Przeczytaj
Definicje funkcji trygonometrycznych
Już wiesz, że między funkcjami trygonometrycznymi różnych kątów zachodzą pewne związki. Poznałeś wzory dla kątów . Posłużymy się nimi w tym materiale.
Niech będzie dowolnym punktem leżącym na końcowym ramieniu kąta skierowanego . Analizując poniższe slajdy przypomnimy definicje funkcji trygonometrycznych.
Zajmijmy się teraz udowodnieniem poniższego twierdzenia.
Dla dowolnego kąta zachodzą równości:
, o ile .
Przeanalizujmy dwa dowody omawianego twierdzenia. Oba wykorzystują wzory dla kątów :
, o ile .
Dowód
W pierwszym dowodzie, oprócz wzorów dla kątów , wykorzystamy definicje funkcji trygonometrycznych. Rozważmy kąty i umieśćmy je w układzie współrzędnych. Dla przejrzystości zapisu oznaczmy kąt jako . Wówczas stąd . Punkt jest dowolnym punktem leżącym na końcowym ramieniu kąta skierowanego natomiast punkt leży na końcowym ramieniu kąta skierowanego .
Zauważmy, że:
punkty i są symetryczne względem osi . Zatem a .
Otrzymujemy zatem następujące równości:
.
Udowodniliśmy tym samym twierdzenie o wzorach redukcyjnych dla kątów.
Zauważmy, że wzoru nie musimy wyprowadzać z definicji. Możemy zastosować poznany wcześniej związek między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta:
.
Podstawiając otrzymamy:
.
Przejdźmy do alternatywnego dowodu.
Dowód
Tym razem skorzystamy z parzystości i nieparzystości odpowiednich funkcji trygonometrycznych. Udowodnimy je na końcu tego materiału, w tym miejscu przypomnijmy jedynie, że zachodzą równości:
.
Stąd otrzymujemy, że
.
Prześledzimy teraz przykłady.
Wyznaczymy wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta .
Wykorzystamy wyprowadzone powyżej wzory.
Doprowadzimy do najprostszej postaci wyrażenie: .
Wykorzystamy następujące wzory:
przekształconym do postaci
Rozwiązanie:
Uprościmy ułamek .
W rozwiązaniu wykorzystamy, kolejno, wzory redukcyjnewzory redukcyjne:
,
jedynkę trygonometryczną oraz wzór skróconego mnożenia:
.
Możemy zapisać ciąg równości:
.
Zatem wyrażenie można zapisać jako .
Udowodnimy, że dla dowolnego kąta prawdziwa jest równość:
.
Będziemy przekształcać lewą stronę równości tak długo, aż dojdziemy do prawej.
- lewa strona równości
- prawa strona równości
Będziemy teraz przekształcać lewą stronę wyrażenia korzystając ze wzorów . Mamy więc, że
Zastosujmy teraz wzory skróconego mnożenia:
,
,
.
.
Wykazaliśmy, że więc równość jest prawdziwa.
Na zakończenie wróćmy do dowodu nieparzystości funkcji sinus i tangens oraz parzystości funkcji cosinus. Chcemy pokazać, że dla dowolnego kąta zachodzą równości:
Narysujmy w układzie współrzędnych kąty skierowane i oraz zaznaczmy punkty i na ich ramionach końcowych.
Zauważmy, że punkty i są symetryczne względem osi . Zatem a
Udowodniliśmy zastosowane wzory.
Oprócz poznanych przez Ciebie funkcji trygonometrycznych są również dwie funkcje teraz już rzadko używane: secans i cosecans. Choć islamscy matematycy używali je już w X wieku, to w Europie funkcję secans wprowadził dopiero Mikołaj Kopernik w dziele „O obrotach sfer niebieskich”.
Słownik
wzory pozwalające wyrazić wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta za pomocą wartości funkcji kąta ostrego