkcją liniową. Zaznaczono prostą $x=-1$, odzwierciedlającą oś symetrii

Następnie dorysujemy wykres w pozostałych przedziałach, korzystając z jego symetrii względem prostej $x=-1$.

R4YXH95L6NhjP

Ilustracja przedstawia wykres funkcji. W przedziale $\left(-\infty ;-3\right)$ jest ona funkcją kwadratową o wierzchołku w punkcie $\left(-5;-2\right)$. W przedziale $(-1;1>$ jest ona funkcją liniową. Zaznaczono prostą $x=-1$, odzwierciedlającą oś symetrii. Korzystając z symetrii względem prostej dorysowano wykres w pozostałych przedziałach. Powstała parabola ma wierzchołek o współrzędnych $\left(3;-2\right)$

Wyznaczymy teraz współczynniki $a$, $b$, $p$ i $q$.

Skoro jej wykres jest symetryczny względem prostej $x=-1$, to wierzchołek obrazu paraboli $y={\left(x+5\right)}^2-2$ jest punktem o współrzędnych $(3;-2)$, zatem równanie paraboli ma postać: $y={\left(x-3\right)}^2-2$.

Obrazem punktu $\left(1;2\right)$ w symetrii względem prostej o równaniu $x=-1$ jest punkt $\left(-3;2\right)$, zatem obrazem prostej o równaniu $y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$ w tej symetrii jest prosta o równaniu $y=-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}$.

Zatem funkcja $f$ ma postać:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{(x+5)}^2-2& x\in (-\mathrm{\infty };-3)\\ -\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}& x\in ⟨-3;-1⟩\\ \frac{3}{2}x+\frac{1}{2}& x\in (-1;1⟩\\ {(x-3)}^2-2& x\in (1;\mathrm{\infty })\end{array}$

prosta, względem której ta figura jest do siebie osiowosymetryczna

przesunięcie każdego punktu wykres funkcji o $p$ jednostek wzdłuż osi $X$ i o $q$ jednostek wzdłuż osi $Y$